Kurvenintegral parametrisieren < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:28 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Kody |
| Aufgabe | Berechne das folgende Kurvenintegral:
[mm] \integral_{\partialD}^{}{y dx+sinx dy}, D=((x,y)|-\bruch{\pi}{2}\le x\le \bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] -1\le [/mm] y [mm] \le [/mm] cosx). |
Jetzt stellt sich die Frage nach der Parametrisierung, um das Kurvenintegral vernünftig berechnen zu können. Habe es Abschnittsweise in 4 Wegstücke geteilt. Aber mit dem Wegstück, welches überhalb der x-Achse ist, habe ich so meine Probleme.
Die anderen habe ich mit c(t)=a+t(b-a) parametrisiert:
[mm] c1(t)=(-\bruch{\pi}{2}+\pi [/mm] t, -1).
[mm] c2(t)=(\bruch{\pi}{2},-1+t).
[/mm]
[mm] c4(t)=(-\bruch{\pi}{2},-t)
[/mm]
Nur wie mache ich c3? Das ist ja das einzige Stück, was keine Gerade ist. Habt ihr eine Idee? Bzw wenn mein Ansatz schon mist ist oder das alles einfacher geht, dürft ihr mir das auch gerne sagen.
Danke
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Hi Kody,
> Berechne das folgende Kurvenintegral:
> [mm]\integral_{\partialD}^{}{y dx+sinx dy}, D=((x,y)|-\bruch{\pi}{2}\le x\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
> , [mm]-1\le[/mm] y [mm]\le[/mm] cosx).
> Jetzt stellt sich die Frage nach der Parametrisierung, um
> das Kurvenintegral vernünftig berechnen zu können. Habe es
> Abschnittsweise in 4 Wegstücke geteilt. Aber mit dem
> Wegstück, welches überhalb der x-Achse ist, habe ich so
> meine Probleme.
> Die anderen habe ich mit c(t)=a+t(b-a) parametrisiert:
> [mm]c1(t)=(-\bruch{\pi}{2}+\pi[/mm] t, -1).
> [mm]c2(t)=(\bruch{\pi}{2},-1+t).[/mm]
> [mm]c4(t)=(-\bruch{\pi}{2},-t)[/mm]
>
> Nur wie mache ich c3? Das ist ja das einzige Stück, was
> keine Gerade ist. Habt ihr eine Idee? Bzw wenn mein Ansatz
> schon mist ist oder das alles einfacher geht, dürft ihr mir
> das auch gerne sagen.
das hängt davon ab, was eigentlich die aufgabe ist. Wenn du das kurvenintegral über den rand des angegebenen gebietes berechnen sollst, bist du auf dem richtigen weg! 
das noch fehlende stück ist doch gar nicht so schwer, das ist einfach der graph der cos-funktion, also
[mm] $c_3(t)=(t,\cos [/mm] t), [mm] -\frac\pi2\le t\le \frac\pi2$.
[/mm]
Gruß
matthias
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Kody |
Oke, klingt plausibel. Gibts dafür eigentlich auch so eine "Fausformel" - für Fälle wenn's mal komplizierter wird?...
Ach ja und noch was: Kann das Ergebnis eines Kurvenintegrals negativ sein?? Mit diesem c3 bekomme ich zwar insgesamt für c1+...c4 betragsmäßig das Ergebnis, welches auch gerauskommen soll. In der Lösung ist allerdings [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] angegeben. Kann das überhaupt? Flächen können doch nicht negativ sein?...
An sonsten gibt die Aufgabe leider nicht mehr her, was genau berechnet werden soll... da steht nur Kurvenintegral, und danach soll man das ganze noch mal mit dem Green'schen Satz berechnen. Das kann ich aber soweit.
Danke
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> Oke, klingt plausibel. Gibts dafür eigentlich auch so eine
> "Fausformel" - für Fälle wenn's mal komplizierter wird?...
faustformel wofür? kurven zu parametrisieren? nicht , dass ich wüsste.
> Ach ja und noch was: Kann das Ergebnis eines
> Kurvenintegrals negativ sein??
klar, warum nicht?
> Mit diesem c3 bekomme ich
> zwar insgesamt für c1+...c4 betragsmäßig das Ergebnis,
> welches auch gerauskommen soll. In der Lösung ist
> allerdings [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] angegeben. Kann das überhaupt?
> Flächen können doch nicht negativ sein?...
ich denke nicht, dass dieses kurvenintegral die eingeschlossende fläche beschreibt. ist das flächenintegral nicht
[mm] $A(\Omega)=\frac12\int_\Gamma x\,dy [/mm] - [mm] y\,dx$,
[/mm]
wenn [mm] $\Gamma$ [/mm] eine kurve ist und [mm] $\Omega$ [/mm] das eingeschlossene gebiet? also kann dein integral schon negativ sein. ABer rechne es am besten nochmal nach.
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> An sonsten gibt die Aufgabe leider nicht mehr her, was
> genau berechnet werden soll... da steht nur Kurvenintegral,
> und danach soll man das ganze noch mal mit dem Green'schen
> Satz berechnen. Das kann ich aber soweit.
>
> Danke
gruß
Matthias
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