Kurvenintegral längs 2er Punkt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mo 16.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Kurvenintegral $ [mm] \int_{\Gamma}y^2dx+xdy$ [/mm] längs folgender Kurven:
1) $ [mm] \Gamma_1 [/mm] $ ist die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten $ [mm] \vektor{-5 \\ -3} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{0 \\ 2}$ [/mm] |
Hallo,
um das Kurvenintegral längs der Verbindungsstrecke berechnen zu können, muss ich ja zunächst eine passende Parametrisierung finden. Nun ist es ja eigentlich so, dass sich eine Parametrisierung der Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten $a,b [mm] \in \IR^2$ [/mm] finden lässt durch
$ [mm] \gamma(t) [/mm] = a + t(b-a)$ mit $ t [mm] \in [/mm] [0,1]$
Das ergibt bei mir die Parametrisierung $ [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ -3} [/mm] + t [mm] \vektor{5\\ 5}$
[/mm]
Allerdings wird in der Lösung als Parametrisierung $ [mm] \gamma:[-5,0] \to \IR^2,\ [/mm] t [mm] \mapsto \vektor{t \\ t+2} [/mm] $ gewählt.
Ich sehe nicht, wie man darauf kommt.
Kann mir jemand helfen?
LG,
ChopSuey
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Hiho,
letztendlich parametrisierst du die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten in deiner Vorgehensweise immer durch eine Gerade (was man im Allgemeinen gar nicht tun muss, aber deine Vorgehensweise liefert immer eine solche…)
Eine Gerade ist eindeutig gegeben durch einen Stützvektor zu einem Punkt der Geraden und einen Richtungsvektor.
Ich hoffe es ist klar, dass der Richtungsvektor beliebig skaliert werden kann, d.h. für einen Richtungsvektor [mm] $\vec{r}$ [/mm] ist auch [mm] $\lambda\vec{r}, \lambda \in \IR\setminus\{0\}$ [/mm] ein Richtungsvektor.
Für deine Gerade $ [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ -3} [/mm] + t [mm] \vektor{5\\ 5} [/mm] $ erkennt man leicht, dass auch der Punkt [mm] $\gamma(1) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2}$ [/mm] Element der Geraden ist und damit als Stützvektor verwendet werden kann und als Richtungsvektor kann nach obigem genauso gut [mm] $\vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \frac{1}{5} \vektor{5\\ 5}$ [/mm] herhalten.
D.h. deine Strecke wird ebenso parametrisiert durch [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm] + [mm] t\vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t+2}$
[/mm]
Warum man das tut: Ich würde jetzt mal auf "Rechenerleichterung" tippen. Rechne doch mal das Integral bezüglich deiner Parametrisierung und bezüglich der gegebenen aus.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 16.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Gono,
super, vielen Dank für deine Hilfe und Hinweise! Du meintest ja, dass man die Verbindungsstrecke nicht zwangsläufig über eine Gerade machen muss. Was wäre denn die Alternative? Edit: Mir fiel gerade ein, dass man die Verbindung zweier Punkte ja auch allg. durch eine Parabel bspw darstellen kann. Ändert sich dann aber nicht die Länge? Könnte man dann nicht auch streckenweise Teilwege aufaddieren?
Ich hatte mir überlegt es über gerade Teilstrecken zu machen, also parellele Strecken zu den Koordinatenachsen aber das funktioniert nicht so richtig. Vielleicht seh ich auch den Wald vor lauter Bäumen gerade nicht.
Vielen Dank soweit.
LG,
ChopSuey
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Hallo!
Das ist eine sehr wichtige Lektion.
Nehmen wir mal die Punkte [mm] \vektor{-1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und dein Integral.
Der direkte Weg geht in x-Richtung, aber nicht in y-Richtung. Das gibt auf jeden Fall schonmal [mm] \int_0^0x\,dy=0
[/mm]
Und das Integral über x ist wegen [mm] y^2=0 [/mm] auch null. Damit ist das gesamte Integral =0.
Jetzt ein Umweg über [mm] \vektor{-1\\10} [/mm] und [mm] \vektor{1\\10}:
[/mm]
Der erste Teil des Weges nach oben ergibt [mm] \int_0^{10}-1\,dy=-10
[/mm]
Der zweite nach rechts: [mm] \int_{-1}^{1}100\,dx=200
[/mm]
und der dritte nach unten: [mm] \int_{10}^0+1\,dy=-10
[/mm]
Der gesamte Wegintegral ergibt also diesmal einen Wert von 180.
Im Allgemeinen ist so ein Integral also NICHT wegunabhängig, und du darfst dir keinen anderen Weg aussuchen.
Zumindest in der Physik spricht man von konservativen Feldern, wenn das Wegintegral durch ein Vektorfeld einen vom Weg unabhängigen wert hat. Es hat dann auch ein Potenzial und ist wirbelfrei (rotation=0)
Und nochmal zurück zur Aufgabe: Du hast eine andere Parametrisierung als die Musterlösung, beides beschreibt aber den gleichen Weg, und liefert den gleichen Wert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Mo 16.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Event_Horizon!
vielen Dank auch für Deine Hilfe und die Ergänzungen. Für's Erste hab ich keine Fragen. Allerdings werden vermutlich noch einige folgen. Ich meld mich dann erneut.
Liebe Grüße,
ChopSuey
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