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| Aufgabe | Ich hänge gerade bei Folgendem:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{(ydx+ydy) } [/mm] für [mm] Im(\gamma)=\{(x,y):b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2, y\ge{0}\}
[/mm]
Die Kurve startet in (-a,0) und endet in (0,a) |
Es muss meiner Meinung nach möglich sein einen einfacheren Weg zu wählen, ich komme aber nicht dahinter wie und wie ich es dann in die, einfach zu berechende, Integralform bringen kann.
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Hallo Omikron123,
> Ich hänge gerade bei Folgendem:
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> [mm]\integral_{\gamma}^{}{(ydx+ydy) }[/mm] für
> [mm]Im(\gamma)=\{(x,y):b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2, y\ge{0}\}[/mm]
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> Die Kurve startet in (-a,0) und endet in (0,a)
> Es muss meiner Meinung nach möglich sein einen
> einfacheren Weg zu wählen, ich komme aber nicht dahinter
> wie und wie ich es dann in die, einfach zu berechende,
> Integralform bringen kann.
Probier es mit der Parametrisierung:
[mm]x=a*\cos\left(\pi-t\right), \ y =b*\sin\left(\pi-t\right), \ t \in \left[0,\pi\right][/mm]
Gruss
MathePower
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Mit [mm]a,b>0[/mm] ist [mm]b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2[/mm] eine Ellipse mit den Halbachsen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Deine Kurve mag ja in [mm](-a,0)[/mm] beginnen, kann aber unmöglich in [mm](0,a)[/mm] enden, denn [mm](0,a)[/mm] ist kein Punkt der Kurve. Meinst du [mm](0,b)[/mm]? Oder [mm](a,0)[/mm]?
Die Ellipse kann mittels
[mm]x = a \cos t \, , \ \ y = b \sin t[/mm]
parametrisiert werden. Für [mm]t \in [0,\pi][/mm] wird die obere Halbellipse von [mm](a,0)[/mm] bis [mm](-a,0)[/mm] durchlaufen. Wenn sie umgekehrt durchlaufen werden soll, kann man das durch eine Vorzeichenänderung beim Integral korrigieren.
Und dann auch die Differentialform: [mm]y ~ \mathrm{d}x + y ~ \mathrm{d}y[/mm]
Heißt die wirklich so? Überprüfe gegebenenfalls, ob sie exakt ist, denn dann kannst du auf die Parametrisierung verzichten.
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Danke erstmal für die Antworten. Da hat sich wohl ein kleiner Fehler am Übungszettel eingeschlichen. (0,b) könnte der Endpunkt sein.
Die Differentialform schaut so aus: (ydx+xdy)
Ich bin da gerade etwas unsicher. Exakt heißt ja, dass eine Stammfunktion existiert. Diese müsste man bestimmen und anschließend F(b)-F(a) rechnen, wobei b=(-a,0) und a=(a,0)
Was wäre in diesem Beispiel hier die Stammfunktion? Bei Volumen- und Oberflächenintegralen habe ich kein Problem die Transformationsformel anzuwenden und zu parametrisieren, bei Kurvenintegralen habe ich das aber bis jetzt noch nicht gesehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst einfach (y(t)*x'(t)+x(t)*y'(t))dt integrieren, von t1 bis t2 da das dasselbe ist wie ((x(t)y(t))' hast du doch deine Stammfkt. wenn du die Parametrisierung hast.
Gruss leduart
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Wie man grundsätzlich ein Kurvenintegral berechnet weiß ich. Was sind in diesem Bsp. aber x(t) und y(t)?
Ich habe jetzt die Stammfunktion von ydx+xdy berechnet. Da erhalte ich 2*x*y
Ich habe sie auf folgende Art und Weise ermittelt:
[mm] f_x(x,y)=y [/mm] =>f(x,y)=xy+c(y)
[mm] f_y(x,y)=x+c'(y)=x
[/mm]
=>c(y)=c => f(x,y)=xy+c
Jetzt könnte ich die Punkte einsetzen, weiß aber nicht wie [mm] Im(\gamma) [/mm] ins Spiel kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der ersten und zweiten Antwort stand doch x(t), y(t)
was machst du mit den Antworten? Papierkorb
Gruss leduart?
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[mm] \integral_{0}^{\pi}{(a*b*(Cos^2t-Sin^2t)) dt}=0 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ddu hattest doch schon die Stammfkt?
aber das ist auch richtig.
wenn du von (a,0) bis (-a,0) integrieren sollst
ich dachte von (a,0) bis (0,b)?
Gruss leduart
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Wenn es von (-a,0) bis (a,0) gehen soll, habe ich ja nur ein Minus vor dem Integral und es kommt trotzdem Null heraus
[mm] \integral_{0}^{\pi}{(a\cdot{}b\cdot{}(Sin^2t-Cos^2t)) dt}=0
[/mm]
Wie schaut die Grenze des Integrals aber von (a,0) bis (0,b) aus?
Beim Anderen wurde ja die obere Halbellipse durchlaufen, aber hier?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
x(t)=a*cost y(t)=b*sin(t)
1.t=0 (a,0)
2. [mm] t=\pi/2 [/mm] (0,b)
das ist das rechte obere viertel
Wenn du dir das vektorfeld [mm] (y,x)^T [/mm] auf der ellipse mal anschaust und das skalarprodukt mit dem Tangentialvektor [mm] (x',y')^T [/mm] ansiehst (also die Komp in Tangentialrichtung solltest du sehen warum es 0 gibt, wenn man über ne halbe Ellipse integriert.
welche Grenzen sind denn nun verlangt?
Gruss leduart
gruss leduart
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