Kurvenintegral, Bogenlänge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Gegeben Sei das Vektorfeld f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] durch
f(x) = [mm] \vektor{x_{1} + x_{3} \\ -x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + 1}, [/mm] x = [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IR^{3}.
[/mm]
a) Ist f ein Gradientenfeld? Berechnen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion zu f.
b) Welchen Wert hat das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}^{}{f(x) dx} [/mm] längs der Kurve C mit der Parameterdarstellung [mm] x_{1}(t) [/mm] = cosh t, [mm] x_{1}(t) [/mm] = sinh t, [mm] x_{3}(t) [/mm] = t, 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1.
c) Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve C. |
Hallo,
hier meine Ergebnisse:
a) Wenn f ein Gradientenfeld ist, so muss rot f = [mm] \nabla \times [/mm] f = 0.
Also folgt
[mm] (\bruch{\partial F_{z}}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial F_{y}}{\partial z}, \bruch{\partial F_{x}}{\partial z} [/mm] - [mm] \bruch{\partial F_{z}}{\partial x}, \bruch{\partial F_{y}}{\partial x} [/mm] - [mm] \bruch{\partia F_{x}}{\partial y}) [/mm] = (-1 - (-1), 1 - 1, 0 - 0) = 0
f ist ein Gradientenfeld.
Nun bestimmen ich die Stammfunktion, dazu betrachte ich die Partikulärintegrale:
[mm] \integral_{}^{}{x_{1} + x_{3} dx_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{3}x_{1} [/mm] + [mm] c_{0} [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{-x_{2} - x_{3} dx_{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} x_{2}^{2} [/mm] - [mm] x_{3}x_{2} [/mm] + [mm] c_{1} [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x_{1} - x_{2} + 1 dx_{3}} [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + 1) [mm] x_{3} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm]
das ergibt U(x) = [mm] \bruch{1}{2} x_{1}^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} x_{2}^{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{3}x_{1} [/mm] - [mm] x_{3}x_{2} [/mm] + [mm] c_{3}
[/mm]
Ich hoffe ich habe mich mit den Indices nirgendswo vertan ;)
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b) [mm] \integral_{C}^{}{(x_{1} + x_{3}) dx_{1} + (-x_{2} - x_{3}) dx_{2}+ (x_{1} - x_{2} + 1)dx_{3}}
[/mm]
Mit der Parametrisierung ergibt das
[mm] \integral_{0}^{1}{(cosh (t) + t - sinh (t) - t + cosh (t) - sinh (t) + 1) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{(2*cosh (t) - 2*sinh (t) + 1) dt}
[/mm]
= [2sinh (t) - 2cosh (t) + t] in den Grenzen von 0 bis 1
= 2sinh (1) - 2cosh (t) + 1 - (2 + 0)
= 2sinh (1) - 2cosh (t) - 1
____
c) [mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] \vektor{cosh t \\ sinh t \\ t}
[/mm]
[mm] \gamma' [/mm] (t) = [mm] \vektor{sinh t \\ cosh t \\ 1}
[/mm]
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{||\gamma' (t)||_{2} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{sinh^{2} t + cosh^{2} t + 1} dt}
[/mm]
mit 1 = [mm] cosh^{2} [/mm] t - [mm] sinh^{2} [/mm] t
= [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{2cosh^{2} t} dt}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{1}{cosh t dt}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} [/mm] (cosh (1) - 1)
Das sind jetzt meine Ergebnisse für die Aufgaben.
Sind diese soweit richtig ?
Wäre schön, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
Danke :)
Gruß Helicase.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Sa 15.06.2013 | | Autor: | etienne |
Sieht soweit alles korrekt aus, habe auf den ersten Blick keinen Fehler gefunden.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:22 Sa 15.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur a( ist richtig
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 15.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
in b( musst du doch über f(C)*C' integrieren. mir sieht es so aus als hättest du einfach über die Summe der Komponenten integriert.
in c( hast du den Integranden als Integral genommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Schon einmal danke für's drüber schauen :)
Okay, dann muss ich das nochmal ordnen:
Wir haben ein Vektorfeld gegeben, also müssen wir das Kurvenintegral 2. Art nehmen?
Also
[mm] \integral_{C}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \left\langle f(C(t)), C'(t) \right\rangle [/mm] ?
Da muss ich die Definitionen der Kurvenintegrale nochmal durchgehen.
Aber wo ist jetzt der Fehler bei c) ? Den sehe ich gerade nicht ....
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Schon einmal danke für's drüber schauen :)
>
> Okay, dann muss ich das nochmal ordnen:
>
> Wir haben ein Vektorfeld gegeben, also müssen wir das
> Kurvenintegral 2. Art nehmen?
> Also
>
> [mm]\integral_{C}^{}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\left\langle f(C(t)), C'(t) \right\rangle[/mm]
Nein, sondern
[mm]\integral_{C}^{}{f(x) dx}[/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{ dt}
[/mm]
> ?
>
> Da muss ich die Definitionen der Kurvenintegrale nochmal
> durchgehen.
>
> Aber wo ist jetzt der Fehler bei c) ? Den sehe ich gerade
> nicht ....
Eine Stammfunktion von cosh(t) ist sinh(t)
FRED
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> Danke & Gruß
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