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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 18.06.2008 | | Autor: | NemoAS |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Kurvenlänge durch Integration.
1) sin(x) auf [mm] x\varepsilon[1,2] [/mm] |
Hallo,
ich habe mit dem GTR folgendes Ergebnis herausbekommen:
y=sin(x)
y'=cos(x)
[mm] L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{(y')²+1}dx}
[/mm]
[mm] L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+cos²(x)}dx}
[/mm]
=1,040246 FE
Meine Frage ist: Wie macht man das mit dem Simson-Verfahren.
Wie sehen die Schritte aus, dass ich das berechnen kann?
Vielen Dank
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Hallo!
Das Simpson-Verfahren nähert das Integral doch so an:
[mm] \int_a^c f(x)\,dx\approx\frac{c-a}{6}\left[f(a)+4*f\left(b\right)+f(c)\right] [/mm] mit [mm] b=\frac{c-a}{2}
[/mm]
Du benötigst also nur die Funktionswerte am Anfang, am Ende und genau in der Mitte deines Integrationsintervalls.
Allerdings ist das bisher nur die Keplersche Fassregel. Bei der Simpson-Regel geht es nun darum, daß man das Intervall nochmal in kleinere Teile zerlegt.
Sprich, du berechnest
[mm] \int_1^{1,5}\wurzel{...}\,dx
[/mm]
und
[mm] \int_{1,5}^2\wurzel{...}\,dx
[/mm]
jeweils getrennt mit der Formel oben, und addierst die Ergebnisse. Du brauchst dann also 5 (!) Funktionswerte für x= a, b, c und x= c, d, e
macht also
[mm] \frac{c-a}{6}\left[f(a)+4*f(b)+f(c)\right]
[/mm]
und
[mm] \frac{e-c}{6}\left[f(c)+4*f(d)+f(e)\right]
[/mm]
In der Summe:
[mm] \frac{c-a}{6}\left[f(a)+4*f(b)+f(c)\right]+\frac{e-c}{6}\left[f(c)+4*f(d)+f(e)\right]
[/mm]
Die beiden Brüche sind gleich groß, denn die Abstände der Punkte untereinander soll immer gleich sein. Nennen wir den Zähler mal D
[mm] \frac{D}{6}\left[f(a)+4*f(b)+f(c)\right]+\frac{D}{6}\left[f(c)+4*f(d)+f(e)\right]
[/mm]
[mm] \frac{D}{6}\left[f(a)+4*f(b)+\red{f(c)+f(c)}+4*f(d)+f(e)\right]
[/mm]
[mm] \frac{D}{6}\left[f(a)+4*f(b)+\red{2f(c)}+4*f(d)+f(e)\right]
[/mm]
Beachte, wie der letzte Summand des linken und der erste des rechten sich verbinden!
Du kannst nun ohne Probleme hinschreiben, wie das ganze aussieht, wenn du dein Integral in drei Teile zerlegst, denn du bekommst in der Klammer noch ein $f(e)+4*f(g)+f(h)$ hinzu.
Und dies ist die Simpson-Regel. Du bestimmst selbst, in wie viele Teile du das Integral zerlegst, und bekommst einen zwar immer länger werdenden, aber extrem einfachen Rechenausdruck geliefert.
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