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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Kurvenintegral
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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Gegeben sei das Vektorfeld [mm] $\vec{F}=(2x_{1}^{2}-3x_{2}; 4x_{2}x_{3}; [/mm] \ [mm] 3x_{1}^{2}x_{3})$. [/mm] Berechnen Sie die Arbeit entlang der Wege

[mm] $C_{1}: [/mm] \ [mm] \vec{r}(a)=(a,a,a^{2});\ 0\le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1$

[mm] $C_{2}: [/mm] \ [mm] \vec{r}(a)=(a,a^{2},a);\ 0\le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1$

Hallo,

Wie geht man Kurvenintegrale im allgemeinen an?


Die Parametrisierung finden:

[mm] $\gamma: [/mm] \ \ x=u(t), y=v(t), z=w(t)$  


[mm] $\integral_{\gamma}{(2x^{2}-3y) dx+(4yz)dy + (3x^{2}z)dz}$ [/mm]


Wie mache ich weiter?



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


Danke und Gruss

kushkush

        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 So 27.02.2011
Autor: Leopold_Gast

Hier sind die Parametrisierungen ja vorgegeben. Jetzt ersetze

[mm]x[/mm] durch [mm]a[/mm], [mm]y[/mm] durch [mm]a[/mm], [mm]z[/mm] durch [mm]a^2[/mm] (bei der ersten Kurve)

Auch bei den Differentialen substituieren, z.B.

[mm]\mathrm{d}z = \mathrm{d} \left( a^2 \right) = 2a~\mathrm{d}a[/mm]

Die Integrationsgrenzen für die reelle Variable [mm]a[/mm] sind die Grenzen des Intervalls der Parametrisierung.

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Hallo Leopold,

[mm] $C_{1}$: [/mm]
$x=a$ $dx=1 da$
$y=a$ $dy=1da$
[mm] $z=a^{2}$ [/mm] $dz=2ada$

[mm] $\integral_{0}^{1} (2a^{2}-3a)da+ (4a^{3})da [/mm] + [mm] (3a^{4})2ada$=\integral_{0}^{1}-3a+2a^{2}+4a^{3}+6a^{5}da=\frac{7}{6}$ [/mm]


und

[mm] $C_{2}:$ [/mm]
$x=a, dx=da$
[mm] $y=a^{2}, [/mm] dy=2ada$
$z=a, dz=da$

[mm] $\integral_{0}^{1}(2a^{2}-3a^{2})da+(4a^{2}\cdot a)2ada+(3a^{2}a)da=\integral_{0}^{1}-a^{2}+3a^{3}+8a^{4}da=\frac{29}{12}$ [/mm]

Stimmt das so für die Arbeit?

Dankeschön!


Gruss

kushkush


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 27.02.2011
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Hallo Leopold,
>
> [mm]C_{1}[/mm]:
>  [mm]x=a[/mm] [mm]dx=1 da[/mm]
>  [mm]y=a[/mm] [mm]dy=1da[/mm]
>  [mm]z=a^{2}[/mm] [mm]dz=2ada[/mm]
>  
> [mm]$\integral_{0}^{1} (2a^{2}-3a)da+ (4a^{3})da[/mm] +
> [mm](3a^{4})2ada$=\integral_{0}^{1}-3a+2a^{2}+4a^{3}+6a^{5}da=\frac{7}{6}$[/mm]
>  


[ok]


>
> und
>
> [mm]C_{2}:[/mm]
>  [mm]x=a, dx=da[/mm]
>  [mm]y=a^{2}, dy=2ada[/mm]
>  [mm]z=a, dz=da[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}(2a^{2}-3a^{2})da+(4a^{2}\cdot a)2ada+(3a^{2}a)da=\integral_{0}^{1}-a^{2}+3a^{3}+8a^{4}da=\frac{29}{12}[/mm]


Dieses Ergebnis stimmt nicht.


>  
> Stimmt das so für die Arbeit?
>


Für [mm]C_{1}[/mm] stimmt die Arbeit, für [mm]C_{2}[/mm] jedoch  nicht.



> Dankeschön!
>
>
> Gruss
>  
> kushkush
>  



Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Hallo Mathepower,


< Dieses Ergebnis stimmt nicht.


[mm] $\frac{121}{60}$ [/mm] stimmen, richtig?

< Gruss
Danke !!


Gruss

kushkush

Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 So 27.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Hallo Mathepower,
>  
>
> < Dieses Ergebnis stimmt nicht.
>
>
> [mm]\frac{121}{60}[/mm] stimmen, richtig? [ok]
>
> < Gruss
>  Danke !!
>  
>
> Gruss
>  
> kushkush

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:07 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Hallo,

<Daumenhoch


Danke



Gruss

kushkush

Bezug
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