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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich moechte (fuer [mm] $n\in\IN)$ [/mm] das folgende Integral berechnen:
[mm] $\int_{\left|z-1\right|=\rho}\frac{1}{z^n-1}dz=\int_{0}^{2\pi}\frac{i\rho e^{it}}{(1+\rho e^{it})^n-1}dt$
[/mm]
Wie muss ich genau dabei vorgehen?
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Was weißt Du nüber [mm] \rho [/mm] ?
Ist z.B. [mm] \rho [/mm] = 2 und n gerade , so liegt die Singularität -1 des Integranden auf dem Integrationsweg !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Fred,
es ist [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine natuerliche Zahl. Da ich das Integral benoetige, um das Residuum von [mm] $f(z)=\frac{1}{z^n-1}$ [/mm] um $1$ zu berechnen, ist $rho>0$ irgendeine reelle Zahl.
Aber wie gehe ich nun vor, abgesehen von den Faellen, bei denen Singularitaeten auf der Spur der Kurve liegen?
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> es ist [mm]n\in\IN[/mm] eine natuerliche Zahl. Da ich das Integral
> benoetige, um das Residuum von [mm]f(z)=\frac{1}{z^n-1}[/mm] um [mm]1[/mm] zu
> berechnen, ist [mm]rho>0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
irgendeine reelle Zahl.
>
> Aber wie gehe ich nun vor, abgesehen von den Faellen, bei
> denen Singularitaeten auf der Spur der Kurve liegen?
Wenn Du \rho hinreichend klein wählst, was Du kannst, liegen keine Singularitäten auf dem Integrationsweg.In einer anderen Diskussion hat Marhepower Dir folgendes geschrieben:
Die Idee heißt Partialbruchzerlegung:
$ f(z)=\frac{1}{z^n-1}=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{A_{i}}{z-z_{i}}} $
,wobei $ z_{i}=e^{i\cdot{}\bruch{2\pi}{n}}, i=0 ... n-1, i \in \IN_{0} $
Wenn Du \rho genügend klein wählst, verschwinden die Integrale über die letzten n-1 Summanden
Wegen z_0 = 1, bleibt also nur das Integral über
\bruch{A_{0}}{z-1}
Dieses Integral hat den Wert $2 \pi i A_0$
FRED
>
> Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank! Deine Erklaerung hat mir enorm weitergeholfen.
Gruss Denny
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