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Hallo
Folgendes:
[mm] v=\vektor{\bruch{-y}{x^{2}+y^{2}} \\ \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Zeigen Sie das die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist
Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}^{}{v dx}, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Kreis [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] ist
zu Integbed. [mm] v_{x}-u_{y}=0
[/mm]
v(x,y) [mm] =\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] v_{x}=\bruch{-x^{2}+y^{2}}{
(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] u(x,y)=\bruch{-y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] u_{y}=\bruch{-x^{2}+y^{2}}{
(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] => ist erfüllt
jetzt zum Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{v dx} [/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}=1
[/mm]
r=1, [mm] 0\le \phi \le 2\pi
[/mm]
[mm] x(\phi)= \vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi)}
[/mm]
[mm] x_{\phi}=\vektor{-sin(\phi) \\ cos(\phi)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{v(x(\phi))*x_{\phi} d\phi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{v=\vektor{\bruch{-sin(\phi)}{sin(\phi)^{2}+cos(\phi)^{2}} \\ \bruch{cos(\phi)}{cos(\phi)^{2}+sin(\phi)^{2}}}*\vektor{-sin(\phi) \\ cos(\phi)} d\phi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{1 d\phi}=\phi=2\pi
[/mm]
Ich kenn mich noch nicht so gut aus mit Kurvenintegralen aber wenn man das über die Potentialfunktion rechnen würde müßte Null rauskommen da Anfangs und Endpunkt ident sind Hab ich das Kurvenintegral falsch berechnet?
Wo sieht man in der Rechnung das der Kreis gegen oder mit dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird ???
Danke
lg Stevo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Sa 08.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi stevarino,
/*
ich habe jetzt nicht die zeit, mir alles ganz genau anzugucken, aber ich denke, du hast das kurven-integral falsch berechnet. Ich kann in deiner rechnung das linienelement $ds$ nicht entdecken, das müsste eigentlich [mm] $\|x_\phi\|=1$ [/mm] statt deines [mm] $x_\phi$ [/mm] sein. Dann erhältst du auch ein vektorwertiges (!) integral, welches in beiden komponenten $0$ ist. */
Halt, so geht es wohl doch nicht. Habe gerade die definition von vektorwertigen wegintegralen nachgeschlagen und die ist tatsächlich so, wie Du sie ausgerechnet hast.
VG
Matthias
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Hallo
Und wie ist das mit der Richtung was ändert sich an der Berechnung wenn man in die entgegengesetzte Richtung läuft???
Danke
lg Stevo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Sa 08.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann läuft [mm] \Phi [/mm] v0n [mm] 2\pi [/mm] bis 0!
dein [mm] v_{x} [/mm] und [mm] u_{y} [/mm] sind übrigens falsch! im Zähler mus 2xy stehen rechne nach , vorzeichen weiss ich grad nicht
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Sa 08.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> zu Integbed. [mm]v_{x}-u_{y}=0[/mm]
Beim überfliegen sieht's okay aus.
> [mm]x(\phi)= \vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi)}[/mm]
Das ist richtig - da hatte ich mich fast geirrt, aber der erste vektor ist ja die x-Koordinate, man startet also ganz rechts am Kreis und läuft nach links oben.
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{1 d\phi}=\phi=2\pi[/mm]
Richtig.
> Ich kenn mich noch nicht so gut aus mit Kurvenintegralen
> aber wenn man das über die Potentialfunktion rechnen würde
> müßte Null rauskommen da Anfangs und Endpunkt ident sind
Ja, wenn es denn ein Potential gäbe ... aber es gibt keins auf ganz [m]\IR^2\backslash \{0\}[/m].
> Hab ich das Kurvenintegral falsch berechnet?
Nein.
> Wo sieht man in der Rechnung das der Kreis gegen oder mit
> dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird ???
An der Definition deiner Kurve.
SEcki
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