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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral
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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mi 19.06.2019
Autor: Susannchen

Aufgabe
Gegeben sei [mm] $\vec{\gamma} [/mm] :[0,2 [mm] \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \qquad [/mm] t [mm] \mapsto(1+\cos (t))\left(\begin{array}{c}{\sin (t)} \\ {\cos (t)}\end{array}\right)$ [/mm]

Berechnen Sie das Kurvenintegral der Normfunktion $f : [mm] \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ [/mm] entlang
der Kardioide.

Nutzen Sie dafür Sie [mm] $|\dot{\vec{\gamma}}(t)|=2\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|$ [/mm]

Hallo, ich habe ein Problem, denn ich weiß nicht wie ich hier arbeiten soll.

Es soll ja gelten:
[mm] $$\int_{\vec{\gamma}} [/mm] f [mm] \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)| \mathrm{d} [/mm] t$$

Nun setze ich ein und forme um

[mm] $$\int_{\vec{\gamma}} [/mm] f [mm] \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)| \mathrm{d} [/mm] t =
2 [mm] \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left(sin^2(t)+cos^2(t)+cos^2(t)*sin^2(t)+cos^4(t)\right.}\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right| \mathrm{d} [/mm] t$$

Nun weiß ich nicht wie ich hier weiter machen soll, für [mm] $|cos(\frac{t}{2}|$ [/mm] könnte man das integral trennen 0 bis $pi$ und $pi$ bis $2pi$ ,aber das in der Wurzel macht mich fertig.

Ich könnte es natürlich umformen zu
$$
[mm] \sqrt{\left(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)+\cos ^{2}(t) \cdot \sin ^{2}(t)+\cos ^{4}(t)\right.}= \sqrt{1+cos^2(t)} [/mm]
$$
aber das macht es nicht besser.

Ich fasst das mal kurz beides zusammen
wir hätten dann:

$$
2 [mm] \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+cos^2(t)} \sin \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} [/mm] t-2 [mm] \int_{\pi}^{2 \pi} \sqrt{1+cos^2(t)} \sin \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} [/mm] t
$$


Ich hoffe man versteh mich?

LG
Susanne

        
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Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mi 19.06.2019
Autor: fred97

Ich lasse die Pfeile mal weg. Du hast [mm] $f(\gamma(t))$ [/mm] falsch berechnet.

Es ist [mm] $f(\gamma(t))= ||\gamma(t)||=\sqrt{(1+ \cos(t))^2 \sin^2(t)+(1+ \cos(t))^2 \cos^2(t)}= \sqrt{(1+\cos(t))^2}=1+\cos(t)$. [/mm]

So, nun macht Dich keine Wurzel mehr fertig .

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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Mi 19.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
danke für die Antwort nun stehe ich allerdings vor einem weiteren Problem:(

Wir haben nun

$$
[mm] \int_{\vec{\gamma}} \mathbf{f} \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)|dt= \int_{0}^{2 \pi} (1+\cos (t))\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|dt [/mm] =  [mm] 2\int_{0}^{\pi}(1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} \mathrm{t}-2 \int_{\pi}^{2 \pi} (1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right)\mathrm{d} \mathrm{t} [/mm]
$$

Der Ausdruck $$
[mm] (1+\cos [/mm] (t)) [mm] \cos \left(\frac{t}{2}\right) [/mm]
$$ ist natürlich unschön zu integrieren kann man daran nicht etwas ändern? Ich hab erst an die Additionstheoreme gedacht, aber dadurch wird der Ausdruck auch nicht schöner, obwohl man dann den Bruch weg bekommt
Ich führe es einmal aus

$$
[mm] (1+\cos(t)) (cos^2-sin^2) [/mm]
$$

Aber der Ausdruck ist wie gesagt auch sehr unschön

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Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Mi 19.06.2019
Autor: leduart

Hallo
ersetze [mm] cos(t)=cos^2(t/2)-sin^2(t/2)=2cos^2(t/2)-1 [/mm]
dann wir dein bestimmtes Integral leicht denn [mm] cos^3(t/2) [/mm] ist punktsymmetrisch zu [mm] \pi [/mm] also verschwindet das Integral darüber.
Gruß lul

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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mi 19.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
ich stehe gerade etwas auf dem schlauch in wie weit meinst du das integral verschwindet darüber?

Meine nun berechnete Stammfunktion lautet $$
[mm] \frac{\sin \left(\frac{3 x}{2}\right)+9 \sin \left(\frac{x}{2}\right)}{3} [/mm]
$$

aber dies war jetzt nicht sehr leicht, denn man muss ein paar mal substituieren. Ich habe aber das Gefühl, dass du einen Weg meist, der einen großes Rechnen erspart? Ich bin immer offen für elegante Lösungen.

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Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 19.06.2019
Autor: leduart

Hallo
schreib doch mal, welche Funktion du nun integrieren willst.
Gruß leduart

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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Do 20.06.2019
Autor: Susannchen

Ich möchte diese "Funktion" hier integrieren
$$
[mm] \cos^{3}(t/2) [/mm]
$$

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Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Do 20.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich möchte diese "Funktion" hier integrieren  [mm]\cos^{3}(t/2)[/mm]

da fehlt ja nun noch einiges.
Wie möchtest du intergrieren?
Einfach so, abschnittsweise, Intervall? Ein bisschen konkreter darf es schon sein.

Du möchtest nämlich nicht nur irgendwie integrieren, sondern konkret:
Du möchtest die Funktion [mm]\cos^{3}(t/2)[/mm] einmal integrieren über [mm] $[0,\pi]$ [/mm] und einmal über [mm] $[\pi,2\pi]$ [/mm]

Jetzt []schau dir mal den Graphen der Funktion an, dann siehst du (wie leduard erwähnt hat), dass die Funktion Punktsymmetrisch zu [mm] $\pi$ [/mm] ist mit [mm] $\cos^{3}(\pi/2) [/mm] = 0$, daraus folgt dann eben:

[mm] $\int_0^\pi \cos^{3}(t/2) [/mm] dt = [mm] -\int_\pi^{2\pi} \cos^{3}(t/2) [/mm] dt

Oder:

$0 = [mm] \int_0^\pi \cos^{3}(t/2) [/mm] dt + [mm] \int_\pi^{2\pi} \cos^{3}(t/2) [/mm] dt  = [mm] \int_0^{2\pi} \cos^{3}(t/2) [/mm] dt$

Noch eine Anmerkung zu deinen Umformungen:

> $ [mm] \int_{\vec{\gamma}} \mathbf{f} \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)|dt= \int_{0}^{2 \pi} (1+\cos (t))\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|dt [/mm] $ =  $ [mm] 2\int_{0}^{\pi}(1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} \mathrm{t}-2 \int_{\pi}^{2 \pi} (1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right)\mathrm{d} \mathrm{t} [/mm] $

Die letzte Gleichung stimmt doch gar nicht.
Es ist doch [mm] $\cos(t/2) \ge [/mm] 0$ auf dem gesamten Integrationsgebiet und damit:

$ [mm] \int_{\vec{\gamma}} \mathbf{f} \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)|dt= \int_{0}^{2 \pi} (1+\cos (t))\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|dt [/mm] = 2 [mm] \int_0^{2\pi} \cos^3(\frac{t}{2}) [/mm] dt = 0$

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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Do 20.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
$ [mm] \cos(t/2) \ge [/mm] 0 $ kann das stimmen? Denn für [mm] $t=2\pi$ [/mm] ist der Cosinus negativ

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Kurvenintegral: Der Betrag fehlt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Fr 21.06.2019
Autor: Infinit

Hallo Susanne,
natürlich hast Du mit Deinem Kommentar recht und die Verwirrung ist  wohl der Tatsache geschuldet, dass Gonozal in seiner Antwort die Betragsstriche vergessen hat, denn die gehören nun mal dazu. Dann stimmt die Aussage und die Argumentation, die bereits weiter oben angebracht wurde, ist auch verständlich.
Viele Grüße,
Infinit

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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Fr 21.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
ich habe leider immer noch nicht verstanden warum [mm] $\cos(t/2) \ge [/mm] 0 $ auf [mm] $t\in [0,2\pi]$ [/mm] gelten soll.

Ein Gegenbeispiel wäre doch $cos(2pi/2)=cos(pi)=-1$?

LG
Susanne

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Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Fr 21.06.2019
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich habe leider immer noch nicht verstanden warum
> [mm]\cos(t/2) \ge 0[/mm] auf [mm]t\in [0,2\pi][/mm] gelten soll.

Das gilt ja auch nicht !

Wir haben

[mm]\cos(t/2) \ge 0[/mm] für  [mm]t\in [0,\pi][/mm]

und

[mm]\cos(t/2) \le 0[/mm] für  [mm]t\in [ \pi,2\pi][/mm]


>  
> Ein Gegenbeispiel wäre doch [mm]cos(2pi/2)=cos(pi)=-1[/mm]?
>  
> LG
>  Susanne


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