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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral
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Kurvenintegral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mo 12.01.2015
Autor: Marie886

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das Kurvenintegral [mm] I=\int_C [/mm] f(x)dx mit dem Vektorfeld f(x)= f(x,y,z)= [mm] (4xz^2-3y^3z,-9xy^2z+2y, 4x^2z-3xy^3) [/mm] unabhängig vom speziellen Weg C mit dem Anfangspunkt A= (0,0,0) und dem Endpunkt B= (1,2,-1) ist und berechnen Sie I

Hallo,

habe heute ein Kurvenintegral-Bsp. Bin folgendermaßen vorgegangen:

1.) Parametisieren von C:

f(x)=  [mm] \begin{pmatrix} 4xz^2-3y^3z \\ -9xy^2z+2y\\ 4x^2z-3xy^3 \end{pmatrix} [/mm]

mit der Formel: [mm] \bruch{\partial f_i}{\partial x_j}= \bruch{\partial f_j}{\partial x_i}, 1\le i\le j\le [/mm] n

habe ich bewiesen    
                       - 9y^2z=-9y^2z
                       - [mm] 9xy^2=-9xy^2 [/mm]
                       [mm] 8xz-3y^3=8xz-3y^3 [/mm]

dass C wegunabhängig ist.

Somit ist x=y=z=t  (kann man das so schreiben?)

der Weg ist: C: --> x(t)=  [mm] \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -t \end{pmatrix}, [/mm] x'(t)=  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]

Als nächstes setze ich ins Integral ein:

[mm] \int_C=\integral_{0}^{1} [/mm] f(x(t)). x'(t) dt ( "." = inneres Produkt)

= [mm] \integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t*t^2-3t^3t \\ -9t*t^2t+2t\\ 4t^2t-3t*t^3 \end{pmatrix} [/mm] .  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] dt=
[mm] \integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix} [/mm] .  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] dt=
[mm] \integral_{0}^{1} (4t^3*1-3t^4*1 [/mm] )+ [mm] (-9t^4*2+2t*2)+ (4t^3*(-1)-3t^4*(-1)) [/mm] =  [mm] \integral_{0}^{1}-24t^4+4t [/mm] dt=  
[mm] \bruch{-24*t^5}{5}+ \bruch{4t^2}{2}|_0^1= [/mm]

Die Grenzen eingesetzt ergibt:

I= [mm] \bruch{-24*1^5}{5}+ \bruch{4*1^2}{2}-0 [/mm] =  

I= [mm] \bruch{-48}{10}+ \bruch{20}{10}= \bruch{-28}{10}= \bruch{-14}{5} [/mm]

In meinen Unterlagen kommt aber 30 raus... und dort steht auch:

f(x(t))= [mm] \begin{pmatrix} 4*t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t^2\\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix} [/mm]

Kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler liegt?

LG

        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Mo 12.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Marie886,

> Zeigen Sie, dass das Kurvenintegral [mm]I=\int_C[/mm] f(x)dx mit dem
> Vektorfeld f(x)= f(x,y,z)= [mm](4xz^2-3y^3z,-9xy^2z+2y, 4x^2z-3xy^3)[/mm]
> unabhängig vom speziellen Weg C mit dem Anfangspunkt A=
> (0,0,0) und dem Endpunkt B= (1,2,-1) ist und berechnen Sie
> I
>  Hallo,
>  
> habe heute ein Kurvenintegral-Bsp. Bin folgendermaßen
> vorgegangen:
>  
> 1.) Parametisieren von C:
>  
> f(x)=  [mm] \begin{pmatrix} 4xz^2-3y^3z \\ -9xy^2z+2y\\ 4x^2z-3xy^3 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> mit der Formel: [mm]\bruch{\partial f_i}{\partial x_j}= \bruch{\partial f_j}{\partial x_i}, 1\le i\le j\le[/mm]
> n
>  
> habe ich bewiesen    
> - 9y^2z=-9y^2z
>                         - [mm]9xy^2=-9xy^2[/mm]
>                         [mm]8xz-3y^3=8xz-3y^3[/mm]
>  
> dass C wegunabhängig ist.
>
> Somit ist x=y=z=t  (kann man das so schreiben?)
>  
> der Weg ist: C: --> x(t)=  [mm] \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -t \end{pmatrix},[/mm]
> x'(t)=  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Als nächstes setze ich ins Integral ein:
>  
> [mm]\int_C=\integral_{0}^{1}[/mm] f(x(t)). x'(t) dt ( "." = inneres
> Produkt)
>  
> = [mm]\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t*t^2-3t^3t \\ -9t*t^2t+2t\\ 4t^2t-3t*t^3 \end{pmatrix}[/mm]
> .  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] dt=
> [mm]\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix}[/mm]
> .  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] dt=
>  [mm]\integral_{0}^{1} (4t^3*1-3t^4*1[/mm] )+ [mm](-9t^4*2+2t*2)+ (4t^3*(-1)-3t^4*(-1))[/mm]
> =  [mm]\integral_{0}^{1}-24t^4+4t[/mm] dt=  
> [mm]\bruch{-24*t^5}{5}+ \bruch{4t^2}{2}|_0^1=[/mm]
>
> Die Grenzen eingesetzt ergibt:
>
> I= [mm]\bruch{-24*1^5}{5}+ \bruch{4*1^2}{2}-0[/mm] =  
>
> I= [mm]\bruch{-48}{10}+ \bruch{20}{10}= \bruch{-28}{10}= \bruch{-14}{5}[/mm]
>
> In meinen Unterlagen kommt aber 30 raus... und dort steht
> auch:
>
> f(x(t))= [mm]\begin{pmatrix} 4*t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t^2\\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler liegt?
>  


Bei der Berechung von f(x(t) hast Du den falschen Weg gewählt:


> LG


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mo 12.01.2015
Autor: Marie886

muss ich dann

[mm] f(x)=\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix} [/mm]

aufleiten?





Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Marie886,

> muss ich dann
>  
> [mm]f(x)=\integral_{0}^{1} \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -9t^4+2t\\ 4t^3-3t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> aufleiten?
>


Benutze statt diese Wortes "auf..." das Wort "integrieren".

Für x ist der Weg [mm]t*\pmat{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] einzusetzen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Di 13.01.2015
Autor: Marie886

Gut, das habe ich nun gemacht, für alle x in meiner Funktion habe ich  [mm] t\cdot{}\pmat{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] eingesetzt.

Bei mir kommt folgendes raus:

f(x)= [mm] \begin{pmatrix} 4* 1t* z^2-3y^3*z \\ -9*2t*y^2*z+2*y \\ 4*(-1t^2)*z-3*(-1t)*y^3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4* 1t* t^2-3t^3*t \\ -18t*t^2*t+2*t \\ 4*t^2*t-3*(-1t)*t^3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix} [/mm]

Nun setze ich in meine Integralformel ein:

[mm] \int_C= \integral_{0}^{1} [/mm] f(x(t)).x'(t)dt= [mm] \begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1}4t^-3t^4-36t^4+4t-4t^3-3t^4dt= [/mm]
[mm] -42t^4+4tdt= \bruch{-45t^5}{5}+\bruch{4t^2}{2}|_0^1= \bruch{-42}{5}+\bruch{2}{1}= -\bruch{84}{10}+\bruch{20}{10}= -\bruch{64}{10}= -\bruch{32}{5} [/mm]

ich schätz, dass dies wieder nicht richtig ist?! Bitte nicht verzweifeln, dass tu ich bei diesem Beispiel schon für 2 ;-)


Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Marie886,

> Gut, das habe ich nun gemacht, für alle x in meiner
> Funktion habe ich  [mm]t\cdot{}\pmat{1 \\ 2 \\ -1}[/mm] eingesetzt.
>  
> Bei mir kommt folgendes raus:
>  
> f(x)= [mm]\begin{pmatrix} 4* 1t* z^2-3y^3*z \\ -9*2t*y^2*z+2*y \\ 4*(-1t^2)*z-3*(-1t)*y^3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4* 1t* t^2-3t^3*t \\ -18t*t^2*t+2*t \\ 4*t^2*t-3*(-1t)*t^3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun setze ich in meine Integralformel ein:
>  
> [mm]\int_C= \integral_{0}^{1}[/mm] f(x(t)).x'(t)dt= [mm]\begin{pmatrix} 4t^3-3t^4 \\ -18t^4+2t \\ 4t^3+3t^4 \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1}4t^-3t^4-36t^4+4t-4t^3-3t^4dt=[/mm]
> [mm]-42t^4+4tdt= \bruch{-45t^5}{5}+\bruch{4t^2}{2}|_0^1= \bruch{-42}{5}+\bruch{2}{1}= -\bruch{84}{10}+\bruch{20}{10}= -\bruch{64}{10}= -\bruch{32}{5}[/mm]
>  
> ich schätz, dass dies wieder nicht richtig ist?! Bitte
> nicht verzweifeln, dass tu ich bei diesem Beispiel schon
> für 2 ;-)
>  


Leider ist das wieder nicht richtg.

Ersetze in f(x,y,z) x durch t, y durch 2t und z durch -t.


Gruss
MathePower

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Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Di 13.01.2015
Autor: Marie886

Ok, danke!

YESS! and finally:

Schreibe dir mal meine Schritte:

f(x)=  [mm] \begin{pmatrix} 4*t*(-t^2)-3*(2t^30*(-t)) \\ -9*t*(2t^2)*(-t)+2*(2t) \\ 4*t^2*(-t)-3*t*(2t^3)\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix} [/mm]


[mm] \int_C= \integral_{0}^{1} [/mm] f(x(t).x'(t)dt=  [mm] \integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 72t^4+8t \\ 4t^3+24t^4 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1} 4t^3+24t^4+72t^4+8t+4t^3+24t^4dt= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} 8t^3+120t^4+8tdt= \bruch{8t^4}{4}+\bruch{120t^5}{5}+\bruch{8t^2}{2}|_0^1= \bruch{8}{4}+\bruch{120}{5}+\bruch{8}{2}=\bruch{2}{1}+\bruch{120}{5}+\bruch{4}{1}=\bruch{20}{10}+\bruch{240}{10}+\bruch{40}{10}= \bruch{300}{10}=30 [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 13.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Marie886,

> Ok, danke!
>  
> YESS! and finally:
>
> Schreibe dir mal meine Schritte:
>  
> f(x)=  [mm] \begin{pmatrix} 4*t*(-t^2)-3*(2t^30*(-t)) \\ -9*t*(2t^2)*t+2*(2t) \\ 4*t^2*(-t)-3*t*(2t^3)\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm] \begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}[/mm]
>  


[ok]


>
> [mm]\int_C= \integral_{0}^{1}[/mm] f(x(t).x'(t)dt=  
> [mm]\integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 36t^4+4t \\ -4t^3-24t^4 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}dt=[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}\begin{pmatrix} 4t^3+24t^4 \\ 72t^4+8t \\ 4t^3+24t^4 \end{pmatrix}dt= \integral_{0}^{1} 4t^3+24t^4+72t^4+8t+4t^3+24t^4dt=[/mm]
>  
>  [mm]\integral_{0}^{1} 8t^3+120t^4+8tdt= \bruch{8t^4}{4}+\bruch{120t^5}{5}+\bruch{8t^2}{2}|_0^1= \bruch{8}{4}+\bruch{120}{5}+\bruch{8}{2}=\bruch{2}{1}+\bruch{120}{5}+\bruch{4}{1}=\bruch{20}{10}+\bruch{240}{10}+\bruch{40}{10}= \bruch{300}{10}=30[/mm]
>  


Alles richtig. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mo 12.01.2015
Autor: fred97

Einfacher gehts, wenn Du eine Stammfunktion F von f berechnest. Dann ist

[mm] $\int_C [/mm]  f(x)dx=F(B)-F(A)$

FRED

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:22 Mo 12.01.2015
Autor: Marie886

weiß leider echt nicht wie ich auf das Ergebnis meines "Vorrechners" komme. Wenn ich die Funktion aufleite kommen ja fast nur Brüche raus...

Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 14.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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