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| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden drei Kurven:
[mm] \gamma_1 [/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0;0), (1;0), und (1;1) (in dieser Reihenfolge)
[mm] \gamma_2 [/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0;0), (0;1), und (1;1) (in dieser Reihenfolge)
[mm] \gamma_3 [/mm] das Stück der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] von (0;0) bis (1,1)
Berechnen Sie jeweils
[mm] \integral_{\gamma_k}{ydx+(x-y)dy} [/mm] und [mm] \integral_{\gamma_k}{ ydx-(x-y)dy}
[/mm]
für k=1,2,3. Kommentieren Sie ihre Ergebnisse! |
ich verstehe das Integral nicht ganz. was ist hier x und y? variabeln oder funktionen? wozu brauch ich die Punkte der drei Kurven?
EDIT: achso es geht hier darum zu bestimmen ob die Kurven wegunabhängig oder wegabhängig sind
muss ich für [mm] \gamma_1 [/mm] das folgende Integral lösen?
[mm] \integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ydx+(x-y)dy} [/mm] und [mm] \integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ ydx-(x-y)dy}
[/mm]
[mm] \integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ydx+(x-y)dy} [/mm] und [mm] \integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ ydx-(x-y)dy}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Fr 24.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> ich verstehe das Integral nicht ganz. was ist hier x und
> y? variabeln oder funktionen? wozu brauch ich die Punkte
> der drei Kurven?
Falls dir die Integration von 1-Formen nicht geläufig kannst, kannst du das auch als Wegintegrale mit den Vektorfeldern [mm] $F_{\pm}(x,y)=\vektor{y\\ \pm(x-y)}$ [/mm] auffassen
>
> EDIT: achso es geht hier darum zu bestimmen ob die Kurven
> wegunabhängig oder wegabhängig sind
>
> muss ich für [mm]\gamma_1[/mm] das folgende Integral lösen?
[mm] $\gamma_2$.
[/mm]
>
> [mm]\integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ydx+(x-y)dy}[/mm] und
> [mm]\integral_{(0;0)}^{(0;1)}{ ydx-(x-y)dy}[/mm]
>
> [mm]\integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ydx+(x-y)dy}[/mm] und
> [mm]\integral_{(0;1)}^{(1;1)}{ ydx-(x-y)dy}[/mm]
>
Genau, wobei die von dir verwendete Schreibweise nur dann Sinn macht, wenn das Kurvenintegral wegunabhängig ist.
Liebe Grüße
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Für [mm] \gamma_1 [/mm] gilt:
[mm] \integral_{(0;0)}^{(1;0)}{ydx+(x-y)dy}=[xy]_{(0;0)}^{(0;1)}+[xy-\bruch{1}{2}*y^2]_{(0;0)}^{(0;1)}=0
[/mm]
[mm] \integral_{(1;0)}^{(1;1)}{ydx+(x-y)dy}=-\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{(0;0)}^{(1;0)}{ ydx-(x-y)dy}=0
[/mm]
[mm] \integral_{(1;0)}^{(1;1)}{ ydx-(x-y)dy}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
was genau soll ich aus den ergebnissen herleiten bzw. was soll ich zu den Ergebnissen kommentieren? die ergebnisse sind richtig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Sa 25.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, das sind doch keine Integrale über [mm] $\IR$, [/mm] sondern über Mannigfaltigkeiten (bzw. über Lipschitz-Ränder).
Wie ich schon in meinem ersten Post andeutete:
Berechne u.a. das Kurvenintegral [mm] $\int_{\gamma_1^{(1)}} [/mm] F [mm] \mathrm{d}s:=\int_{I} \left \mathrm{d}t$ [/mm] mit [mm] $F=\vektor{y\\x-y}$ [/mm] und der Strecke [mm] $\gamma_1^{(1)}$ [/mm] vom Ursprung zum Punkt (1,0) (Mit [mm] $\gamma: I\to \IR^2$ [/mm] bezeichne ich eine Parametrisierung der Strecke).
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Sa 25.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \gamma=(\gamma_1, \gamma_2)^T:[a,b] \to \IR^2 [/mm] ein stückweise stetig differenzierbarer Weg und [mm] f=(f_1,f_2)^T:Bild(\gamma) \to \IR^2 [/mm] stetig.
Das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y) dx +f_2(x,y) dy} [/mm] ist wie folgt definiert:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y) dx +f_2(x,y) dy}=\integral_{a}^{b}{(f_1(\gamma(t))\gamma_1'(t)+ f_2(\gamma(t))\gamma_2'(t)) dt}
[/mm]
FRED
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