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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Kurvendiskussion x^x

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Kurvendiskussion x^x: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:50 So 25.09.2005
Autor:	natschke

Hallo!
Ich bin auf der Suche nach einer Lösung für diese Aufgabe auf dieses Forum gestoßen und vielleicht kann mir jemand helfen.

Ich muss also die Funktion [mm] f(x)=x^x [/mm] diskutieren. Ich bin zunächst auf die Ableitung [mm] f'(x)=x^x [/mm] gekommen. Laut Funkyplot ist das jedoch falsch, die Ableitungsfunktion ist eine andere (die ja leider nicht angezeigt wird).
Ich habe die einfache Form f'(x)=n [mm] \* x^{n-1} [/mm] benutzt und für n x eingesetzt.
Ist das falsch, und warum? Und wie leite ich die Funktion richtig ab?

Ich habe ausserdem auch negative Werte als Ergebnis (TR), in mehreren Funktionsplottern verläuft der Graph jedoch nur rechts der y-Achse und oberhalb der x-Achse. (?)
Kann das an den Plottern liegen oder habe ich irgendetwas übersehen?

Das einzige was mir bei der Funktion klar ist, dass sie für x=o nicht definiert ist.

Ich hoffe mir kann jemand etwas auf die Sprünge helfen.

Danke schonmal im Vorraus.

Natschke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Kurvendiskussion x^x: Umformen in e-Funktion

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:05 So 25.09.2005
Autor:	Loddar

Guten Morgen natschke,

[willkommenmr]

!!

> Ich muss also die Funktion [mm]f(x)=x^x[/mm] diskutieren.

> Ich habe die einfache Form f'(x)=n [mm]\* x^{n-1}[/mm] benutzt und
> für n x eingesetzt.
> Ist das falsch, und warum?

Das ist leider falsch, da die

Potenzregel, die Du hier anwenden möchtest, lediglich für konstante $n_$ gilt!!

Um Deine Funktion diskutieren zu können, musst Du sie erst auf eine bekannte Form zurückführen, nämlich die $e_$-Funktion:

$f(x) \ = \ [mm] x^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(x)} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm]

Und hieraus kannst Du nun die Ableitung mit Hilfe der

Kettenregel in Verbindung mit der

Produktregel ermitteln.

Zudem erkennt man hier auch, dass unsere Funktion auch nur für positive $x_$ definiert ist, da dies auch der Definitionsbereich der [mm] $\ln$-Funktion [/mm] ist.

Gruß
Loddar

Bezug

Kurvendiskussion x^x: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:35 Mi 05.10.2005
Autor:	natschke

Hier meine Lösung:

[mm] f(x)=x^x [/mm]
[mm] =(e^{lnx})^x [/mm] = [mm] e^{x\*lnx} [/mm]  D= [mm] \IR+ \{0\} [/mm]

Erste Ableitung unter Anwendung der Kettenregel:
[mm] f'(x)=(e^{x\*lnx})\* (x\*lnx)' [/mm]

[mm] x\*lnx [/mm] wird mit der Produktregel differenziert:
[mm] (x\*lnx)'= 1\* [/mm] lnx + [mm] x\* [/mm] 1/x
             = lnx + 1

Also:f'(x)= [mm] (e^{x\*lnx})\* [/mm] (lnx+1)
        [mm] =x^x \*(lnx [/mm] +1)

[mm] f''(x)=(x^x\*(lnx+1))\* [/mm] (lnx+1)+ [mm] x^x\*1/x [/mm]
        [mm] =x^x\* (lnx+1)^2 +x^x \*1/x [/mm]
        = [mm] x^x\*((lnx+1)^2 [/mm] +1/x)

f'''(x)= [mm] (x^x\*(lnx+1)\*(lnx+1)^2+1/x)+x^x\*1/[3x]\*(lnx+1)^3 [/mm]
       = [mm] x^x\*((1/[3x]+1) \* (lnx+1)^3 [/mm] +1/x)

Extremstellenberechnung:
f'(x)=0
[mm] x^x\* [/mm] (lnx+1)=0
x [mm] \approx0,3678 [/mm]
Einsetzen in f'' ergibt [mm] \approx1,882 [/mm]
F hat also bei [mm] x\approx0,3678 [/mm] ein lokales Minimum.

Wendestellenberechnung:
f''(x)=0
[mm] x^x\* ((lnx+1)^2+1/x)=0 [/mm]

Da weder [mm] x^x [/mm] noch [mm] ((lnx+1)^2\*1/x) [/mm] gleich Null werden können, hat die Funktion keine Wendestellen.

Bezug

Kurvendiskussion x^x: Minimal(st)-Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:00 Mi 05.10.2005
Autor:	Loddar

Hallo natschke!

> Also:f'(x)= [mm](e^{x\*lnx})\*[/mm] (lnx+1) [mm]=x^x \*(lnx[/mm] +1)

> [mm]f''(x)=(x^x\*(lnx+1))\*[/mm] (lnx+1)+ [mm]x^x\*1/x[/mm]
> [mm]=x^x\* (lnx+1)^2 +x^x \*1/x[/mm] = [mm]x^x\*((lnx+1)^2[/mm] +1/x)

> f'''(x)= [mm](x^x\*(lnx+1)\*(lnx+1)^2+1/x)+x^x\*1/[3x]\*(lnx+1)^3[/mm]
>         = [mm]x^x\*((1/[3x]+1) \* (lnx+1)^3[/mm] +1/x)

Nicht kontrolliert, da nicht erforderlich (siehe unten!) ...


> Extremstellenberechnung:
> f'(x)=0
> [mm]x^x\*[/mm] (lnx+1)=0
> x [mm]\approx0,3678[/mm]
> Einsetzen in f'' ergibt [mm]\approx1,882[/mm]
> F hat also bei [mm]x\approx0,3678[/mm] ein lokales Minimum.

Aber ruhig genauer aufschreiben: [mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] e^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,692$

Wie lautet der zugehörige Funktionswert [mm] $y_e [/mm] \ = \ [mm] f(x_e) [/mm] \ = \ ...$ ??

> Wendestellenberechnung:
> f''(x)=0
> [mm]x^x\* ((lnx+1)^2+1/x)=0[/mm]
>
> Da weder [mm]x^x[/mm] noch [mm]((lnx+1)^2\*1/x)[/mm] gleich Null werden
> können, hat die Funktion keine Wendestellen.

Tippfehler! Du meinst wohl: [mm] $\left[\ln(x)+1\right]^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] .

Vielleicht ergänzen " im Definitionsbereich für $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR^+$ [/mm] " (der Vollständigkeit halber) ...

Ansonsten sehr schön gerechnet!

Gruß
Loddar

Bezug

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