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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Di 11.04.2006 | | Autor: | Dani_NM |
| Aufgabe | f (x): - x³/3a² + (a-2)x - 2a
a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die Anzahl/Art der Extremwerte in Abhängigkeit von a
b) Untersuchen Sie dass die Abszisse des Wendepunktes von a unabhängig ist
c) Für welchen Wert von a hat der Graph einen Terrassenpunkt? |
Also bei a) hab ich versucht die 1. Ableitung ( f'(x) = -3/3a² + (a-2) ) gleich "0" zu setzen. Habe für x nen total komischen "Wert" bekommen, mich verwirren die vielen Buchstaben schon wieder. x = Wurzel aus -3a³ + 6a² / -3 -> Das kann garnicht stimmen oder? Zudem fällt es mir in diesem Fall schwer die Monotonie zu bestimmen wenn ich keine "richtigen Zahlen" habe.
b) Hier hab ich mir die 2. Ableitung berechnet ( f''(x) = -6/3a² x) wenn ich das gleich "0" setze rechnet man ja den WP aus... Verstehe aber die weitere Vorgehensweise leider nicht.
c) Hier dachte ich mir: Ein Terrassenpunkt liegt vor wenn die Diskriminante der 1. Ableitung gleich "0" ist (glaub ich). Und so dann das a ausrechnen?
Vielen Dank für nen Tipp wie ich hier weiterkomme.
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Hi, Dani,
> f (x): - x³/3a² + (a-2)x - 2a
Da ist aber sicher noch a [mm] \not= [/mm] 0 gegeben!
> a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die Anzahl/Art
> der Extremwerte in Abhängigkeit von a
> Also bei a) hab ich versucht die 1. Ableitung ( f'(x) = -3/3a² + (a-2) ) gleich "0" zu setzen.
Du meinst sicher: [mm] -\bruch{1}{a^{2}}*x^{2} [/mm] + (a-2) = 0
(wobei ich den Bruch durch 3 gekürzt habe!)
> Habe für x nen total
> komischen "Wert" bekommen, mich verwirren die vielen
> Buchstaben schon wieder. x = Wurzel aus -3a³ + 6a² / -3
Erst mal würd' ich rauskriegen: [mm] x^{2} [/mm] = [mm] a^{2}*(a-2)
[/mm]
Hier musst Du nun eine Fallunterscheidung machen (weil man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht berechnen kann!):
1.Fall: Für a=2 ist [mm] x^{2} [/mm] = 0 und daher [mm] x_{1/2}=0 [/mm] doppelte Lösung
(demnach keine Extremalstelle)
Der Graph der Funktion [mm] f_{2} [/mm] ist in ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton fallend.
2. Fall: a < 2; dann gibt's gar keine Lösung für x, also wieder keine Extrempunkte.
Der Graph der Funktion [mm] f_{a} [/mm] ist ebenfalls in ganz [mm] \IR [/mm] echt mon. fallend,
wenn 0 < a < 2 ist,
und auch echt monoton [mm] \red{fallend}, [/mm] wenn a < 0 ist.
(Überleg' Dir selbst, warum das so ist!)
3. Fall: a > 2. Dann kann man die Wurzel ziehen und erhält:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm a*\wurzel{a-2}
[/mm]
Eine Vorzeichenbetrachtung von [mm] f_{a}'(x) [/mm] zeigt Dir:
Der Graph von [mm] f_{a} [/mm] ist echt monoton fallend
in den Intervallen [mm] ]-\infty [/mm] ; [mm] -a*\wurzel{a-2} [/mm] ] sowie [mm] [a*\wurzel{a-2}; +\infty[;
[/mm]
er ist echt monoton steigend im Intervall [mm] [-a*\wurzel{a-2} [/mm] ; [mm] a*\wurzel{a-2}]
[/mm]
Da denk' mal erst drüber nach, bevor Du Dich an b) und c) machst!
Und frag', wenn Dir was nicht klar sein sollte!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:55 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Dani,
hab' in meiner ersten Anwort einen Flüchtigkeitsfehler gefunden und ausgebessert!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 11.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dani!
> b) Hier hab ich mir die 2. Ableitung berechnet ( f''(x) = -6/3a² x)
> wenn ich das gleich "0" setze rechnet man ja den
> WP aus... Verstehe aber die weitere Vorgehensweise leider
> nicht.
Wie lautet denn Dein Ergebnis für [mm] $x_W [/mm] \ = \ ...$ ? Tritt dort noch der Parameter $a_$ auf?
> c) Hier dachte ich mir: Ein Terrassenpunkt liegt vor wenn
> die Diskriminante der 1. Ableitung gleich "0" ist (glaub
> ich). Und so dann das a ausrechnen?
Ein Terrassenpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, der zusätzlich eine horizontale Tangente hat.
Du musst hier also das Ergebnis von [mm] $x_W$ [/mm] aus der Teilaufgabe b.) in die Gleichung [mm] $f_a'(x_W) [/mm] \ = \ 0$ einsetzen und nach $a \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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