Kurvendiskussion Trigonometrie < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
Aufgabenstellung: Führe eine komplette Kurvendiskussion an dem Graphen f(x) durch.
Untersuche den Graph auf Symetrie,Periodizität,Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte.
f(x)= sin x + cos 2x |
Untersuchung auf Symetrie zum Ursprung oder zur zweiten Achse:
Es ist keine Symetrie erkennbar, weil die Funktion nicht in die Formeln
sin(-x) = -sin x --> Punktsymetrie
cos(-x)= cos x --> Achsensymetrie
einzusetzen ist.
(Frage: erkennt man Symetrie schon alleine daran , wenn sin und cos in einer Funktion vorkommen oder muss man einfach nur sin bzw. cos umformen mit Hilfe von Additionstheoremen) ? Also brauch ich beispielweise 2 mal sin oder 2 mal cos in der oben genannten Funktion f(x) um eine Symetrie zu erkennen?
Beispiel: f(x)= 2 sin x - sin 2x --> Punktsymetrie
Periodizität:
Die Funktion f(x)=sin x hat die Periode [mm] 2\pi [/mm] , die Funktion f(x)= cos 2x hat die Periode [mm] \pi [/mm] .
Zu untersuchendes Intervall: [mm] [0;2\pi[
[/mm]
(Frage: Muss ich die Funktion f(x) immer in ihre Bestandteile zerlegen um die periode heraus zu bekommen?
Der Faktor vor dem x vergrößert die periodizität beispiel: sin 2x aber besteht dabei nicht ein unterschied , ob ich sin oder cos habe?)
Nullstellen: Aus dem Additionstheorem des Kosinus folgt: cos 2x = 1 - 2 [mm] sin^{2}x
[/mm]
Bedingung: f(x)=0
sin x + cos 2x = 0
sin x + 1 - 2 [mm] sin^{2}x= [/mm] 0
Hilfe: Hier komme ich leider nicht weiter :( , denn ich weiß nicht ob oder wie ich Ausklammern muss oder jetzt nach der p/q Formel weiter verfahre.
Extrempunkte:
f´(x) = cos x + 2 -sin 2 x <-- ich bin mir nicht sicher , ob ich da nicht ein vorzeichen Fehler gemacht habe.
f´(x) = 0
cos x - 2 -sin 2 x =0
Ich habe leider keine Idee welchen Additionstheorem ich einsetzen muss um weiter zu machen.
Gibt es nicht irgend ne schlaue Formel, die es mir möglich macht für jeden sin bzw. cos die Umkerhfunktion zu finden, so dass
ich einsetzen kann und dann einen Wert da stehen habe, den ich Beispielsweise in eine p/q Formel
bekomme um die Extrempunkte zu bestimmen?
Recht herzlichen Dank schonmal im Vorraus für die Hilfe und es tut mir Leid , dass mein Ansatz so dürftig ist
ich komme leider nicht weiter , egal wie ich mir den Kopf zerbreche .
Ein verzweifelter Schüler
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Mathe_Hannes,
>
> ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
>
>
> Für die Nullstellen hast Du schon das richtige
> Additionstheorem angewandt. Substituiere (= ersetze) nun [mm]z \ := \ \sin(x)[/mm]
> , und Du erhältst eine quadratische Gleichung, welche Du
> mit der  p/q-Formel lösen kannst.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Ich komme hierbei auf folgendes Erbegnis:
z+1 - 2* [mm] z^{2}=0
[/mm]
In die pq Formel eingesetzt ergibt das:
p=0,5
q= 0,5
x1,2=0,5 +- [mm] \wurzel{1/16 - 1/2}
[/mm]
Wobei nun ein negativer Ausdruck unter der Wurzel steht und damit die [mm] \IL [/mm] leer sein müsste ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe_Hannes!
Du musst die Gleichung doch durch [mm] $\red{-}2$ [/mm] teilen. Damit erhalten wir:
[mm] $z+1-2*z^2 [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\left| \ : \ (-2)$
$\gdw$ $-\bruch{1}{2}*z-\bruch{1}{2}+z^2 \ = \ 0$
$\gdw$ $z^2-\bruch{1}{2}*z-\bruch{1}{2} \ = \ 0$
Damit gilt ja auch: $p \ = \ q \ = \ \red{-}\bruch{1}{2}$ .
Gruß
Loddar
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe_Hannes!
> Extrempunkte:
>
> f´(x) = cos x + 2 -sin 2 x
> ich bin mir nicht sicher , ob ich da nicht ein vorzeichen Fehler gemacht habe.
Ich denke mal, Du meinst das Richtige, solltest aber noch Klammern setzen:
$f'(x) \ = \ [mm] \cos(x)+2*\red{[}-\sin(2x)\red{]} [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)-2*\sin(2x)$
[/mm]
Wende hier nun das Additionstheorem [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] an, und Du kannst [mm] $\cos(x)$ [/mm] ausklammern ...
Gruß
Loddar
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Hab recht herzlichen Dank für die Sehr schnelle Antwort auf mein Problem.
Ich schau gleich mal ob ich mit der Hilfe zu einer Lösung komme, bin nicht so schnell :).
Vielen vielen Dank
Also ich komme bei den Nullstellen jetzt auf folgendes Ergebnis:
sin x + cos 2 x =0
sin x + 1-2 [mm] sin^{2}x [/mm] =0 z = sin x
z + 1 - 2* [mm] z^{2} [/mm] =0 /( -2)
1/2*z - 1 + [mm] z^{2} [/mm] =0
x1,2= -0,25 +- 1/16 +0,5
x1,2= -0,25 +- 3/4
x1= -1 x2 = 0,5
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> Hallo Mathe_Hannes!
>
>
> > Extrempunkte:
> >
> > f´(x) = cos x + 2 -sin 2 x
> > ich bin mir nicht sicher , ob ich da nicht ein
> vorzeichen Fehler gemacht habe.
>
> Ich denke mal, Du meinst das Richtige, solltest aber noch
> Klammern setzen:
>
> [mm]f'(x) \ = \ \cos(x)+2*\red{[}-\sin(2x)\red{]} \ = \ \cos(x)-2*\sin(2x)[/mm]
>
> Wende hier nun das Additionstheorem [mm]\sin(2x) \ = \ 2*\sin(x)*\cos(x)[/mm]
> an, und Du kannst [mm]\cos(x)[/mm] ausklammern ...
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Loddar danke für die große Hilfe
Ich komme denn jetzt bei dem Extrema, wenn ich ausklammer auf:
cos x *( 2*sin x -1) =0
cos x =0 oder 2*sin x -1 =o /+1
sin x= 1
Ergebnis: x1= 0 [mm] x2=\pi
[/mm]
ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe_Hannes !
Da hast Du aber noch einen Faktor $2_$ unterschlagen:
$0 \ = \ [mm] \cos(x)-2*\blue{\sin(2x)} [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)-2*\blue{2*\sin(x)*\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)-\red{4}*\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)*\left[1-4*\sin(x)\right]$
[/mm]
Aber vom Prinzip her sieht es sonst richtig aus ...
Gruß
Loddar
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> Hallo Mathe_Hannes !
>
>
> Da hast Du aber noch einen Faktor [mm]2_[/mm] unterschlagen:
>
> [mm]0 \ = \ \cos(x)-2*\blue{\sin(2x)} \ = \ \cos(x)-2*\blue{2*\sin(x)*\cos(x)} \ = \ \cos(x)-\red{4}*\sin(x)*\cos(x) \ = \ \cos(x)*\left[1-4*\sin(x)\right][/mm]
>
>
> Aber vom Prinzip her sieht es sonst richtig aus ...
>
>
> Gruß
> Loddar
>
also dass heisst dann:
cos x= 0 oder: 1-4 sin x = 0 / 4
1/4 - sin x = 0 / * (-1)
-1/4 + sin x = 0 +1/4
sin x = 1/4
wenn das soweit richtig ist: wie bestimme ich denn jetzt x1 und x 2? ich komme da auf keine Lösung....
Ich habs mit der Arcus funktion versucht aber dennoch ergibt es bei mir nicht 0, bin irgendwie verwirrt
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Hallo Mathe_Hannes,
> > Hallo Mathe_Hannes !
> >
> >
> > Da hast Du aber noch einen Faktor [mm]2_[/mm] unterschlagen:
> >
> > [mm]0 \ = \ \cos(x)-2*\blue{\sin(2x)} \ = \ \cos(x)-2*\blue{2*\sin(x)*\cos(x)} \ = \ \cos(x)-\red{4}*\sin(x)*\cos(x) \ = \ \cos(x)*\left[1-4*\sin(x)\right][/mm]
>
> >
> >
> > Aber vom Prinzip her sieht es sonst richtig aus ...
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
>
> also dass heisst dann:
>
> cos x= 0 oder: 1-4 sin x = 0 / 4
> 1/4 - sin x = 0 / *
> (-1)
> -1/4 + sin x = 0 +1/4
>
> sin x = 1/4
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> wenn das soweit richtig ist: wie bestimme ich denn jetzt x1
> und x 2? ich komme da auf keine Lösung....
> Ich habs mit der Arcus funktion versucht aber dennoch
> ergibt es bei mir nicht 0, bin irgendwie verwirrt
wieso? TR auf RAD statt auf DEG eingestellt?
[mm] \cos [/mm] x=0 [mm] \gdw x=k*\frac{\pi}{2}
[/mm]
oder
[mm] x=\arcsin(\frac{1}{4})\approx0,25268
[/mm]
da muss irgendwo noch ein Vorzeichenfehler stecken, denn dieses Ergebnis stimmt nicht mit meiner Zeichnung überein...
Hast du die Rechnung von Loddar mal überprüft?
Gruß informix
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joa hab das von loddar mehr als 10 mal gelesen und auch versucht es nachzurechnen.
Ich habe leider kA ob Loddar nen fehler gemacht hat aber ich denke nicht.
Unser Lehrer meinte wir sollten unsere TR immer auf RAD eingestellt lassen, wenn wir mit trigonometrischen Funktionen rechnen...
Stimmt eigentlich nehm ich auch immer DEG aber Lehrer haben nunmal die Macht und so ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 24.02.2007 | | Autor: | informix |
Hallo Mathe_Hannes,
> joa hab das von loddar mehr als 10 mal gelesen und auch
> versucht es nachzurechnen.
> Ich habe leider kA ob Loddar nen fehler gemacht hat aber
> ich denke nicht.
>
> Unser Lehrer meinte wir sollten unsere TR immer auf RAD
> eingestellt lassen, wenn wir mit trigonometrischen
> Funktionen rechnen...
> Stimmt eigentlich nehm ich auch immer DEG aber Lehrer haben
> nunmal die Macht und so ;)
nein, Lehrer haben keine Macht, sondern nur die besseren Argumente auf ihrer Seite.
wenn du mit Winkeln und Sinus rechnest, stellst du auf DEG ein,
wenn du aber die Sinusfunktion untersuchst, willst du keine Winkel, sondern reelle Zahlen als Argumente einsetzen, und das teilst du dem TR einfach durch RAD mit:
[mm] \sin [/mm] 90=1 mit DEG
[mm] \sin [/mm] 90=0,89399666360055789051826949840421 mit RAD
so einfach ist das... 
Wie sonst soll der arme TR wissen, was die eigegebene Zahl darstellen soll?
Gruß informix
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Kann mir vielleicht noc jemand weiterhelfen und auf meine vielen Fragen in der obigen Aufgabe eingehen, damit wäre mir sehr sehr geholfen .
Danke schonmal im vorraus
gruß Mathe_Hannes
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Hallo Mathe_Hannes und ,
> Kann mir vielleicht noc jemand weiterhelfen und auf meine
> vielen Fragen in der obigen Aufgabe eingehen, damit wäre
> mir sehr sehr geholfen .
>
du wolltest doch die vielen Tipps von Loddar erstmal umsetzen.
Zeig uns mal, was du draus gemacht hast, dann diskutieren wir hier weiter....
Hast du die Funkiton schon mal gezeichnet?
vielleicht mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot?
Gruß informix
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Hallo Mathe_Hannes,
> Aufgabenstellung: Führe eine komplette Kurvendiskussion an
> dem Graphen f(x) durch.
> Untersuche den Graph auf Symetrie,Periodizität,Gemeinsame
> Punkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte.
>
> [mm] $f(x)=\sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] 2x $
> Untersuchung auf Symetrie zum Ursprung oder zur zweiten
> Achse:
>
> Es ist keine Symetrie erkennbar, weil die Funktion nicht in
> die Formeln
>
> sin(-x) = -sin x --> Punktsymetrie
> cos(-x)= cos x --> Achsensymetrie
>
> einzusetzen ist.
jetzt kommt es darauf an, welche symmetrischen Eigenschaften Ihr untersuchen sollt:
nur zum Ursprung oder der y-Achse oder vielleicht auch zu anderen Punkten oder Achsen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
wenn du genau guckst, erkennst du eine Achsensymmetrie zu den Geraden [mm] x=\pm0,5\pi
[/mm]
>
> (Frage: erkennt man Symetrie schon alleine daran , wenn sin
> und cos in einer Funktion vorkommen oder muss man einfach
> nur sin bzw. cos umformen mit Hilfe von Additionstheoremen)
> ? Also brauch ich beispielweise 2 mal sin oder 2 mal cos in
> der oben genannten Funktion f(x) um eine Symetrie zu
> erkennen?
>
> Beispiel: f(x)= 2 sin x - sin 2x --> Punktsymetrie
> Periodizität:
kann man am Graphen auch erkennen und dann erst nachrechnen (= beweisen).
>
> Die Funktion f(x)=sin x hat die Periode [mm]2\pi[/mm] , die Funktion
> f(x)= cos 2x hat die Periode [mm]\pi[/mm] .
> Zu untersuchendes Intervall: [mm][0;2\pi[[/mm]
>
> (Frage: Muss ich die Funktion f(x) immer in ihre
> Bestandteile zerlegen um die periode heraus zu bekommen?
> Der Faktor vor dem x vergrößert die periodizität beispiel:
> sin 2x aber besteht dabei nicht ein unterschied , ob ich
> sin oder cos habe?)
> Nullstellen: Aus dem Additionstheorem des Kosinus folgt:
> cos 2x = 1 - 2 [mm]sin^{2}x[/mm]
>
> Bedingung: f(x)=0
>
> sin x + cos 2x = 0
> sin x + 1 - 2 [mm]sin^{2}x=[/mm] 0
>
> Hilfe: Hier komme ich leider nicht weiter :( , denn ich
> weiß nicht ob oder wie ich Ausklammern muss oder jetzt nach
> der p/q Formel weiter verfahre.
> Extrempunkte:
>
> f´(x) = cos x + 2 -sin 2 x <-- ich bin mir nicht sicher
> , ob ich da nicht ein vorzeichen Fehler gemacht habe.
> f´(x) = 0
>
> cos x - 2 -sin 2 x =0
>
> Ich habe leider keine Idee welchen Additionstheorem ich
> einsetzen muss um weiter zu machen.
> Gibt es nicht irgend ne schlaue Formel, die es mir möglich
> macht für jeden sin bzw. cos die Umkerhfunktion zu finden,
> so dass
> ich einsetzen kann und dann einen Wert da stehen habe, den
> ich Beispielsweise in eine p/q Formel
> bekomme um die Extrempunkte zu bestimmen?
>
> Recht herzlichen Dank schonmal im Vorraus für die Hilfe und
> es tut mir Leid , dass mein Ansatz so dürftig ist
> ich komme leider nicht weiter , egal wie ich mir den Kopf
> zerbreche .
> Ein verzweifelter Schüler
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo Mathe_Hannes,
>
> > Aufgabenstellung: Führe eine komplette Kurvendiskussion an
> > dem Graphen f(x) durch.
> > Untersuche den Graph auf
> Symetrie,Periodizität,Gemeinsame
> > Punkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte.
> >
> > [mm]f(x)=\sin x + \cos 2x[/mm]
> > Untersuchung auf Symetrie zum
> Ursprung oder zur zweiten
> > Achse:
> >
> > Es ist keine Symetrie erkennbar, weil die Funktion nicht in
> > die Formeln
> >
> > sin(-x) = -sin x --> Punktsymetrie
> > cos(-x)= cos x --> Achsensymetrie
> >
> > einzusetzen ist.
> jetzt kommt es darauf an, welche symmetrischen
> Eigenschaften Ihr untersuchen sollt:
> nur zum Ursprung oder der y-Achse oder vielleicht auch zu
> anderen Punkten oder Achsen?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> wenn du genau guckst, erkennst du eine Achsensymmetrie zu
> den Geraden [mm]x=\pm0,5\pi[/mm]
>
> >
äähm, ich hab das gerade mal nachgerechnet und bin darauf gekommen, dass es eine Punktsymetrie sein müsste bei dem Punkt P(0/0).
Beweis:
-f(x)=f(-x)
-sin (x) + (-cos) (2x) = sin (-x) + cos (-2x)
-sin x - cos 2 x = -sin x - cos 2 x
sehe ich das richtig oder falsch? ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 So 25.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe_Hannes!
Du musst das Argument [mm] $(\red{-}x)$ [/mm] aber schon richtig einsetzen ...
$f(-x) \ = \ [mm] \sin(-x)+\cos[2*(-x)] [/mm] \ = \ [mm] \sin(-x)+\cos(-2x)$
[/mm]
Und hier hören dann die "Symmetrien" auf, da der Sinusanteil punktsymmetrisch und der Cosinus-Term achsensymmetrisch ist.
Zudem ist die Nicht-Symmetrie doch gut in informix' obiger Skizze klar zu erkennen.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar, ich weiß ist schon spät aber find ich gut das du dir meine Frage trotzdem noch angeguckt hast :=)... wünsch mir glück morgen beier Arbeit *g*
Gruß der Hannes
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![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
und drücke beide 