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| Aufgabe | Die Funktion f ist gegeben durch:
f(x) = [mm] \frac{4x+5}{x^2-1} [/mm] ; x [mm] \ne [/mm] +/-1
Ihr Schaubild sei K.
a) Untersuche K auf Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte sowie aus Asymptoten.
Zeichne K im Bereich -4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4 (LE 1cm; Ursprung in Blattmitte)
b) P(u|v) mit u > 1 sei ein Punkt auf K.
P und Q (1|0) sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks mit dem Inhalt A (u) sowie [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}A(u) [/mm] und [mm] \limes_{u\rightarrow\ 1}A(u)
[/mm]
Untersuche, ob der Flacheninhalt des Rechtecks ein Extremum animmt.
c) Für jedes t > 0 ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch
[mm] F_t [/mm] (x)= [mm] \frac{tx+5}{x^2-1} [/mm]; [mm] \ne [/mm] +/-1
Ihr Schaubild sei [mm] K_t.
[/mm]
Zeige, dass alle Kurven [mm] K_t [/mm] einen Punkt S gemeinsam haben.
Gib die Koordinaten von S an.
Für t [mm] \ne [/mm] 5 hat die Tangente an [mm] K_t [/mm] in S mit der Kurve [mm] K_t [/mm] einen weiteren Punkt R gemeinsam.
Zeige, dass R auf der x-Achse liegt. |
Whuaaa >.<
Ich brauche dringend Hilfe und das wenigstens bei a und b.
Bei a) weiß ich soweit gut bescheid
allerdings bereitet mir die Funktion Kopfzerbrechen, weil ich einfach nicht weiß wie ich beginnen soll :/
für die Asymptoten würde es noch gehen, aber nicht für den Rest
Kann ich die Funktion, denn in eine normal Funktion umwandeln?
Naja und bei b) komm ich garnicht weiter.
Wir haben das Thema erst gerade angefangen und sonderlich durchsehen tu ich nicht - auch wenn ich es dachte.
Also könnte mir jeman den Anfang geben?
Damit ich dann selber weitermachen kann?
Denn alles kann ich ja schlecht von irgendwem machen lassen, etwas Leistung muss ich ja auch bringen >.<
c) wäre jetzt nicht sooo wichtig^^°
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Die Funktion f ist gegeben durch:
>
> f(x) = [mm]\frac{4x+5}{x^2-1}[/mm] ; x [mm]\ne[/mm] +/-1
>
> Ihr Schaubild sei K.
> a) Untersuche K auf Achsenschnittpunkte, Hoch- und
> Tiefpunkte sowie aus Asymptoten.
> Zeichne K im Bereich -4 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 4 (LE 1cm; Ursprung in
> Blattmitte)
Das IST doch eine normale Funktion.... vielleicht ist die noch ungewohnt für dich.
Hier ein paar Tipps:
1. Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein ZÄHLER Null ergibt! Damit kannst du die Nullstellen von f und auch von f' recht einfach ausrechnen.
2. Für die Ableitung brauchst du die so genannte Quotientenregel.
>
> b) P(u|v) mit u > 1 sei ein Punkt auf K.
> P und Q (1|0) sind Eckpunkte eines achsenparallelen
> Rechtecks mit dem Inhalt A (u) sowie
> [mm]\limes_{u\rightarrow\infty}A(u)[/mm] und [mm]\limes_{u\rightarrow\ 1}A(u)[/mm]
>
> Untersuche, ob der Flacheninhalt des Rechtecks ein Extremum
> animmt.
Fehlt da bei den Grenzwerten noch irgendwas? Sollen diese beiden Grenzwerte existieren?
Wie auch immer - hier hilft eine Skizze bestimmt weiter.
Dann siehst du, dass du ein Rechteck mit den beiden Seitenlängen $u-1$ und $ [mm] \frac{4u+5}{u^2-1} [/mm] $
Der Flächeninhalt ist dann (binomische Formel im Nenner + Bruchrechnung):
$A(u)=(u-1)* [mm] \frac{4u+5}{u^2-1} [/mm] = [mm] \frac{4u+5}{u+1} [/mm] = 4 + [mm] \frac{1}{u+1}$
[/mm]
Daran kannst du jetzt alles ganz gut erkennen.
>
> c) Für jedes t > 0 ist eine Funktion [mm]f_t[/mm] gegeben durch
>
> [mm]F_t[/mm] (x)= [mm]\frac{tx+5}{x^2-1} [/mm]; [mm]\ne[/mm] +/-1
>
> Ihr Schaubild sei [mm]K_t.[/mm]
> Zeige, dass alle Kurven [mm]K_t[/mm] einen Punkt S gemeinsam
> haben.
> Gib die Koordinaten von S an.
Naja, wenn ALLE Funktionen dieser Schar einen gemeinsamen Punkt haben sollen, dann nimm dir einfach mal ZWEI davon (z.B. mit [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2) [/mm] und setze die gleich. Die Rechnung ist ziemlich einfach, du bekommst dann x = 0 heraus und der Funktionswert ist -5.
> Für t [mm]\ne[/mm] 5 hat die Tangente an [mm]K_t[/mm] in S mit der Kurve
> [mm]K_t[/mm] einen weiteren Punkt R gemeinsam.
> Zeige, dass R auf der x-Achse liegt.
1. Bestimme die Tangentengleichung an der Stelle S:
a) Ableitung von f an dieser Stelle ist die Steigung der Tangente
b) S liegt auf der Tangente, damit hast du direkt den Achsenabschnitt, weil S ja auf der y-Achse liegt.
2. Setze die Funktionsgleichung mit der Tangente gleich. So berechnest du die gemeinsamen Punkte. Einer ist S und der andere ist dann gerade eine Nullstelle.
> Whuaaa >.<
Nur keinen Stress, das ist alles keine Hexerei, auch wenn jetzt Brüche auftauchen. Das lernt man als 11-Jähriger, so schwer kann das also nicht sein  .
> Ich brauche dringend Hilfe und das wenigstens bei a und
> b.
> Bei a) weiß ich soweit gut bescheid
> allerdings bereitet mir die Funktion Kopfzerbrechen, weil
> ich einfach nicht weiß wie ich beginnen soll :/
> für die Asymptoten würde es noch gehen, aber nicht für
> den Rest
> Kann ich die Funktion, denn in eine normal Funktion
> umwandeln?
s.o.
>
> Naja und bei b) komm ich garnicht weiter.
> Wir haben das Thema erst gerade angefangen und sonderlich
> durchsehen tu ich nicht - auch wenn ich es dachte.
> Also könnte mir jeman den Anfang geben?
> Damit ich dann selber weitermachen kann?
> Denn alles kann ich ja schlecht von irgendwem machen
> lassen, etwas Leistung muss ich ja auch bringen >.<
>
Stimmt . Ist ja noch ein bisschen was übrig, die ganzen Rechnungen z.B.
> c) wäre jetzt nicht sooo wichtig^^°
Da höre ich eine gewisse Abscheu gegen Funktionenscharen heraus . Nur keine Angst, das ist keine Hexerei.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann
> :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
lg weightgainer
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Alsooo ich hab dann jetzt auch shcon gerechnet und bei a) bin ich recht zuversichtlich:
f(x)= [mm] \frac{4x+5}{x^2-1} [/mm]
f'(x)= [mm] \frac{-2*(2x^2+5x+2)}{(x^2-1)^2} [/mm]
f''(x)= [mm] \frac{2*(4x^3+15x^2+12x+5)}{(x^2-1)^3} [/mm]
Zu erst die Hoch- und Tiefpunkte:
notwendige Bedingung:
f'(x)=0
0= [mm] \frac{-2*(2x^2+5x+2)}{(x^2-1)^2} [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = 2
[mm] x_2 [/mm] = -0.5
hinreichende Bedingung:
f''(x)= [mm] \frac{-2*(2x^2+5x+2)}{(x^2-1)^2} [/mm]
f''(2)= [mm] \frac{-2*(2*2^2+5*2+2)}{(2^2-1)^2} [/mm]
f''(2) = 8.96
f''(-0,5)= [mm] \frac{-2*(2*-0,5^2+5*-0,5+2)}{(-0,5^2-1)^2} [/mm]
f''(0,5)= -10,67
Extremwerte & -punkte:
f(2)= f(x)= [mm] \frac{4*2+5}{2^2-1} [/mm]
f(2)= 4,33
f(-0,5)= f(x)= [mm] \frac{4*-0,5+5}{-0,5^2-1} [/mm]
f(-0,5)= -4
H(-0,5|-4) T (2|4,33)
Achsenschnittpunkte:
mit y:
f(x) bzw. y = [mm] \frac{4*0+5}{0^2-1} [/mm]
y = -5
mit x:
0 = f(x)= [mm] \frac{4x+5}{x^2-1} [/mm]
x = -1,25
Asymptoten:
Also hier hätte ich zwei Möglichkeiten wegen den Asymptoten..ich weiß nur nicht welche ich nehmen soll
denn bei Möglichkeit 1, hat die Funktion eine waagerechte Asymptote
und bei Möglichkeit 2 eine senkrechte
f(x) = f(x)= [mm] \frac{4x+5}{x^2-1} [/mm]
Möglichkeit 1:
Definitionslücke:
0 = [mm] X_D [/mm] +5
[mm] X_D [/mm] = -9
Art der Definitionslücke:
[mm] \lim_{x \to \ -9} [/mm]f(x) = -0,3875
x < -9
[mm] \lim_{x \to \ -9} [/mm] f(x) = -0,3875
x > -9
Grenzwert ist -0,3875
[mm] X_D [/mm] = -9 besitzt eine waagerechte Aymptote
Möglichkeit 2:
Definitionslücke:
0= [mm] X_D [/mm] - 1
[mm] X_D [/mm] = 1
Art der Definitionslücke:
[mm] \lim_{x \to \ 1} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm]
x < 1
[mm] \lim_{x \to \ 1} [/mm] f(x)= - [mm] \infty [/mm]
x > 1
lim (x) existiert nicht
x → 1
[mm] X_D [/mm] = 1 ist eine Polstelle
Die Gerade x = 1 ist eine senkrechte Asymptote
________________
Das wäre alles zu Aufgaben 1)
nur fehlt mir noch die Zeichnung und die verwirrt mich
denn auf meinen cas Rechner voyage 200 sieht die anders aus als, wenn ich sie in GeoGebra zeichnen lasse X.x
ansonsten müsste ich mich irgendwie in Aufgabe b) einfinden
und da ist die Zeichnung eben so problematisch
weil ich ja nicht weiß wie die Funktion aussieht
Also löse ich b) am besten wie?
Wenn man das zeichnerische bedenkt?
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Hallo
1. und 2. Ableitung ok
Stelle [mm] x_2=-0,5 [/mm] ist ok, Maximum
Stelle [mm] x_1=-2 [/mm] überprüfe das Vorzeichen, Minimum
überprüfe noch f''(-2)
y=-5 ok
x=-1,25 ok
der Nenner [mm] x^2-1 [/mm] wird für [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] zu Null, du hast zwei senkrechte Asymptoten
untersuche noch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo
dein Rechteck hat die Seitenlängen
u-1
[mm] f(u)=\bruch{4x+5}{x^2-1}
[/mm]
[mm] A=(u-1)*(\bruch{4x+5}{x^2-1}) [/mm] Hinweise dazu hast du ja schon
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
Ich möchte nicht kleinlich wirken, aber ich habe Schwierigkeiten mit der von Dir gewählten Schreibweise ...
> Hallo
>
> dein Rechteck hat die Seitenlängen
>
> u-1
>
> [mm]f(u)=\bruch{4x+5}{x^2-1}[/mm]
>
> [mm]A=(u-1)*(\bruch{4x+5}{x^2-1})[/mm] Hinweise dazu hast du ja
> schon
>
> Steffi
>
Gruß
Pappus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, akzeptiere
[mm] A(u)=(u-1)\cdot{}(\bruch{4u+5}{u^2-1})
[/mm]
Steffi
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Also a) hab ich soweit verstanden und auch auf [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm]f(x) und auf [mm] \lim_{n \to \ - \infty} [/mm]f(x) getestet und bei beidem kam 0 raus.
bei f''(-2) war die Lösung 0,667
> gerundet
Nur will mir Aufgabe b) noch nicht weiter in den Kopf rein.
Denn um den Flächeninhalt des Rechteckes zu berechnen, nehme ich ja eigentlich die Formel A= a*b
so hatten wir es im Unterricht bei den Beispielaufgabene auch, die mir aber gerade nicht sonderlich weiterhelfen
denn dort war a = u und b = v und somit b = v = f(x)
aber das kann ich hier ja nicht anwenden oder?
Denn ich bräuchte ja die Größe u um irgendwie weiter zurechnen, wenn die Formel A(u) = 4+ [mm] \frac{1}{u+1} [/mm] mich zum Flächeninhalt bringen soll.
und wenn ich das hab dann kann ich doch eigentlich auch [mm] \lim_{u \to \infty} [/mm]A(u) und [mm] \lim_{u \to \ 1} [/mm]A(u) bestimmen, wenn ich richtig liege.
Oder etwa nicht?
Mathe wird definitiv nie zu meinem Lieblings-Fach *lach*
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Hallo
für ein Rechteck gilt A=a*b
ich habe in meiner Skizze mal u=5 gewählt
Seite a ist in meiner Skizze 4 Längeneinheiten lang allgemein u-1
Seite b ist in meiner Skizze 1,.... Längeneinheiten lang allgemein f(u)
[mm] A(u)=(u-1)*\bruch{4u+5}{u^2-1}=(u-1)*\bruch{4u+5}{(u-1)*(u+1)}=\bruch{4u+5}{u+1}=\bruch{4u+4+1}{u+1}=\bruch{4u+4}{u+1}+\bruch{1}{u+1}=4+\bruch{1}{u+1}
[/mm]
jetzt ist zu untersuchen, ob Extremwerte existieren, also ist A'(u) zu bilden
[mm] A'(u)=-\bruch{1}{(u+1)^2}
[/mm]
notwendiges Kriterium
A'(u)=0 nun überlege du
Steffi
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Also ist praktisch A(u) = [mm] 4+\bruch{1}{u+1} [/mm] die zielfunktion um weiter zurechnen?
Davon bin ich jetzt ja ausgegangen und habe die erste Ableitung 0 gesetzt.
Da kein x vorhanden ist, müsste ich ja praktisch nach "u" umstellen.
hat mein netter Cas Rechner auch gemacht nachdem ich drauf gekommen bin
allerdings zeigt er "falsch" an
muss ja heißen das da irgendwas nicht existiert oder es kein Extremum annimmt
aber wie komm ich jetzt auf den Flächeninhalt?
So einfach kann es doch nicht sein, dass ich einfach 1*5 bzw. 1*4, wenn man u-1 bedenkt, rechne, weil das a und b entspricht xD
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Hallo, die 1. Ableitung haben wir
[mm] 0=-\bruch{1}{(u+1)^2}
[/mm]
wir haben einen Bruch, wann wird denn ein Bruch gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist, da steht aber eine mauerfeste 1, es existiert kein Extremwert, somit kannst du auch keinen maximalen Flächeninhalt berechnen,
untersuche noch die Grenzwerte [mm] u\to1 [/mm] und [mm] u\to\infty
[/mm]
Steffi
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ganz so Mathe schlau bin ich leider nicht um zuwissen, dass sowas nicht geht mit dem Bruch Dx
Ich tu mich halt schwer mit sowas, aber trotzdem danke
wenn ich jetzt von der Funktion A(u) = [mm] 4+\bruch{1}{u+1} [/mm] ausgehe um den limes zu errechnen, dann komme ich auf:
[mm] \lim_{u \to \infty} [/mm]A(u) = 4
und
[mm] \lim_{u \to \ 1} [/mm] = 4,5
Also ist A(u) an sich nicht zubestimmen, wenn ich das richtig sehe?
und die Ergebnisse mit Limes geben uns jetzt keine Asymptoten an?
Schon mal sorry, dass du dich mit einer Mathe-Null wie mir rumschlagen musst Dx
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> ganz so Mathe schlau bin ich leider nicht um zuwissen, dass
> sowas nicht geht mit dem Bruch Dx
> Ich tu mich halt schwer mit sowas, aber trotzdem danke
Ist es denn jetzt klar geworden oder noch nicht?
>
> wenn ich jetzt von der Funktion A(u) = [mm]4+\bruch{1}{u+1}[/mm]
> ausgehe um den limes zu errechnen, dann komme ich auf:
>
> [mm]\lim_{u \to \infty} [/mm]A(u) = 4
>
> und
>
> [mm]\lim_{u \to \ 1}[/mm] = 4,5
>
> Also ist A(u) an sich nicht zubestimmen, wenn ich das
> richtig sehe?
Klar, für jedes u (z.B. u=87, u= 4, u= 2.945.232) kannst du jeweils den passenden Flächeninhalt des Rechtecks ausrechnen, und den hast du A(u) genannt.
Wenn A(u) schon in so einer schönen Form da steht wie hier, kann man das mit den Grenzwerten übrigens sehr leicht machen, so wie du es ja auch gemacht hast.
> und die Ergebnisse mit Limes geben uns jetzt keine
> Asymptoten an?
Naja, dein A ist ja der Flächeninhalt von einem Rechteck, dessen genaue Form noch davon abhängt, wo du genau den rechten oberen Eckpunkt hinlegst (festgelegt durch das u). Deswegen hängt auch der Flächeninhalt noch von dem u ab, deswegen müssen wir ja auch A(u) schreiben.
Jetzt kann man zwei interessante Fälle anschauen: Was passiert, wenn ich den rechten oberen Eckpunkt immer weiter nach rechts schiebe (gleichbedeutend mit u [mm] \to \infty)? [/mm] Du hast jetzt richtig entdeckt, dass der Flächeninhalt sich dann immer mehr der 4 nähert.
Wenn du den rechten oberen Eckpunkt jetzt immer weiter nach links schiebst (gleichbedeutend mit u [mm] \to [/mm] 1), dann nähert er sich der 4,5.
Interessant ist das deswegen, weil du in beiden Fällen ein Rechteck bekommst, bei dem die eine Seitenlänge "unendlich klein" ist und die andere "unendlich groß". Der Flächeninhalt ist jetzt das Produkt davon und ohne solche Grenzwertüberlegungen kannst du eben nichts darüber sagen, was "ganz wenig" mal "ganz viel" ist.
Die dritte interessante Frage ist, ob du jetzt ein u findest, so dass der Flächeninhalt maximal oder minimal wird - diese Untersuchung hast du ja schon gemacht und festgestellt, dass es solch ein u nicht gibt.
>
> Schon mal sorry, dass du dich mit einer Mathe-Null wie mir
> rumschlagen musst Dx
Wärst du eine Mathe-Null, würdest du dich überhaupt nicht damit beschäftigen und nicht hier nachfragen!!! Folgerung: Du bist keine Mathe-Null .
Hier hat jeder so seine mathematischen Lücken (sogar die Mathe-Doktoren!) .
lg weightgainer
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Dankeschön für die liebe Hilfe :D
Jetzt hab ich wenigstens a) und b) hinbekommen und c) ist ja sowie so nicht so wichtig
jedenfalls meinte meine Lehrerin, dass der Fokus bei dieser Ha eher bei a) und b) liegt.
Daher Danke :D
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