Kurvendiskussion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
| Aufgabe | f(x) = [mm] -4x^4 [/mm] + [mm] 8x^2 [/mm] -16
Nullstellen, Extrema und Wendepunkte berechnen |
Hallo Zusammen,
ich komme bei der Kurvendiskussion nicht weiter.
Folgendes habe ich bislang gerechnet (bitte ein Feedback ob es soweit richtig ist – Danke)
Nullstellenberechnung:
-4x4 + 8x2 -16 = 0 (ist eine biquadratische Gleichung x2 =z)
-4z2 + 8z -16 = 0 bzw. –z2 +2z -4 = 0
umgestellt nach der p-q-Formel
-z1,2 = -1+/- Wurzel aus 12 + 4
-z1 = - 3,2136 I * -1 .... ist das Richtig?
z1 = 3,2136 = x2 =x1,2 = +/- 1,7923
-z2 = 1,2136 I * -1
z2 = -1,2136 = x2 = x3,4 = 0
Extrema:
Bilden der 1. Ableitung:
Y = -4x4 + 8x2 -16
Y’= 4*-4x4-1 + 2*8x2-1 = -16x3 + 16x
Nullstellen:
0 = -16x3 + 16x
0 = -16x * (x2 + 1)
umgestellt nach der p-q-Formel
0 = (1/16):2 +/- Wurzel aus ((1/16):2)2 + 1
x1,2 = 0,03125 +/- 1,0155
x11 = 1,04675
x12 = 0,89425
Bilden der 2. Ableitung
Y’ = -16x3 + 16x
Y’’ = 3*-16x3-1 + 1*16x1-1
Y’’ = -48x2 + 16
umgestellt nach der p-q-Formel
x1,2 = -16/48+/- Wurzel aus (16/48)2
x1,2 = -0,333 +/- 0,333
x21 = 0
x22 = -0,666
Jetzt müsste ich ja die ermittelten Werte in die Stammfunktion einsetzen um Minimum und Maximum zu berechnen. Wenn meine Rechnung bis jetzt richtig ist (was ich hoffe...) was setzte ich jetzt wo ein????
Bei der Berechnung des Wendepunktes komme ich auch nicht in den Ansatz.....
Vielen Dank für ein paar Tipps
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Zusammen,
ich komme bei der Kurvendiskussion nicht weiter.
Folgendes habe ich bislang gerechnet (bitte ein Feedback ob es soweit richtig ist – Danke)
Nullstellenberechnung:
[mm] -4x^4 [/mm] + [mm] 8x^2 [/mm] -16 = 0 (ist eine biquadratische Gleichung [mm] x^2 [/mm] =z)
[mm] -4z^2 [/mm] + 8z -16 = 0 bzw. [mm] –z^2 [/mm] +2z -4 = 0
umgestellt nach der p-q-Formel
-z1,2 = -1+/- Wurzel aus 12 + 4
-z1 = - 3,2136 I * -1 .... ist das Richtig?
z1 = 3,2136 = x2 =x1,2 = +/- 1,7923
-z2 = 1,2136 I * -1
z2 = -1,2136 = x2 = x3,4 = 0
Extrema:
Bilden der 1. Ableitung:
Y = [mm] -4x^4 [/mm] + [mm] 8x^2 [/mm] -16
Y’= [mm] 4*-4x^4-1 [/mm] + [mm] 2*8x^2-1 [/mm] = [mm] -16x^3 [/mm] + 16x
Nullstellen:
0 = [mm] -16x^3 [/mm] + 16x
0 = -16x * [mm] (x^2 [/mm] + 1)
umgestellt nach der p-q-Formel
0 = (1/16):2 +/- Wurzel aus [mm] ((1/16):2)^2 [/mm] + 1
x1,2 = 0,03125 +/- 1,0155
x11 = 1,04675
x12 = 0,89425
Bilden der 2. Ableitung
Y’ = [mm] -16x^3 [/mm] + 16x
Y’’ = [mm] 3*-16x^3-1 [/mm] + [mm] 1*16x^1-1
[/mm]
Y’’ = [mm] -48x^2 [/mm] + 16
umgestellt nach der p-q-Formel
x1,2 = -16/48+/- Wurzel aus [mm] (16/48)^2
[/mm]
x1,2 = -0,333 +/- 0,333
x21 = 0
x22 = -0,666
Jetzt müsste ich ja die ermittelten Werte in die Stammfunktion einsetzen um Minimum und Maximum zu berechnen. Wenn meine Rechnung bis jetzt richtig ist (was ich hoffe...) was setzte ich jetzt wo ein????
Bei der Berechnung des Wendepunktes komme ich auch nicht in den Ansatz.....
Vielen Dank für ein paar Tipps
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 So 25.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x) = [mm]-4x^4[/mm] + [mm]8x^2[/mm] -16
> Nullstellen, Extrema und Wendepunkte berechnen
> Hallo Zusammen,
>
> ich komme bei der Kurvendiskussion nicht weiter.
>
> Folgendes habe ich bislang gerechnet (bitte ein Feedback ob
> es soweit richtig ist – Danke)
>
Du schluderst ein wenig mit den Vorzeichen.
> Nullstellenberechnung:
>
> -4x4 + 8x2 -16 = 0 (ist eine biquadratische Gleichung x2
> =z)
> -4z2 + 8z -16 = 0 bzw. –z2 +2z -4 = 0
> umgestellt nach der p-q-Formel
> -z1,2 = -1+/- Wurzel aus 12 + 4
> -z1 = - 3,2136 I * -1 .... ist das Richtig?
> z1 = 3,2136 = x2 =x1,2 = +/- 1,7923
> -z2 = 1,2136 I * -1
> z2 = -1,2136 = x2 = x3,4 = 0
Nicht ganz. Die Substitution z²=x ist ok,
Dann wird
[mm] -4x^4+8x^2-16=0
[/mm]
zu
[mm] -4z^2+8z-16=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z^{2}-2z+4=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1;2}=-1\pm\sqrt{1^{2}-5}=1\pm\sqrt{-3}
[/mm]
Da sie Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, hat diese Funktion keinen Nullstellen.
> Extrema:
> Bilden der 1. Ableitung:
> Y = -4x4 + 8x2 -16
> Y’= 4*-4x4-1 + 2*8x2-1 = -16x3 + 16x
> Nullstellen:
> 0 = -16x3 + 16x
> 0 = -16x * (x2 + 1)
> umgestellt nach der p-q-Formel
> 0 = (1/16):2 +/- Wurzel aus ((1/16):2)2 + 1
> x1,2 = 0,03125 +/- 1,0155
> x11 = 1,04675
> x12 = 0,89425
Die Grundidee ist ok, auch die Ableitungen mit.
[mm] f(x)=-4x^4+8x^2-16
[/mm]
[mm] f'(x)=-16x^3+16x
[/mm]
[mm] f''(x)=-48x^2+16
[/mm]
Aus der ersten Ableitung gleich Null ergibt sich:
[mm] -16x^3+16x=0
[/mm]
Ausklammern:
[mm] -16x\cdot(x^2-1)=0
[/mm]
Nun hast du ein Produkt, das Null werden soll, und daspassiert genau dann, wenn einer der Faktoren Null ist.
Also betrachte die Faktoren getrennt, hier:
[mm] $-16x=0\Rightarrow x_{1}=0$
[/mm]
bzw
[mm] $x^{2}-1=0\Rightarrow x_{2}=1, x_{3}=-1$
[/mm]
Mit den Werten f''(0), f''(1) und f''(-1) überprüfe nun die Art des Extremas.
Mit f(0), f(1) und f(-1) berechne noch die zugehörigen y-Koordinaten der Extrempunkte.
>
> Bilden der 2. Ableitung
> Y’ = -16x3 + 16x
> Y’’ = 3*-16x3-1 + 1*16x1-1
> Y’’ = -48x2 + 16
> umgestellt nach der p-q-Formel
> x1,2 = -16/48+/- Wurzel aus (16/48)2
> x1,2 = -0,333 +/- 0,333
> x21 = 0
> x22 = -0,666
>
> Jetzt müsste ich ja die ermittelten Werte in die
> Stammfunktion einsetzen um Minimum und Maximum zu
> berechnen. Wenn meine Rechnung bis jetzt richtig ist (was
> ich hoffe...) was setzte ich jetzt wo ein????
> Bei der Berechnung des Wendepunktes komme ich auch nicht
> in den Ansatz.....
Für einen Wendepunkt [mm] W(x_w|y_w) [/mm] gilt.
[mm] f''(x_w)=0
[/mm]
und
[mm] f'''(x_w)\ne0
[/mm]
Bestimme also aus
[mm] f''(x_w)=0, [/mm] hier also [mm] -48x^2+16=0 [/mm] die Kandidaten für die Wendestellen.
Dazu brauchst du hier nicht einmal die p-q-Formel.
Überrüfe dann, ob f'''(x) für diese Werte ungleich null werden
Berechne dann mit der Originalfunktion f(x) noch die zugehörigen y-Koordinaten der Wendepunkte.
Den Begriff Stammfunktion würde ich hier für f(x) nicht verwenden, der hat eine andere Bedeutung.
>
> Vielen Dank für ein paar Tipps
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
eine Frage zu
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}-2x+4=0 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow x_{1;2}=-1\pm\sqrt{1^{2}-5}=1\pm\sqrt{-3} [/mm] $
muss das nicht +1 heißen .... die p-q Formel ändert doch die Vorzeichen... aus p wird -(p/2)?
Und wieso ist unter der Wurezl -5 und nicht nicht -4
Danke für eine Info
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo
[mm] =1\pm\sqrt{-3} [/mm]
entschuldigung ..... ich bin blind, habs nicht gesehen ......da steht es ja.
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Hallo, du bist also immer noch bei den Nullstellen von [mm] f(x)=-4x^4+8x^2-16
[/mm]
[mm] 0=-4x^4+8x^2-16
[/mm]
[mm] 0=x^4-2x^2+4 [/mm] Substitution [mm] z^2=x
[/mm]
[mm] 0=z^2-2z+4 [/mm] achte auf deine Variablen
[mm] z_1_2=1\pm\wurzel{1-4}=1\pm\wurzel{-3}
[/mm]
die Funktion hat keine Nullstelle
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 So 25.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Moin moin,
> Hallo, du bist also immer noch bei den Nullstellen von
> [mm]f(x)=-4x^4+8x^2-16[/mm]
>
> [mm]0=-4x^4+8x^2-16[/mm]
>
> [mm]0=x^4-2x^2+4[/mm] Substitution [mm]z^2=x[/mm]
>
> [mm]0=z^2-2z+4[/mm] achte auf deine Variablen
>
> [mm]z_1_2=1\pm\wurzel{1-4}=1\pm\wurzel{-3}[/mm]
>
> die Funktion hat keine Nullstelle
...die Funktion hat keine (reellen) Nullstellen.
>
> Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo,
bis hierhin habe ich alles gerade noch mal nachgerechnet und auch verstanden - dafür schon mal danke.
" .... Mit den Werten f''(0), f''(1) und f''(-1) überprüfe nun die Art des Extremas.
Mit f(0), f(1) und f(-1) berechne noch die zugehörigen y-Koordinaten der Extrempunkte. ...."
Wie überprüfe ich aber jetzt jetzt die Art des Extremas bzw. wie berechne ich die zugeführigen y Koordinaten. Wo muss ich die ermittelten Werte einsetzten
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 25.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> bis hierhin habe ich alles gerade noch mal nachgerechnet
> und auch verstanden - dafür schon mal danke.
>
> " .... Mit den Werten f''(0), f''(1) und f''(-1)
> überprüfe nun die Art des Extremas.
Du hast doch mit 0, 1 und -1 die Kanditaten für einen Extrempunkt.
Bei einem Hochpunkt [mm] H(x_h|y_h) [/mm] gilt:
[mm] y_h=f(x_h)
[/mm]
[mm] f'(x_h)=0
[/mm]
[mm] f''(x_h)<0
[/mm]
Bei einem Hochpunkt [mm] T(x_t|y_t) [/mm] gilt:
[mm] y_h=f(x_t)
[/mm]
[mm] f'(x_t)=0
[/mm]
[mm] f''(x_t)>0
[/mm]
> Mit f(0), f(1) und f(-1) berechne noch die zugehörigen
> y-Koordinaten der Extrempunkte. ...."
>
> Wie überprüfe ich aber jetzt jetzt die Art des Extremas
> bzw. wie berechne ich die zugeführigen y Koordinaten. Wo
> muss ich die ermittelten Werte einsetzten
>
Das steht alles da.
> Danke
>
>
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Marius
es ärgert mich es zugeben zu müssen ..... aber ich verstehe es einfach nicht.
Ich verstehe (oder sehe es nicht, weil sich schon zu kange sitze) nicht welche ermittelten Werte in die Berechnung von H und T eingesetzt werden.
Ich habe hier gerade noch mal meine Skripte gewälzt und komme einfach nicht zur Lösung.
Auch wenn es ja nicht die Regel sein soll .... kannst du mir bitte bei der Berechnung der Punkte noch mal weiterhelfen.
Auch wenn du schreibst, dass alles da steht ..... Danke
Klaus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 So 25.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius
>
> es ärgert mich es zugeben zu müssen ..... aber ich
> verstehe es einfach nicht.
>
> Ich verstehe (oder sehe es nicht, weil sich schon zu kange
> sitze) nicht welche ermittelten Werte in die Berechnung von
> H und T eingesetzt werden.
Die Kandidaten für Extremstellen sind
[mm] x_{e_{1}}=0, x_{e_{2}}=1 [/mm] und [mm] x_{e_{3}}=-1.
[/mm]
Außerdem hattest du:
$ [mm] f(x)=-4x^4+8x^2-16 [/mm] $
$ [mm] f'(x)=-16x^3+16x [/mm] $
$ [mm] f''(x)=-48x^2+16 [/mm] $
Nun gilt:
[mm] f''(-1)=-48\cdot(-1)^{2}+16=-32<0
[/mm]
Damit gehört [mm] x_{e_{3}}=-1 [/mm] zu einem Hochpunkt, für dessen y-Koordinate gilt:
[mm] y=-4\cdot(-1)^4+8\cdot(-1)^2-16=-12
[/mm]
Damit ist H(-1|-12) ein Hochpunkt.
Nun bist du wieder dran, die beiden anderen Punkte konkret zu bestimmen, die x-Koordinate ist ja jeweils gegeben.
Schau dich unbedingt mal auf ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net um,für dich dürfte zur Zeit vor allem das Kapitel 4 und das Kapitel 5 interessant sein.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 25.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Marius,
ich habe jetzt
xe2 = 1 in die zweite Ableitung eingesetzt und als Ergebnis analog
f'' (1) = -48 * [mm] (1)^2 [/mm] +16 = -32 -> -32<0
y 0 -4 * [mm] (1)^4 [/mm] + 8 * [mm] (1)^2 [/mm] -16 = -12
Somit wäre der zweite Hochpunkt (1/-12)
f'' (0) = -48 [mm] *(o)^2 [/mm] +16 = 16 -> 16>0
y 0 -4 * [mm] (0)^4 [/mm] + 8 [mm] *(0)^2 [/mm] -16 = -16
Somit wäre der dritte Hochpunkt (0/-16)
Mein Maximum wäre dann (1/-12) + (-1/-12), weil -32<0
Mein Minimum wäre dann (0/-16), weil 16 > 0
Richtig?
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Hallo emsapfel,
> Hallo Marius,
>
> ich habe jetzt
> xe2 = 1 in die zweite Ableitung eingesetzt und als
> Ergebnis analog
>
> f'' (1) = -48 * [mm](1)^2[/mm] +16 = -32 -> -32<0
> y 0 -4 * [mm](1)^4[/mm] + 8 * [mm](1)^2[/mm] -16 = -12
>
> Somit wäre der zweite Hochpunkt (1/-12)
>
> f'' (0) = -48 [mm]*(o)^2[/mm] +16 = 16 -> 16>0
> y 0 -4 * [mm](0)^4[/mm] + 8 [mm]*(0)^2[/mm] -16 = -16
>
> Somit wäre der dritte Hochpunkt (0/-16)
>
Hier meinst wohl Tiefpunkt statt Hochpunkt.
> Mein Maximum wäre dann (1/-12) + (-1/-12), weil -32<0
> Mein Minimum wäre dann (0/-16), weil 16 > 0
>
> Richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 So 25.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
" .... Mit den Werten f''(0), f''(1) und f''(-1) überprüfe nun die Art des Extremas.
Mit f(0), f(1) und f(-1) berechne noch die zugehörigen y-Koordinaten der Extrempunkte. ...."
Wie überprüfe ich aber jetzt jetzt die Art des Extremas bzw. wie berechne ich die zugeführigen y Koordinaten. Wo muss ich die ermittelten Werte einsetzten
Du setzt in die 2 Ableitung 0 , 1 und -1 ein , dann weisst du ob es ein hochpunkt oder tiefpunkt ist.
Und für die y Koordinaten musst du einfach in die Ursprungsfunktion 0, 1 und -1 einsetzen.
Gruß
tiger
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 So 25.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> " .... Mit den Werten f''(0), f''(1) und f''(-1)
> überprüfe nun die Art des Extremas.
> Mit f(0), f(1) und f(-1) berechne noch die zugehörigen
> y-Koordinaten der Extrempunkte. ...."
>
> Wie überprüfe ich aber jetzt jetzt die Art des Extremas
> bzw. wie berechne ich die zugeführigen y Koordinaten. Wo
> muss ich die ermittelten Werte einsetzten
>
> Du setzt in die 2 Ableitung 0 , 1 und -1 ein , dann weisst
> du ob es ein hochpunkt oder tiefpunkt ist.
>
Wenn du den Wert korrekt interpretierst, das steht in meiner Antwort mehr. Nur einsetzen hilft noch nichts.
>
> Und für die y Koordinaten musst du einfach in die
> Ursprungsfunktion 0, 1 und -1 einsetzen.
>
> Gruß
>
> tiger
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 So 25.11.2012 | | Autor: | tiger1 |
hallo mrex ich hatte deine Mitteilung zu spät gesehen daher wusste ich nicht was du schon geschrieben hattest.
Hauptsache emsapfels Aufgabe ist gelöst.
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