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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Do 20.09.2012
Autor: Tony1234

Aufgabe
Berechnen Sie die Extrempunkte & klassifizieren Sie diese.

[mm] f(x)=x^2*ln(x) [/mm]

[mm] D:=\{x\in\IR|x>0\} [/mm]



Leider geht es weiter & ich würde mich wieder über etwas Hilfe freuen!

[mm] f(x)=x^2*ln(x) [/mm]

[mm] f'(x)=2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x} [/mm]

f'(x)=2x*ln(x)+x

___

f'(x)=2x*ln(x)+x

[mm] f''(x)=2*ln(x)+2x*\bruch{1}{x}+1 [/mm]

f''(x)=2ln(x)+3


--> f'(x)=0

f'(x)=2x*ln(x)+x

f'(x)=x(2ln(x)+1)

[mm] x\not=0 [/mm]

[mm] -->\(2ln(x)+1=0 [/mm]

[mm] ln(x)=-\bruch{1}{2} [/mm]

Ist die Rehcnung bis hier korrekt? Wie setze ich das in f''(x) ein, um den extrempunkt zu klassifizieren?
        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Do 20.09.2012
Autor: fred97


> Berechnen Sie die Extrempunkte & klassifizieren Sie diese.
>  
> [mm]f(x)=x^2*ln(x)[/mm]
>  
> [mm]D:=\{x\in\IR|x>0\}[/mm]
>  
> Leider geht es weiter & ich würde mich wieder über etwas
> Hilfe freuen!
>  
> [mm]f(x)=x^2*ln(x)[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x}[/mm]
>  
> f'(x)=2x*ln(x)+x
>  
> ___
>  
> f'(x)=2x*ln(x)+x
>  
> [mm]f''(x)=2*ln(x)+2x*\bruch{1}{x}+1[/mm]
>  
> f''(x)=2ln(x)+3
>  
>
> --> f'(x)=0
>  
> f'(x)=2x*ln(x)+x
>  
> f'(x)=x(2ln(x)+1)
>  
> [mm]x\not=0[/mm]
>  
> [mm]-->\(2ln(x)+1=0[/mm]
>  
> [mm]ln(x)=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Ist die Rehcnung bis hier korrekt?

Ja. Jetzt mußt Du x noch konkret berechnen.

Nutze dazu aus, das gilt: [mm] x=e^{ln(x)} [/mm]

FRED
> Wie setze ich das in
> f''(x) ein, um den extrempunkt zu klassifizieren?

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Do 20.09.2012
Autor: Tony1234

ahhhhh, da habe ich gar nicht dran gedacht!

[mm] \(ln(x)=-\bruch{1}{2} [/mm]  

--> [mm] \(e^l^n^x=e^\bruch{-1}{2} [/mm]

--> [mm] x=e^\bruch{-1}{2} [/mm]

korrekt so?


[mm] \(f''(e^\bruch{-1}{2}) [/mm]

[mm] =2ln(e^\bruch{-1}{2})+3 [/mm]

=2 > 0 ---> Tiefpunkt


[mm] f(e^\bruch{-1}{2}) [/mm]

[mm] =(e^\bruch{-1}{2})^2*ln(e^\bruch{-1}{2}) [/mm]

[mm] =e^-1*(-\bruch{1}{2}) [/mm]

[mm] =(-\bruch{1}{2})e^-^1 [/mm]


[mm] TP(e^\bruch{-1}{2}, (-\bruch{1}{2})e^-^1) [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Do 20.09.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Tony1234,


> ahhhhh, da habe ich gar nicht dran gedacht!
>
> [mm]\(ln(x)=-\bruch{1}{2}[/mm]  
>
> --> [mm]\(e^l^n^x=e^\bruch{-1}{2}[/mm]
>  
> --> [mm]x=e^\bruch{-1}{2}[/mm]
>  
> korrekt so? [ok]
>  
>
> [mm]\(f''(e^\bruch{-1}{2})[/mm]
>  
> [mm]=2ln(e^\bruch{-1}{2})+3[/mm] [ok]
>  
> =2 > 0 ---> Tiefpunkt [ok]
>  
>
> [mm]f(e^\bruch{-1}{2})[/mm]
>  
> [mm]=(e^\bruch{-1}{2})^2*ln(e^\bruch{-1}{2})[/mm]
>  
> [mm]=e^-1*(-\bruch{1}{2})[/mm]
>  
> [mm]=(-\bruch{1}{2})e^-^1[/mm] [ok]
>  
>
> [mm]TP(e^\bruch{-1}{2}, (-\bruch{1}{2})e^-^1)[/mm]   [ok]

Gut gemacht!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 Do 20.09.2012
Autor: Tony1234

Danke! Da habe ich heute ne Menge an lnx & e Stoff dazugelernt!!
Bezug
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