Kurvendiskussion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 So 10.01.2010 | | Autor: | marco21 |
Hallo,
Wir schreiben am Mittwoch unsere zweiten Klasur in Mathe, und ich bin gerade dabei ein bisschen dafür zu üben!
Wie ihr aus der Überschrift erkennen könnt, geht es um Funktionsuntersuchungen, bzw. Kurvendiskusionen. Bei uns im Buch (Lambacher Schweizer - Oberstufe) finden sich dafür ein paar Aufgaben zur Beweisführung, wo ich mir nicht sehr sicher bin, ob ich die wirklich richtig gelöst habe, vielleicht könnt ihr mir helfen:
Begründen, oder wiederlegen Sie:
a.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 4 kann drei Wendepunkte haben
b.)Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 5 hat immer 4 Extrempunkte
Meine Lösung:
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a.) Beispielfunktion:
f(x)= [mm] x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+2x-2
[/mm]
f'(x)= [mm] 4x^{3}-6x^{2}-6x+2
[/mm]
f''(x)= [mm] 12x^{2}-12x-6 [/mm] -> Notwendige Bedingung
f''(x)=0 -> Notwendige Bedingung zur Bestimmung von
Wendestellen
[mm] x_{1}\approx-0,366025 x_{2}\approx1,36603
[/mm]
Die Beispielfunktion 4 Grades hat lediglich 2 Wendestellen, und das Beispiel ist somit wiederlegt.
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b.) f(x)= [mm] 2x^{5}-4x^{4}+3x^{3}-9x{2}-6x+1,5
[/mm]
f'(x)= [mm] 10x^{4}-16x^{3}+9x^{2}-18x-6
[/mm]
f''(x)= [mm] 40x^{3}-48x^{2}+18x-18
[/mm]
f'(x)=0 -> Notwendige Bedingung für die Untersuchung auf
Extremstellen
f'(x)=0
[mm] 10x^{4}-16x^{3}+9x^{2}-18x-6=0
[/mm]
[mm] x_{1}\approx-,0274249 x_{2}\approx1,77277
[/mm]
Die Funktion 5 grades hat in diesem Fall lediglich 2 Extremstellen; das Beispiel ist also wiederlegt
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Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Danke schonmal in Vorraus!
MfG:
Marco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 So 10.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
zu a)
Hier reicht Dein Gegenbeispiel nicht, sondern Du musst entweder beweisen
1) Das es nicht möglich ist, dass eine ganzrationalen Funktion vom Grad 4 drei Wendepunkte haben kann oder
2) Ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion vom Grad 4 mit drei Wendepunkten angeben.
Du kannst Dir die allgemeine Form der Funktion aufschreiben und die zweite Abbildung bilden. Du hast dann ein Polynom zweiter Ordnung und Du kannst Dich fragen wieviel Nullstellen maximal so ein Polynom hat.
zu b) reicht Dein Gegenbeispiel, weil die Aussage ja ist, eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 hat immer 4 Extrempunkte. Dein Beispiel wiederlegt diese Aussage.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 10.01.2010 | | Autor: | marco21 |
Hi,
danke sehr... wenn ich dich richtig verstanden habe, sollte ich zu a.) auch noch die Hinreichende Bedingung ausführen?
Sprich:
f(x)= [mm] x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+2x-2
[/mm]
f'''(x)=12x-12 -> Als Hinreichnde Bedingung
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[mm] f'''(x_{1,2})\not=0 [/mm] -> Hinreichende Bedingung
f'''(x)= 12x-12
[mm] f'''(x_{1})\approx-16,3923\not=0
[/mm]
[mm] f'''(x_{2})\approx4,39236\not=0
[/mm]
Somit hat diese Funktion 4Grades nur 2 statt 4 Wendepunkte, und die Behauptung ist wiederlegt!
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Ich hoffe du hast es so gemeint ;)
MfG:
Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 So 10.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
eigentlich habe ich gemeint
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] ist die allgemeine ganzrationale Funktion 4'ten Grades und
[mm] f''(x)=12ax^2+6x+2c [/mm] ist ein Polynom zweiter Ordnung
und hat deswegen nur maximal zwei Nullstellen.
Deswegen ist die Aussage a) falsch. Denn es kann nie eine Funktion 4'ten Grades geben mit drei Wendepunkten.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 10.01.2010 | | Autor: | marco21 |
Danke sehr! Jetzt weiß ich was du meinst ;)
MfG:
Marco
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