Kurvendiskussion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 25.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei f(x) := (1 + [mm] x)\wurzel{1 - x^2} [/mm] für |x| [mm] \le [/mm] 1.
Bestimmen Sie alle Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. |
Zunächst mal die erste Ableitung der Funktion:
f(x) = (1 + [mm] x)(1-x^2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
f'(x) = [mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] (1+x)\bruch{1}{2}2x(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] (x+x^2)(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}}\bruch{x^2 + x + 1}{1-x^2}
[/mm]
So, und da habe ich jetzt ein großes Problem: Diese Funktion hat in dieser Notation offensichtlich keine Nullstellen. Für 1 und -1 ist sie nicht definiert und [mm] x^2 [/mm] + x + 1 hat keine Nullstellen auf [-1,1].
Das wäre ja kein Problem, wenn ich nicht zeichnerisch/per Wertetabelle ermittelt hätte, dass bei (sehr grob geschätzt) 0.5 ein lokales Maximum der Funktion liegt...
Habe ich einen Fehler in der Ableitung? Wäre peinlich, denn die habe ich schon (mindestens) ein Dutzend mal überprüft. 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Also die Bedingung lautet doch [mm] |x|\le1. [/mm]
Und für x=1(auch für x=-1) wird doch f'(x)=0.
f'(x)=$ [mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] $+$ [mm] (1+x)\bruch{1}{2}2x(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $
f'(1)=$ [mm] (1-1)^{\bruch{1}{2}} [/mm] $+$ [mm] (1+1)\bruch{1}{2}2(1-1)^{-\bruch{1}{2}}=0 [/mm] $
Und 1 erfüllt deine Bedingung, wenn du in |x| 1 und -1 einsetzt, kriegst du [mm] 1\le1. [/mm] Und das passt doch, denn es ist ja kleiner gleich und nicht kleiner.
Gruß
Boki87
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 25.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke für deine Mühe, aber das ist leider nicht korrekt.
> Also die Bedingung lautet doch [mm]|x|\le1.[/mm]
>
>
> Und für x=1(auch für x=-1) wird doch f'(x)=0.
> f'(x)=[mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm]+[mm] (1+x)\bruch{1}{2}2x(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Du teilst da gerade durch 0.
f'(x)=[mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm]+[mm] (1+x)\bruch{1}{2}2x(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] = f'(x)=[mm] (1-x^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm]+[mm] (1+x)\bruch{1}{2}2x\bruch{1}{(1-x^2)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
> f'(1)=[mm] (1-1)^{\bruch{1}{2}} [/mm]+[mm] (1+1)\bruch{1}{2}2(1-1)^{-\bruch{1}{2}}=0[/mm]
>
> Und 1 erfüllt deine Bedingung, wenn du in |x| 1 und -1
> einsetzt, kriegst du [mm]1\le1.[/mm] Und das passt doch, denn es ist
> ja kleiner gleich und nicht kleiner.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Stimmt, sorry ich habe das Minus übersehen.
Gruß
Boki87
|
|
|
| |
|
Hallo Tobias,
> Sei f(x) := (1 + [mm]x)\wurzel{1 - x^2}[/mm] für |x| [mm]\le[/mm] 1.
>
> Bestimmen Sie alle Nullstellen, Extremwerte und
> Wendepunkte.
> Zunächst mal die erste Ableitung der Funktion:
>
> f(x) = (1 + [mm]x)(1-x^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> f'(x) = [mm](1-x^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm](1+x)\bruch{1}{2}2x(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm](1-x^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm](x+x^2)(1-x^2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] =
[mm](1-x^2)^{\bruch{1}{2}}\bruch{x^2 + x + 1}{1-x^2}[/mm]
>
> So, und da habe ich jetzt ein großes Problem: Diese
> Funktion hat in dieser Notation offensichtlich keine
> Nullstellen. Für 1 und -1 ist sie nicht definiert und [mm]x^2[/mm] +
> x + 1 hat keine Nullstellen auf [-1,1].
>
> Das wäre ja kein Problem, wenn ich nicht zeichnerisch/per
> Wertetabelle ermittelt hätte, dass bei (sehr grob
> geschätzt) 0.5 ein lokales Maximum der Funktion liegt...
>
> Habe ich einen Fehler in der Ableitung?
Ja, leider, da hast du bei der inneren Ableitung des zweiten Wurzelausdrucks ein Minuszeichen unterschlagen!
[mm] $f'(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}+(1+x)\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}(\red{-}2x)\cdot{}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$ [/mm] ...
> Wäre peinlich, denn die habe ich schon (mindestens) ein Dutzend mal überprüft.
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 So 25.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hi Schachuzipus.
Gut, dass ich da gerade auf einem Stuhl saß, als ich das gelesen habe.
Danke.
|
|
|
|
