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Hallo allerseits,
ich habe zur Kurvendiskussion ein paar allgemeine Fragen.
Am Beispiel von zwei Aufgaben...
Für das Aufstellen einer Funktionsgleichung gillt:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft durch den Punkt P(-1/11) und hat an der Stelle x=0 einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. W(1/-1) ist ein weiterer Wendepunkt.
Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf.
Hier habe ich gelernt, daß ich zum Aufstellen der Funktionsgleichung für eine Funktion 4. Grades 5 Angaben benötige.
Also habe ich bekommen:
f(-1) = 11
f''(0) = 0
f'(0) = 0
f(1) = -1
f''(1) = 0
Soweit sogut...das hatte ich mir auch gemerkt.
Also immer ein Argument mehr, als die Angabe des Grades.
Sprich bei Fkt 5. Grades 6 Argumente zum Berechnen, bei 4. Grades 5 usw.
Nun hatte ich aber auch zwei Aufgaben 3. Ordnung, bei dem es dann nur drei Argumente waren.
siehe:
Eine zum Ursprung symmetrische Parabel 3. Ordnung hat ihren Extrempunkt in E(-1/4). Stellen Sie die Funktion auf
Warum brauche ich hier keine vier Argumente???
Gruß Stepahn
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Hi,
Für eine zum Ursprung symmetrische Funktion gilt: f(-x) = -f(x). Dies ist nur dann erfüllt, wenn deine funktionsgleichung diese Form hat: f(x) = [mm] ax^3+bx. [/mm] (Bei ganzrationalen Funktionen kann man sich auch gut merken: Punktsymmetrie: nur ungerade Exponenten, Achsensymmetrie: nur gerade Exponetnen.) Du siehst es gibt nur zwei Unbekannte (a und b) somit reichen auch zwei Bedingungen.
Gruß Patrick
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Hallo,
wenn [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] punktsymmetrisch zum Ursprung sein soll, muß gelten f(x)=-f(-x),
also
[mm] ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-bx^2+cx-d
[/mm]
<==> [mm] 2bx^2+2d=0 [/mm] <==> [mm] bx^2+d=0.
[/mm]
Was bedeutet [mm] bx^2+d=0?
[/mm]
Es beinhaltet die Forderung, daß diese Bedingung für jedes x gilt.
Also muß es insbesondere für z.B. (weil man's leicht rechnen kann) x=1 und x=0 gelten, d.h. es gilt
b+d=0 und d=0.
Zusätzlich mit den Bedingungen durch den vorgegebenen Punkt und den Extremwert hast Du auch hier soviele Bedingungen, wie zu berechnende Variablen.
Es sind also in der einen Symmetriebedingung zwei Forderungen an die Koeffizienten versteckt.
Gruß v. Angela
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