Kuratowski, Topo definieren < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mo 21.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und c: [mm] 2^x \rightarrow 2^x [/mm] ein Operator der
(C1)- C(4) erfüllt:
C(1): [mm] c(\emptyset)=\emptyset
[/mm]
C(2): A [mm] \subseteq [/mm] c(A)
C(3): c(A [mm] \cup [/mm] B)= c(A) [mm] \cup [/mm] c(B)
C(4): c(c(A))=c(A)
Dann definiert:
[mm] \mathcal{O}:= \{O \subseteq X| c(X\setminus O)=X\setminus O \}
[/mm]
eine Topologie auf X. Für jedes [mm] A\subseteq [/mm] X gilt [mm] c(A)=\overline{A} [/mm] und [mm] \mathcal [/mm] O ist die einzige Topologie mit diesen Eigenschaften. |
Hallo,
Die Hauptarbeit, dass [mm] \mathcal{O}:= \{O \subseteq X| c(X\setminus O)=X\setminus O \} [/mm] die Axiome (O1) - (O3) erfüllt habe ich schon gezeigt.
Es fehlt : [mm] \forall [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X: c(A)= [mm] \overline{A}
[/mm]
Da c(c(A))=c(a) [mm] \Rightarrow X\setminus [/mm] c(A) [mm] \in \mathcal{O} \Rightarrow [/mm] c(A) abgeschlossen in [mm] \mathcal{O}
[/mm]
[mm] A\subseteq [/mm] c(A) nach (C2) und c(A) abgeschlossen [mm] \Rightarrow \overline{A} \subseteq [/mm] c(A) wegen Minimalität von [mm] \overline{A}
[/mm]
Darf ich das so machen?
Wie folgt die andere Inklusion??
Eindeutigkeit:
Sei O' eine weitere Topologie mit c(A) als Operator mit den Eigenschaften (C1)-(C4) und [mm] C(A)=\overline{A}.
[/mm]
A in O' abgeschlossen [mm] \iff A=\overline{A}=c(A) \iff [/mm] A in [mm] \mathcal{O} [/mm] abgeschlossen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Di 22.09.2015 | | Autor: | hippias |
> Sei X eine Menge und c: [mm]2^x \rightarrow 2^x[/mm] ein Operator
> der
> (C1)- C(4) erfüllt:
> C(1): [mm]c(\emptyset)=\emptyset[/mm]
> C(2): A [mm]\subseteq[/mm] c(A)
> C(3): c(A [mm]\cup[/mm] B)= c(A) [mm]\cup[/mm] c(B)
> C(4): c(c(A))=c(A)
> Dann definiert:
> [mm]\mathcal{O}:= \{O \subseteq X| c(X\setminus O)=X\setminus O \}[/mm]
>
> eine Topologie auf X. Für jedes [mm]A\subseteq[/mm] X gilt
> [mm]c(A)=\overline{A}[/mm] und [mm]\mathcal[/mm] O ist die einzige Topologie
> mit diesen Eigenschaften.
> Hallo,
> Die Hauptarbeit, dass [mm]\mathcal{O}:= \{O \subseteq X| c(X\setminus O)=X\setminus O \}[/mm]
> die Axiome (O1) - (O3) erfüllt habe ich schon gezeigt.
>
> Es fehlt : [mm]\forall[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] X: c(A)= [mm]\overline{A}[/mm]
> Da c(c(A))=c(a) [mm]\Rightarrow X\setminus[/mm] c(A) [mm]\in \mathcal{O} \Rightarrow[/mm]
> c(A) abgeschlossen in [mm]\mathcal{O}[/mm]
> [mm]A\subseteq[/mm] c(A) nach (C2) und c(A) abgeschlossen
> [mm]\Rightarrow \overline{A} \subseteq[/mm] c(A) wegen Minimalität
> von [mm]\overline{A}[/mm]
> Darf ich das so machen?
Ich finde, dass Du das so machen darfst. Du hast Dich aber ziemlich kurz gefasst.
> Wie folgt die andere Inklusion??
Versuche zu zeigen, dass $c(A)$ in jeder abgeschlossenen Mengen enthalten ist, die $A$ enthaelt; oder aequivalent dazu: jede zu $A$ disjunkte offene Mengen ist auch disjunkt zu $c(A)$. Dazu ist es gut zu wissen, dass [mm] $A\subseteq B\Rightarrow c(A)\subseteq [/mm] c(B)$ aus $C(3)$ folgt.
>
> Eindeutigkeit:
> Sei O' eine weitere Topologie mit c(A) als Operator mit
> den Eigenschaften (C1)-(C4) und [mm]C(A)=\overline{A}.[/mm]
> A in O' abgeschlossen [mm]\iff A=\overline{A}=c(A) \iff[/mm] A in
> [mm]\mathcal{O}[/mm] abgeschlossen.
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 22.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort!
Das verstehe ich noch nicht ganz:
Es ist klar: Sei A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] c(B)=c(A [mm] \cup [/mm] B)= c(A) [mm] \cup [/mm] c(B) Nach (C4)
Und daraus folgt: c(A) [mm] \subseteq [/mm] c(B)
Sei F abgeschlossen und A [mm] \subseteq [/mm] F, dann folgt c(A) [mm] \subseteq [/mm] c(F)
Aber wiefolgt c(A) [mm] \subseteq [/mm] F ? Aus den Eigenschaften von c folgt doch nicht, dass c(F)=F mit F abgeschlossen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mi 23.09.2015 | | Autor: | hippias |
Doch, und zwar noch einfacher als ich gestern dachte. Nach Definition ist $U$ genau dann offen, wenn [mm] $c(X\setminus [/mm] U)= [mm] X\setminus [/mm] U$ gilt. Ist nun $F$ abgeschlossen, so ist [mm] $X\setminus [/mm] F$ offen. Wende darauf eben genannte Aequivalenz an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Mi 23.09.2015 | | Autor: | sissile |
Danke! Alles klar!
Liebe Grüße,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Di 22.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Eindeutigkeit:
> Sei O' eine weitere Topologie mit c(A) als Operator mit
> den Eigenschaften (C1)-(C4) und [mm]C(A)=\overline{A}.[/mm]
Beachte dabei, dass $c(A)$ unabhängig von der Topologie die gleiche Bedeutung hat, jedoch [mm] $\overline{A}$ [/mm] den Abschluss von $A$ bezüglich [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] oder bezüglich [mm] $\mathcal{O}'$ [/mm] bezeichnen kann.
Daher sollte man zur Klarheit besser [mm] $\overline{A}^\mathcal{O}$ [/mm] bzw. [mm] $\overline{A}^{\mathcal{O}'}$ [/mm] schreiben.
Wir haben also sowohl [mm] $c(A)=\overline{A}^\mathcal{O}$ [/mm] als auch [mm] $c(A)=\overline{A}^{\mathcal{O}'}$ [/mm] für alle [mm] $A\subseteq [/mm] X$.
> A in O' abgeschlossen [mm]\iff A=\overline{A}=c(A) \iff[/mm] A in
> [mm]\mathcal{O}[/mm] abgeschlossen.
Mit der nötigen Unterscheidung der Abschlüsse bezüglich [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}'$ [/mm] würde ich die Überlegung wie folgt notieren:
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] X$. Dann gelten unter Nutzung von [mm] $\overline{A}^\mathcal{O}=c(A)=\overline{A}^{\mathcal{O}'}$ [/mm] folgende Äquivalenzen:
A bezüglich [mm] $\mathcal{O}'$ [/mm] abgeschlossen [mm] $\iff$ $A=\overline{A}^{\mathcal{O}'}$ $\iff$ $A=\overline{A}^\mathcal{O}$ $\iff$ [/mm] A bezüglich [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] abgeschlossen.
Somit besitzen [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}'$ [/mm] die gleichen abgeschlossenen Mengen.
Es ist bekannt (?) bzw. leicht zu zeigen, dass daraus [mm] $\mathcal{O}=\mathcal{O}'$ [/mm] folgt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Di 22.09.2015 | | Autor: | sissile |
Ja, das hätte ich besser anschreiben müssen!
Vielen Danke für die Korrektur!
LG,
sissi
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