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| Aufgabe | Seien X eine Menge und h eine Abbildung der Potenzmenge von X auf sich selbst mit:
K1: [mm] h(\emptyset)=\emptyset
[/mm]
K2: A [mm] \subseteq [/mm] h(A)
K3:h(h(A))=h(A)
K4: [mm] h(A\cupB)=h(A)\cup [/mm] h(B)
Zu zeigen ist, dass es genau eine Topologie gibt, so dass für jedes A [mm] \subset [/mm] X gilt, dass h(A) der Abschluss von A bzgl. dieser Topologie ist. |
Ist mein Ansatz richtig? Ich habe das Gefühl, grob etwas zu übersehen. Auch ist
Ich nehme zunächst eine Topologie [mm] \tau. [/mm] K1-K3 haben wir in der Vorlesung bewiesen, also dass der Abschluss der leeren Menge die leere Menge ist (da sie bzgl. jeder Topologie abgeschlossen ist), dass der Abschluss einer Menge sie selbst enthält geht aus ihrer Definition hervor, und der Abschluss einer abgeschlossenen Menge ist ebenjene Menge. K4 müsste auch kein Problem sein, wollte ich dann später machen.
Dann muss ich ja nur noch zeigen, dass es die einzige ist, richtig?
Nehmen wir an, dass [mm] \tau' [/mm] ebenfalls K1-K4 erfüllt. Dann gilt: [mm] \overline{A}_\tau=h(A)=\overline{A}_(\tau'), [/mm] also der die Abschlüsse bzgl. [mm] \tau [/mm] und [mm] \tau' [/mm] sind gleich.
Sei dann [mm] A\in \tau. [/mm] Da A offen ist, gilt [mm] A=A^{0} [/mm] (Inneres von [mm] A)=X\setminus(\overline{X\setminus A})_\tau=X\setminus h(X\setminus A)=X\setminus(\overline{X\setminus A})_(\tau') \in \tau'
[/mm]
Und analog von [mm] \tau' [/mm] nach [mm] \tau. [/mm] Ich hoffe, die Notation ist einigermaßen verständlich.
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Hallo Logiker,
Du sollst nicht zeigen, dass für einen topologischen Raum die Abschlussoperatoren obigen Axiomen genügen, sondern du sollst umgekehrt zeigen, dass, wenn du einen Operator h hast, der diesen Axiomen genügt, es eine Topologie gibt, deren Abschlussoperator mit diesem h übereinstimmt. Dass diese eindeutig bestimmt ist, scheinst du mir richtig gezeigt zu haben.
Etwas ähnliches habt ihr vermutlich schon einmal für die Äquivalenz von Definition via offenen Mengen beziehungsweise angeschlossenen Mengen gemacht; das Gerüst solcher Beweise kannst du kopieren, auch wenn es hier wohl ein Stück (aber auch nicht unbedingt ein sehr großes) aufwendiger wird.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hi, sorry, aber das ist mir nicht ganz klar...mir schein, dass der Abschluss bzgl. jeder Topologie diesen Axiomen genügen müsste. Nehmen wir die diskrete Topologie: Jede Menge ist offen und abgeschlossen. K1: Der Abschluss der leeren menge ist die leere Menge, da jede Menge die leere Menge enthält und der Durchschnitt zweier disjunkter Mengen leer ist.
K2: Da jede menge abgeschlossen ist, gilt: [mm] \overscore{A}=A.
[/mm]
K3: folgt aus der Begründung von K2.
K4: [mm] h(A\cup B)=A\cup [/mm] B= [mm] h(A)\cup [/mm] h(B)
Also mich verwirrt das leider zunehmends...denn das hieße ja, jede Topologie ist gleich der diskreten -.- Was natürlich Humbug ist.
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Hi,
Du hast keine Topologie! Du hast nur eine Menge, deren Potenzmenge, und die Abbildung h. Und jetzt ist es deine Aufgabe, eine Topologie zu DEFINIEREN, deren Abschlussoperator dann h ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Sorry, aber ich schaffe es echt nicht, mir ein Bild davon zu machen, was hier zu tun ist. Hast du vielleicht noch einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 22.04.2014 | | Autor: | hippias |
Die abgeschlossenen Mengen sollen von der Gestalt $h(A)$ sein. Welche Gestalt muessen also die offenen Mengen haben...?
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Also darf [mm] \tau [/mm] nur die Mengen enthalten, die sich als [mm] X\setminus [/mm] h(A) schreiben lassen.
Ich kann die Axiome auf das h(A) hier anwenden, aber ich sehe nicht, wie mich das hier weiterbringt. Ich verstehe auch immernoch nicht, was mich davon abhält, einfach z.B. die diskrete Topologie auf X zu definieren. Denn dort würde h ja als Abschlussoperator funktionieren, auch wenn das der Eindeutigkeitsforderung widerspricht, deswegen verstehe ichs ja nicht.
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Nimm meinetwegen die gewöhnliche Topologie der reellen Zahlen und betrachte deren Abschlussoperator. Dieser ist dann eine Abbildung h, welche den Axiomen oben genügt. Aber diese Abbildung ist aber eine völlig andere, als der Abschlussoperator der diskreten Topologie auf [mm] $\IR [/mm] $. Tatsächlich gibt es nur eine einzige Topoligie, nämlich die der reellen Zahlen, mit der wir angefangen haben, deren Abschlussoperator durch h gegeben ist. Und die abgeschlossenen Mengen dieser Topologie sind alle diejenigen Mengen $ A $ mit $ h (A) =A $. Wenn du jetzt eine beliebige solche Abbildung h hast, fang damit an zu zeigen, dass die Mengen, welche fix unter h sind, den üblichen Axiomen für abgeschlossene Mengen genügen, also abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen und beliebigen Durchschnitten sind.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Vielen Dank, das hat mir super geholfen! Ich habe jetzt leider keine Zeit, meinen Beweis hier detalliert reinzuschrieben, aber: endliche Vereinigungen folgt direkt aus K4, bei den Durchscnitten weiß ich noch nicht, man kann ja leicht die Inklusion in die eine Richtung zeigen, bei der anderen muss ich noch schauen.
Achso, und dann führe ich das natürlich auf die offenen Mengen zurück, aber das ist ja einfach nur Anwendung der De Morganregeln. Und dass X und die leere Menge offen/abgeschlossen sind ist klar bzw. folgt aus K1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Do 24.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Definiere: eine Teilmenge B von X heißt offen : [mm] \gdw [/mm] $h(X [mm] \setminus [/mm] B) =X [mm] \setminus [/mm] B$
FRED
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