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Hi!
Bei der Regressionsanalyse passen Punkte eine Gerade in diese Punktewolke so ein, daß die Summe der quadrierten Anstände der Punkte von dieser Geraden minimiert wird (Kleinste-Quadrate-Methode nach Gauss) [mm]y_{t}=\beta_{1}+\beta_{2}x_{t}+u_{t}, \summe u_{t}^{2} \to min!_{\beta_{1}, \beta{2}}[/mm], wobei [mm]u_{t}[/mm] der vertikale Abstand der Punkte von der Geraden ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun möchte ich mit meinen Punkten eine andere Gerade einpassen, die so aussehen soll:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hierfür habe ich mir überlegt, den KQ-Ansatz so zu modifizieren, daß der quadrierte Abstand maximiert wird: [mm]y_{t}=\beta_{1}+\beta_{2}x_{t}+u_{t}, \summe u_{t}^{2} \to max!_{\beta_{1}, \beta{2}}[/mm]. Da dies noch keine Lösung im Endlichen einbringt, müssen Nebenbedingungen her. Allgemein also: [mm]u_{1}, u_{2}, u_{3} <0, u_{4}, u_{5}, u_{6} >0[/mm]. Nun existieren zwei Klassen, jede Beobachtung wird in eine davon klassifiziert. Die Klassen werden durch [mm]\alpha_{t}[/mm] bezeichnet und [mm]\alpha_{t}[/mm] ist entweder -1 oder +1. Alle Punkte, die unter der Geraden liegen (in der Grafik die mit "x" gezeichneten), gehören zur Klasse -1. Alle Punkte, die über der Geraden liegen (in der Grafik die mit "o" gezeichneten), sind mit +1 klassifiziert. Also: [mm]u_{t} <0 \forall \alpha_{t}=-1}, u_{t} >0 \forall \alpha_{t}=+1}[/mm] (hier: [mm] u_{1}, u_{2} [/mm] und [mm] u_{3} [/mm] für -1 und [mm] u_{4}, u_{5} [/mm] und [mm] u_{6} [/mm] für +1). Damit gilt aber [mm]u_{t}\alpha_{t} >0 \forall \alpha_{t}=-1[/mm] und auch [mm]u_{t}\alpha_{t} >0 \forall \alpha_{t}=+1[/mm], also [mm]u_{t}\alpha_{t} >0 \forall t[/mm].
Frage 1: Ist das die Nebenbedingung, die meine Gerade in die Mitte zwischen den Punkten zwingt, wie in der Grafik dargestellt, oder ist die Lage damit noch unbestimmt?
Frage 2: Da die Nebenbedingung eine Ungleichung ist, benötige ich hier die Karush-Kuhn-Tucker-Optimierung. Wäre das so richtig: [mm]L=\summe u_{t}^{2}-\summe \alpha_{t}u_{t}\lambda_{t}+\summe \lambda_{t} \to max!_{\beta_{1}, \beta_{1}, \lambda_{t}}[/mm]? Hierbei kommt nämlich für die partielle Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] leider Murks 'raus...
(Puh, das alles einzutippen hat lange gedauert...)
Vielen dank für Eure Mühe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 17.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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