Kugelgleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Fr 05.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
| Aufgabe | P1 (10/-6/-3), P2 (6/2/0), P3(12/0/0) und die Ebene E:x*(2/6/3)=24
c) Ermittle eine Kugelgleichung einer Kugel K, die P1 als Mittelpunkt hat und die durch den Punkt P2 geht.
d) Die Kugel K schneidet aus der Geraden h, die durch die Punkte P2 und P3 geht, eine Strecke aus. Besimmt die Länge dieser Strecke. |
Kann mir jemand bitte mit diesen Aufgaben helfen? Muss eine Klaussurersatzleistung halten und habe wikrlich KEINE AHNUNG wie ich diese Aufgaben lösen könnte. Würde mich über Hilfe freuen..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> P1 (10/-6/-3), P2 (6/2/0), P3(12/0/0) und die Ebene
> E:x*(2/6/3)=24
>
> c) Ermittle eine Kugelgleichung einer Kugel K, die P1 als
> Mittelpunkt hat und die durch den Punkt P2 geht.
> d) Die Kugel K schneidet aus der Geraden h, die durch die
> Punkte P2 und P3 geht, eine Strecke aus. Besimmt die Länge
> dieser Strecke.
> Kann mir jemand bitte mit diesen Aufgaben helfen? Muss
> eine Klaussurersatzleistung halten und habe wikrlich KEINE AHNUNG
Bist Du sicher? Wie bist Du denn dann in diese Klassenstufe gekommen?
> wie ich diese Aufgaben lösen könnte. Würde mich
> über Hilfe freuen..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
1. Die allgemeine Kugelgleichung ist:
[mm] $(x-x_M)^2 [/mm] + [mm] (y-y_M)^2 [/mm] + [mm] (z-z_M)^2 [/mm] = [mm] r^2$ [/mm] mit dem Mittelpunkt [mm] $M(x_M [/mm] / [mm] y_M [/mm] / [mm] z_M)$
[/mm]
Der radius hat hier dieselbe Länge wie die Entfernung zwischen [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$.
[/mm]
2. Die Punkte [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] haben die Ortsvektoren [mm] $\overrightarrow{p_1}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{p_2}$.
[/mm]
Dann ist die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte verläuft:
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] $\overrightarrow{p_1}$ [/mm] + r [mm] \cdot ($\overrightarrow{p_1}$ [/mm] - [mm] $\overrightarrow{p_2}$).
[/mm]
3. Wenn Du die Kugelgleichung mit Vektoren schreibst, erhältst Du
[mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec m)^2=r^2$
[/mm]
Substituiere den Vektor [mm] $\vec [/mm] x$ der Kugelgleichung durch den Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] der Geradengleichung und löse nach r auf. Du erhältst 2 Schnittpunkte wovon einer der Punkt [mm] $P_2$ [/mm] sein muss (warum?).
4. Viel Erfolg!
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 05.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
Danke für die schnelle Antwort, durch längeres Ausporbieren habe ich es auch geschafft. Und hättest du vielleicht einen Tipp für Aufgabe d)??
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Hallo sbn2010,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für die schnelle Antwort, durch längeres
> Ausporbieren habe ich es auch geschafft. Und hättest du
> vielleicht einen Tipp für Aufgabe d)??
Mein Vorredner hat doch schon geschrieben, wie Du Vorgehen musst.
Nur meinte er die Gerade durch [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{3}[/mm]:
[mm]g:\vec{x} = \overrightarrow{p_2} $ + r ( \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_2} ).[/mm]
Setze nun diese Geradengleichung in
[mm](\vec x - \vec m)^2=r^2 [/mm]
ein und Du erhältst die beiden Schnittpunkte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> Nur meinte er die Gerade durch [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{3}[/mm]:
>
> [mm]g:\vec{x} = \overrightarrow{p_2} $ + r ( \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_2} ).[/mm]
>
> Setze nun diese Geradengleichung in
>
> [mm](\vec x - \vec m)^2=r^2[/mm]
>
> ein und Du erhältst die beiden Schnittpunkte.
Es tut mir echt Leid, aber ich verstehe wirklich NICHTS. ^^
Wie soll ich die Geradengleichung in diese Gleichung einsetzen?
Und woher weiß ich dann, dass einer dieser Schnittpunkte P3 sein MUSS?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> > Nur meinte er die Gerade durch [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{3}[/mm]:
> >
> > [mm]g:\vec{x} = \overrightarrow{p_2} $ + r ( \overrightarrow{p_3} - \overrightarrow{p_2} ).[/mm]
>
> >
> > Setze nun diese Geradengleichung in
> >
> > [mm](\vec x - \vec m)^2=r^2[/mm]
> >
> > ein und Du erhältst die beiden Schnittpunkte.
>
>
> Es tut mir echt Leid, aber ich verstehe wirklich NICHTS.
Das kann ich mir nicht vorstellen.
> ^^
> Wie soll ich die Geradengleichung in diese Gleichung
> einsetzen?
Du hast doch die Kugelgleichuung
K:[mm] (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 + (z-z_M)^2 = r^2 [/mm]
Und du hast die Geardengleichung
[mm] g:\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{p_{2_{x}}\\
p_{2_{y}}\\
p_{2_{z}}}+\lambda*\overbrace{\left(\vektor{p_{3_{x}}\\
p_{3_{y}}\\
p_{3_{z}}}\vektor{p_{2_{x}}\\
p_{2_{y}}\\
p_{2_{z}}}\right)}^{\overrightarrow{P_{2}P_{3}}} [/mm]
Wenn du das mal zusammenfasst, ergibt sich:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{p_{2_{x}}+\lambda*(p_{3_{x}}-p_{2_{x}})\\p_{2_{y}}+\lambda*(p_{3_{y}}-p_{2_{y}})\\p_{2_{z}}+\lambda*(p_{3_{z}}-p_{2_{z}})}
[/mm]
Also haben alle Punkte, die auf g liegen, die x-Koordinate [mm] x=p_{2_{x}}+\lambda*(p_{3_{x}}-p_{2_{x}}), [/mm] die y-Koordinate [mm] y=p_{2_{y}}+\lambda*(p_{3_{y}}-p_{2_{y}}) [/mm] und die z-Koordinate [mm] z=p_{2_{z}}+\lambda*(p_{3_{z}}-p_{2_{z}})
[/mm]
Und diese Koordinaten setze nun in K ein, dann hast du eine Gleichung mit nur noch [mm] \lambda [/mm] als Variable.
> Und woher weiß ich dann, dass einer dieser Schnittpunkte
> P3 sein MUSS?
Naja, [mm] P_{2} [/mm] liegt nach Voraussetzung auf K und auf g.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> Und diese Koordinaten setze nun in K ein, dann hast du eine
> Gleichung mit nur noch [mm]\lambda[/mm] als Variable.
Ich habe jetzt folgende Gleichung:
[( 6+ 6 [mm]\lambda[/mm]) - 10)² + ( 2-2 [mm]\lambda[/mm]) + 6)² + 3²]= 89
kann mir jetzt jemand damit helfen, diese Gleichung zu lösen?
Wäre für eine Lösung seeeeehr dankbar!
Liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das wird mit ein wenig Zusammenfassen zu einer simplen quadratischen Gleichung, und das sollte in der 13 Klasse kein Problem mehr darstellen 
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> Das wird mit ein wenig Zusammenfassen zu einer simplen
> quadratischen Gleichung, und das sollte in der 13 Klasse
> kein Problem mehr darstellen
Jajaja, das hört sich so an.. wenn man aber bedenkt dass ich eigentlich keine Ahnung von Mathe hab und immer mit 5 punkten im zeugnis durchkomme, ist es egentlich doch ein Problem.. gebe es die Möglichkeit, das du mir die Gleichung auflöst?( bitte bitte bitte)?
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
>
> > Das wird mit ein wenig Zusammenfassen zu einer simplen
> > quadratischen Gleichung, und das sollte in der 13 Klasse
> > kein Problem mehr darstellen
>
> Jajaja, das hört sich so an.. wenn man aber bedenkt dass
> ich eigentlich keine Ahnung von Mathe hab und immer mit 5
> punkten im zeugnis durchkomme, ist es egentlich doch ein
> Problem.. gebe es die Möglichkeit, das du mir die
> Gleichung auflöst?( bitte bitte bitte)?
Umso wichtiger, dass du es jetzt selber machst. Ruhig sehr kleinschrittig, und danz ausführlich. Nachrechnen machen wir hier sicherlich dann, wenn nötig
> :)
>
Marius
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>
> > Das wird mit ein wenig Zusammenfassen zu einer simplen
> > quadratischen Gleichung, und das sollte in der 13 Klasse
> > kein Problem mehr darstellen
>
> Jajaja, das hört sich so an.. wenn man aber bedenkt dass
> ich eigentlich keine Ahnung von Mathe hab und immer mit 5
> punkten im zeugnis durchkomme, ist es egentlich doch ein
> Problem.. gebe es die Möglichkeit, das du mir die
> Gleichung auflöst?( bitte bitte bitte)?
> :)
>
Hallo sbn,
deine Gleichung hat zuletzt so ausgesehen:
[( 6+ 6 [mm]\lambda[/mm]) - 10)² + ( 2-2 [mm]\lambda[/mm]) + 6)² + 3²]= 89
Bring da bitte zuerst die Beklammerung in Ordnung,
denn so wie sie da steht, ist die Gleichung syntaktisch
falsch, und benütze bitte nicht den Exponenten 2 von
deiner Tastatur, sondern schreibe z.B. 3² als 3^2 !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
ich habe jetzt [mm]\lambda[/mm][mm] )^2 [/mm] - 2,3[mm]\lambda[/mm]) = 0
(wenn das überhaupt richtig ist)
wie kann ich weiter vorgehen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> ich habe jetzt [mm]\lambda[/mm][mm] )^2[/mm] - 2,3[mm]\lambda[/mm]) = 0
> (wenn das überhaupt richtig ist)
habe festgestellt, da war ein fehler.
wohl eher
[mm]\lambda[/mm][mm]^2 - 2[mm]\lambda[/mm][mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo ich komme auf
[mm] 40\lambda^{2}-80\lambda=0
[/mm]
Und für eine quadratische Gleichung solltest du nun wirklich Lösungsverfahren kennen.
Als Alternativen seien genannt.
quadratische Ergänzung, p-q-Formel,
Hier ist aber der Satz der Nullproduktes der sinnvollste:
[mm] 40\lambda^{2}-80\lambda=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda^{2}-2\lambda=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda(\lambda-2)=0
[/mm]
jetzt hast du ein Produkt aus zwei Faktoren, das Null werden soll, also reicht es, wenn einer der Faktoren Null wird. Und das sollte jetzt nun wirklich kein Problem mehr darstellen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> Hallo ich komme auf
>
> [mm]40\lambda^{2}-80\lambda=0[/mm]
Gibt es eine Möglichkeit, mir zu erklären wie du auf dieses Ergebnis kommst?
Tut mir leid.. :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Wie bist du denn auf [mm] \lambda^{2}-2\lambda=0 [/mm] gekommen. Davor kam bei mir [mm] 40\lambda^{2}-80\lambda=0
[/mm]
Und das ist aus
[mm] [((6+6\lambda)-10)^{2}+((2-2\lambda)+6)^{2}+3^{2}]=89 [/mm] durch ein paar simple Umformungen entstanden.
Fasse zuerst die "innerquadratischen Kammern" zusammen, dann löse die beiden binomischen Formeln auf, dann hast du meine Startgleichung
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> kam bei mir [mm]40\lambda^{2}-80\lambda=0[/mm]
>
> Und das ist aus
>
> [mm][((6+6\lambda)-10)^{2}+((2-2\lambda)+6)^{2}+3^{2}]=89[/mm] durch
> ein paar simple Umformungen entstanden.
> Fasse zuerst die "innerquadratischen Kammern" zusammen,
> dann löse die beiden binomischen Formeln auf, dann hast du
> meine Startgleichung
Ich habe bis jetzt versucht das IRGENDWIE zu lösen, habe aber immernoch keinen Rechenweg!
Bitte um Hilfe
LG
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Hallo, das ist doch wirklich nur stures Auflösen der Klammern
[mm] [((6+6\lambda)-10)^{2}+((2-2\lambda)+6)^{2}+3^{2}]=89
[/mm]
[mm] [(6\lambda-4)^{2}+(-2\lambda+8)^{2}+3^{2}]=89
[/mm]
[mm] 36\lambda^{2}-48\lambda+16+4\lambda^{2}-32\lambda+64+9=89
[/mm]
[mm] 40\lambda^{2}-80\lambda+89=89
[/mm]
[mm] 40\lambda^{2}-80\lambda=0
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 06.11.2010 | | Autor: | sbn2010 |
> Hier ist aber der Satz der Nullproduktes der sinnvollste:
>
> [mm]40\lambda^{2}-80\lambda=0[/mm]
> [mm]\gdw \lambda^{2}-2\lambda=0[/mm]
> [mm]\gdw \lambda(\lambda-2)=0[/mm]
>
> jetzt hast du ein Produkt aus zwei Faktoren, das Null
> werden soll, also reicht es, wenn einer der Faktoren Null
> wird. Und das sollte jetzt nun wirklich kein Problem mehr
> darstellen.
Das habe ich jetzt verstanden, danke sehr.
Was soll ich jetzt mit den beiden Punkten machen, wie gehe ich weiter vor um die Strecke herauszufinden? Welche Gleichung muss ich verwenden ?
LG
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Hallo sbn2010,
> > Hier ist aber der Satz der Nullproduktes der sinnvollste:
> >
> > [mm]40\lambda^{2}-80\lambda=0[/mm]
> > [mm]\gdw \lambda^{2}-2\lambda=0[/mm]
> > [mm]\gdw \lambda(\lambda-2)=0[/mm]
>
> >
> > jetzt hast du ein Produkt aus zwei Faktoren, das Null
> > werden soll, also reicht es, wenn einer der Faktoren Null
> > wird. Und das sollte jetzt nun wirklich kein Problem mehr
> > darstellen.
>
> Das habe ich jetzt verstanden, danke sehr.
> Was soll ich jetzt mit den beiden Punkten machen, wie gehe
> ich weiter vor um die Strecke herauszufinden? Welche
> Gleichung muss ich verwenden ?
Jetzt verwendest Du die Geradengleichung g bzw. h, um
die Punkte herauszufinden.
>
> LG
Gruss
MathePower
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