Kubischer Spline < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 30.06.2010 | | Autor: | tomtomgo |
| Aufgabe | Die Funktion f sei gegeben durch
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
-2-4*x+5*x^2-x^3, & \mbox{für }1\le x\ge2\mbox{ } \\
-14+14*x-4*x^2+1/2*x^3, & \mbox{für }2\le x\ge3\mbox{ }
\end{matrix}\right.
[/mm]
Untersuchen Sie, ob f eine kubische Spline-Funktion darstellt. |
Bin mir nicht sicher, ob ich mit meiner Variante die Aufgabe schon gelöst habe.
Ein kubischer Spline existiert doch dann, wenn beide Funktionen differenzierbar und stetig sind. Das heißt ich leite beide Funktionen einmal ab
Also
p(x)= [mm] -2-4*x+5*x^2-x^3
[/mm]
p'(x)= [mm] -4+10*x-3*x^2
[/mm]
Und
[mm] g(x)=-14+14*x-4*x^2+1/2*x^3
[/mm]
g'(x)=14-8*x+ [mm] 3/2*x^2
[/mm]
so nun lasse ich alle Funktionen und deren Ableitungen gegen den Wert 2 gehen
D.h.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} [/mm] g(x) & p(x) =2
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} [/mm] g'(x) & p'(x) =4
Damit hab ich doch bewiesen, dass die Funktion f(x) stetig und differenzierbar ist und somit keine Sprungstellen zwischen den Funktionen sind. Somit hier ein kubischer Spline vorliegt.
Ist das richtig? Oder liege ich mit meinem Beweis richtig.
Bitte um Korrektur falls es falsch ist.
Vielen Dank schon mal
Grüße
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Hallo tomtomgo,
> Die Funktion f sei gegeben durch
>
> [mm]f(n)=\left\{\begin{matrix}
-2-4*x+5*x^2-x^3, & \mbox{für }1\le x\ge2\mbox{ } \\
-14+14*x-4*x^2+1/2*x^3, & \mbox{für }2\le x\ge3\mbox{ }
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Untersuchen Sie, ob f eine kubische Spline-Funktion
> darstellt.
> Bin mir nicht sicher, ob ich mit meiner Variante die
> Aufgabe schon gelöst habe.
> Ein kubischer Spline existiert doch dann, wenn beide
> Funktionen differenzierbar und stetig sind. Das heißt ich
> leite beide Funktionen einmal ab
> Also
> p(x)= [mm]-2-4*x+5*x^2-x^3[/mm]
> p'(x)= [mm]-4+10*x-3*x^2[/mm]
>
>
> Und
> [mm]g(x)=-14+14*x-4*x^2+1/2*x^3[/mm]
> g'(x)=14-8*x+ [mm]3/2*x^2[/mm]
>
>
> so nun lasse ich alle Funktionen und deren Ableitungen
> gegen den Wert 2 gehen
> D.h.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2}[/mm] g(x) & p(x) =2
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2}[/mm] g'(x) & p'(x) =4
>
> Damit hab ich doch bewiesen, dass die Funktion f(x) stetig
> und differenzierbar ist und somit keine Sprungstellen
> zwischen den Funktionen sind. Somit hier ein kubischer
> Spline vorliegt.
Für einen kubischen Spline muß doch noch gelten:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 2} g''(x) = \limes_{x\rightarrow\ 2} p''(x)[/mm]
>
> Ist das richtig? Oder liege ich mit meinem Beweis richtig.
> Bitte um Korrektur falls es falsch ist.
> Vielen Dank schon mal
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 30.06.2010 | | Autor: | tomtomgo |
Ah ok,
d.h.
ich leite ein weiteres Mal ab und lasse es gegen 2 gehen und stelle fest
p''(gegen 2)=-2 & g''(gegen 2)=4
daraus folgt: hier liegt keine kubische Spline Funktion vor.
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo tomtomgo,
> Ah ok,
> d.h.
> ich leite ein weiteres Mal ab und lasse es gegen 2 gehen
> und stelle fest
> p''(gegen 2)=-2 & g''(gegen 2)=4
Nach meinen Rechnungen kommt für g''(2) ein anderer Wert heraus.
>
> daraus folgt: hier liegt keine kubische Spline Funktion
> vor.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 30.06.2010 | | Autor: | tomtomgo |
oh sorry verrechnet.
Da kommt natürlich 2 raus und dann liegt eine kubische Spline Funktion vor.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mi 30.06.2010 | | Autor: | tomtomgo |
> oh sorry verrechnet.
> Da kommt natürlich 2 raus und dann liegt eine kubische
> Spline Funktion vor.
>
> Danke
Die Lösung ist g''(x)=-2
Sorry
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