Kubische Form mit Substitution < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 So 24.12.2006 | | Autor: | katinki |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende kubische Gleichung:
[mm] x^3 -6x^2 [/mm] +9x-54=0
a)Ueberfuehren sie die Gleichung in die reduzierte kubische Form
b)Pruefen sie, ob casus irreducibiles vorliegt
c)Geben sie alle drei loesungen der Gleichung an |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
So, meine Frage ist, mit was ich x substituieren muss so dass ich weiter rechnen kann! und dann ist die naechte frage, es heist doch wenn man richtig substituiert, dass dann der zweithoehste therm also [mm] x^2 [/mm] wegfaellt,tut es irgendwie net! Und dann muss man ja noch mit der cardanischen formel und einheitswurzeln rechnen!!! Also villeicht kann mir hier irgendwer helfen!!!!
Danke, kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
| Aufgabe | | Ist die Formel die du angewendet hast, die Cardanische Formel? |
Hallo, vielen Dank fuer deine Antwort, ich habe den Weg der Substitution auf jeden Fall verstanden! Ist das denn die Formel, nach der man immer vorgeht, und nennt die sich dann Cardano formel!?
Vielen Dank nochmal
LG Kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
| Aufgabe | | Ich muss in der Aufgabe die x Werte mit den Einheitswurzeln erreichnen, wie mache ich das, wenn ich im Ausdruck noch argtan und son kRam enthalten habe? |
ich muss ja um die x werte zu erhalten, mit einheitswurzeln rechnen. X1 errechnet man mit eulerdarstellung und der gleichen! Jetzt frage ich mich, bzw brauche ich umbedingt eine Antwort von euch, wie ich x2 errechne, wenn sich im x1 ausdruck noch ein i befindet. Ich habe es leider nicht hinbekommen....BRAUCHE DRINGEND HILFE, verzweifle hier noch!
Die Aufgabe dazu: [mm] x^3 [/mm] -15x -4=0
Waer toll wenn ihr mir helfen koenntent
Lg kati
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Hallo katinki!!
...und einen schönen 2. Weihnachtsfeiertag!!
Jetzt berühige dich doch erst mal, wir schaffen das sicher schon!!
O.K., dann geht´s nun los...
Es wäre ersteinmal sehr hilfreich, wenn du uns mal ganz eindeutig sagst, ob du die Formel von Cadano anwenden musst, bzw. ihre Anwendung übst oder ob es sich um eine Aufgabe handelt, in der dir diese Entscheidung freigestellt ist!
Da ich mit der Thematik dieser allgemeinen Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades noch nicht neher beschäfitigt habe, kann ich dir nur so viel sagen: Die von Loddar vorgeschlanganen Substitution das Polynom so verendert, dass du die Formel von Cardano anwenden kannst.
![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du die Herleitung der Formel voll ausformuliert erklärt nachlesen. Ich denke, dass könnte dort entsprechend helfen!
...zur Berechnung der Nullsetlle des Polynoms aber kann man einen einfacheren Weg gehen, als diese allgeime Lösungsformel zu verwenden:
Man sucht nach ganzzahligen Nullstellen des Term, zum Beispiel, indem man sich eine Wertetabelle anlegt. Dies kanst du digital auch hier tun.
In deinem ersten Beispiel erkennt man:[mm]x_0=6[/mm] ist alos ganzzahlige Nullstelle. Wenn du dies weist, so kannst, du wenn du dir diese Nullstelle "gemerkt" hast, den Term durch [mm](x-6)[/mm] dividieren.
Hier kannst du eine Polynomdivision mit Erläuterungen durchführen lassen!
Wenn du dies gemacht hast, so erhälst du das reduzierte Polynom:
[mm]x^2+9=0[/mm]
Durch einfaches Umformen siehst du:
[mm]x^2=-9[/mm]
...und dann ist im Berech der Reellen Zahlen sicher nicht lösbar, da eine Quadratzahl niemals negativ sein kann!
...zieht man jedoch imaglnäre Zahlen hinzu, so eregen sich logischerweise die beiden anderen Nullstellenn des Polynoms:
[mm]x_0=3i[/mm]
und
[mm]x_0=-3i[/mm]!
...und das diese Nullstellen imaginär sind, ist Anlass für die Bezeichung als "asus irreducibiles", was in Teilaufgabe "b)" gefodert war.
Damit kann man abschließend sagen:
Das Polynom hat die Nullstellen: [mm]N_1=6;N_2=3i;N_3=-3i[/mm], welche man jedoch am einfachsten und schnellsten nicht mit der allgemeine Lösungsformel für Gleichungen 3. Grades, der Carcano-Formel berechnen kann!
So, nun bist du dran!
Konntest du diese Gedankengänge nachvollziehen? Ja? Nein?
Wenn nicht, wo genau treten Probleme auf? Beschreine so detalliert und exakt wie möglich!
Anhang:
Das das Lösen solcher vermeindlich "einfachen" Gleichungen uns vor solche Probleme stellt kommt nicht von ungefär: Die Probleme die Gleichungen über 2. Grades aufwerfen werden so gewaltig, dass Gleichungen mit einem höhrere Grad als dem vierten nicht einmal mehr derartige allgemeine Lösungsverfahren geschweigedenn Lösungsformeln "haben". Diese sind, wenn überhaupt nur noch mit sehr vielen Tricks und nicht selten nur noch numerisch lösbar!
Mit schönen Grüßen zum zweiten Weihnachtsfeiertag
Goldener Schnitt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
So, halloechen!
Ich versuche es mal genau zu formulieren! Wir arbeiten definitiv mit Hilfe der Cardanischen Fomel, das heisst, wir muessen die Gleichung mit HIlfe dieser Form in die Kubische Form bringen! Dann muessen wir die x werte errechnen, ich bin mir allerdnigs nicht sicher, ob es nur auf dem Weg mit Formel geht oder auch so wie du gesagt hast! Ich meine, wir sollen es mit hilfe der formel machen, aber es waer nett, wenn du mir vielleciht nocheinmal den weg aufschreiben koenntest, so wie du es gerechnet hast! So kann ich in der klausur dann schneller kontrollieren, ob das errechnete ergebnis richtig ist!
Vielen liebe dank
kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
> [...] das heisst, wir muessen die Gleichung mit HIlfe dieser Form in die
> Kubische Form bringen!
Das haben wir mit der o.g. Substitution ja gemacht.
> Dann muessen wir die x werte errechnen, ich bin mir allerdnigs nicht
> sicher, ob es nur auf dem Weg mit Formel geht oder auch so wie du
> gesagt hast!
Aber das ist doch die Formel bzw. deren Anwendung.
Und für den (genaueren) Weg sieh mal weiter unten bei den Antworten von Josef.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 26.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
> Ist die Formel die du angewendet hast, die Cardanische Formel?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
ja genau, es war die Cardanische Formel, vielen Dank schon mal! Das mit der Substitution bekommn ich jetzt hin, und die Ueberpruefung des Casus irreducibilis auch! Nur die Angabe der loesungen von x1 x2 und x3 das kann ich nicht! Genau so wenig wie, ich muss mir einheitswurzeln rechnen, da gebraucht man u und v! Wo finde ich u und v? Sind das bestandteile der cardanischen FormeL?
Ich hoffe mir kann wer helfen ;)
Lg kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> ja genau, es war die Cardanische Formel, vielen Dank schon
> mal! Das mit der Substitution bekommn ich jetzt hin, und
> die Ueberpruefung des Casus irreducibilis auch!
Sollte die Diskriminante D negativ sein, D < 0, so liegt der "casus irreducibilis" vor. In diesem Falle erhält man 3 verschiedene reelle Lösungen auf goniometrischem Weg.
> Nur die
> Angabe der loesungen von x1 x2 und x3 das kann ich nicht!
> Genau so wenig wie, ich muss mir einheitswurzeln rechnen,
> da gebraucht man u und v! Wo finde ich u und v? Sind das
> bestandteile der cardanischen FormeL?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Josef
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Hallo katinki!!!
...und ein wirklich schönenes Weihnachtsfest und eine tolle Zeit und eventuell viele Geschenke !
So, jetzt mal zu dieser kubischen Gleichung, ich wollte unbeding noch eben, so denke ich, einen wesentlich wenigeraufwendigen Vorschlag anbringen:
Wenn du dir eine Wertetabelle erstelltst, so siehst du, dass [mm]x_{0_1}=6[/mm] ganzzahlige Nullstelle ist.
Wenn du das weist, kannst ja die  Polynomdivision anwenden indem du den Term durch [mm](x-6)[/mm] dividieren, dann erhälst du folgendes ein reduziertes Polynom:
[mm]x^2+9[/mm]
Dieses Polynom hat "verbirgt" dann die beiden anderen imagninären Nullstellen:
[mm]x_{0_2}=-3i[/mm]
und
[mm]x_{0_3}=3i[/mm]
...wodurch auch Teilaufgabe b) beantwortät wäre: Ja, liegt vor!
Numerisch wären diese Nullstellen zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren zu finden gewesen.
...ach überings: Ich habe das Polynom gerade mal bei Herrn Brünners Rechner eingeben, also nur mit dem Newton-Verfarhen nach Lösungen suchen lassen, der liefert auch nur:
[mm]x_{0_1}=6[/mm];[mm]x_{0_2}=2,9581707914689256*10^{-17}-3i[/mm];[mm]x_{0_3}=2,9581707914689256*10^{-17}+3i[/mm]
...und ist damit sicher ungenau!
Wichtig: Mein Lösungsvorschlag funktioniert unter Außschlus der hier angesprocheden Formeln und könnte desswegen nicht genau die gesuchte Antwort sein!
So, hoffe dieser Idee findet ein bisschen Gehör !
Mit schönen Weihnachtsgrüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
Halli hallo, auch dir frohe Weihnachten ;) Jetzt hast du mich allerdnigs sehr verwirrt! Ich muss sagen, dass mit der POlynomdivision haben wir auch gemacht, aber den REst....AEHM Nein! Ich glaube edas geht ein bissche zu weit....Aber trotzdem vielen Dank fuer deine Bemuehungen!!!
Schoene Festtage noch
LG kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 26.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> Gegeben sei die folgende kubische Gleichung:
> [mm]x^3 -6x^2[/mm] +9x-54=0
> a)Ueberfuehren sie die Gleichung in die reduzierte
> kubische Form
> b)Pruefen sie, ob casus irreducibiles vorliegt
> c)Geben sie alle drei loesungen der Gleichung an
>
> So, meine Frage ist, mit was ich x substituieren muss so
> dass ich weiter rechnen kann! und dann ist die naechte
> frage, es heist doch wenn man richtig substituiert, dass
> dann der zweithoehste therm also [mm]x^2[/mm] wegfaellt,tut es
> irgendwie net! Und dann muss man ja noch mit der
> cardanischen formel und einheitswurzeln rechnen!!! Also
> villeicht kann mir hier irgendwer helfen!!!!
>
Die kubische Gleichung hat bereits die Normalform. Es ist hierbei a = -2, und man erhält mit der Subtitution x = y+2 die reduzierte Form:
[mm] (y+2)^3 [/mm] - [mm] 6(y+2)^2 [/mm] + 9(y+2) - 54 = 0
[mm] y^3 [/mm] -3y - 52 = 0
Die Diskriminate D = [mm](\bruch{q}{2})^2 + (\bruch{p}{3})^3[/mm] ist für den weiteren Rechenweg von Bedeutung.
p = -3
q = -52
Ist nämlich D > 0, so erhält man eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen mit der Cardanischen Formel.
D = 675
[mm] y_1 [/mm] = u + v
wobei u = [mm]\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{D}}[/mm]
und v = [mm]\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}-\wurzel{D}][/mm]
ist.
u = 3,73204 und v = 0,267959
[mm] y_1 [/mm] = u+v
[mm] y_1 [/mm] = 4
Mit der Substitution x = y+2 lautet dann die 1. Lösung: x = 6
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
Hallo Josef,
Alles klar, den Weg habe ich verstanden! Ich habe es nachgerechnet und auch [mm] y^3 [/mm] -3y-52=0 raus. Ich habe ebenfals 675<0 raus, was besagt, dass kein casus irreducibilis vorliegt!
Jetzt hast du weiter gerechnen, ich glaube mit der cardanischen formel. Ich habe es auch versucht, nur habe ichirgendwann unter der wurzel 676 -1 stehen. Um die wurzel zu ziehen habe ich die -1 rausgezogen, um sie dann in i umzuwandeln, so so ergibt sich allerdnigs keine plausible zahl. Ausserdem ist alles sehr unuebersichtlich, da ich mit arctan arbeiten muss! Wenn es nicht allzu viel muehe macht, koenntest du mir evtl den weg , also die rechenschritte aufschreiben, wie du auf die endzahl 4 am ende gekommen bist!
Das waer wirklich nett!
LG kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 26.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> Alles klar, den Weg habe ich verstanden! Ich habe es
> nachgerechnet und auch [mm]y^3[/mm] -3y-52=0 raus. Ich habe ebenfals
> 675<0 raus, was besagt, dass kein casus irreducibilis
> vorliegt!
> Jetzt hast du weiter gerechnen, ich glaube mit der
> cardanischen formel.
Ich habe es auch versucht, nur habe
> ichirgendwann unter der wurzel 676 -1 stehen. Um die wurzel
> zu ziehen habe ich die -1 rausgezogen, um sie dann in i
> umzuwandeln, so so ergibt sich allerdnigs keine plausible
> zahl. Ausserdem ist alles sehr unuebersichtlich, da ich mit
> arctan arbeiten muss! Wenn es nicht allzu viel muehe macht,
> koenntest du mir evtl den weg , also die rechenschritte
> aufschreiben, wie du auf die endzahl 4 am ende gekommen
> bist!
u = [mm]\wurzel[3]{-\bruch{-52}{2}+\wurzel{675}[/mm]
u = 3,73204...
v = [mm]\wurzel[3]{-\bruch{-52}{2} -\wurzel{675}[/mm]
v = 0,267959...
u + v = 3,793204 + 0,267959
u + v = 3,99999....
u + v = 4
Viele Grüße
Josef
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 26.12.2006 | | Autor: | katinki |
WHOW, jetzt hats geklickt! Alles verstanden, thada ! Vielen dank erstmal!
Aber .... das ist ja jetzt x1 !
Desweiteren muessen x2 und x3 mit hilfe der einheitswurzeln errechnet werden. Ich glaube da muessen jetzt 2 imaginaere Loesungen rauskommen, oder eine imaginaere und eine komplexe?! Kannst du mir dabei evtl auch noch helfen ;)
Dankeschoen!!!!!!
Lg kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 26.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> Aber .... das ist ja jetzt x1 !
> Desweiteren muessen x2 und x3 mit hilfe der
> einheitswurzeln errechnet werden. Ich glaube da muessen
> jetzt 2 imaginaere Loesungen rauskommen, oder eine
> imaginaere und eine komplexe?
zwei konjugiert komplexe Lösungen.
[mm] x_2 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] = [mm]-\bruch{u + v}{2}+\bruch{u-v}{2}*i\wurzel{3}[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] y_3 [/mm] = [mm]- \bruch{u +v}{2} - \bruch{u - v}{2}*i\wurzel{3}[/mm]
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 27.12.2006 | | Autor: | katinki |
Hallo josef,
hmmm, also ich bin mir nicht sicher was da noch rauskommen muss, du schreibst 2 konjugiert komplexe, ist das nach einer Formel vorgegeben was fuer loesungen sich ergeben?
Du hast 2 formeln fuer x2 und x3 aufgeschrieben...sind die so vorgegeben? Ich schreibe dir mal auf, was ich habe, kannst ja ma schaun ob das richtig ist! Finde es namelich sehr schwer, damit zu rechnen. Den Re teil gekomme ich immer raus, aber den IM Teil nicht....
x2= (-1/2 + Wurzel3/2 *i )*u + (-1/2 - Wurzel3/2 *i )*v
x3= (-1/2 - Wurzel3/2 *i )*u + (-1/2 + Wurzel3/2 *i )*v
Ist das das gleiche wie deins?
Mein Problem hierbei ist, wenn ich Wurzel3/2 *i beispielsweise mal 3.Wurzel aus 52/2 - Wurzel aus 675 rechnen soll, da komme ich durcheinander, zw weiss nicht wie ich starten soll!
Liebe gruesse kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> hmmm, also ich bin mir nicht sicher was da noch rauskommen
> muss, du schreibst 2 konjugiert komplexe, ist das nach
> einer Formel vorgegeben was fuer loesungen sich ergeben?
Ja
> Du hast 2 formeln fuer x2 und x3 aufgeschrieben...sind die
> so vorgegeben? Ja
]
Ich schreibe dir mal auf, was ich habe,
> kannst ja ma schaun ob das richtig ist! Finde es namelich
> sehr schwer, damit zu rechnen. Den Re teil gekomme ich
> immer raus, aber den IM Teil nicht....
> x2= (-1/2 + Wurzel3/2 *i )*u + (-1/2 - Wurzel3/2 *i )*v
> x3= (-1/2 - Wurzel3/2 *i )*u + (-1/2 + Wurzel3/2 *i )*v
> Ist das das gleiche wie deins?
> Mein Problem hierbei ist, wenn ich Wurzel3/2 *i
> beispielsweise mal 3.Wurzel aus 52/2 - Wurzel aus 675
> rechnen soll, da komme ich durcheinander, zw weiss nicht
> wie ich starten soll!
wir haben bereits ermittelt für:
u = 3,73204...
v = 0,267959...
Diese Ergebnisse setzen wir in die Formel für [mm] y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] ein. Ich nehme mal die Formel [mm] y_2:
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] - \bruch{u + v}{2} + \bruch{u - v}{2}*i\wurzel{3}[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] - \bruch{3,73204 + 0,267959}{2} + \bruch{3,73204 - 0,267959}{2}*i\wurzel{3}[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = - 2 + 1,73204*[mm]\wurzel{3}[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = - 2 + 3i
Macht man die Subtitution rückgängig, so erhält man die Lösung:
[mm] x_2 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] = 3i
Entsprechen musst du jetzt noch mit der Formel für [mm] y_3 [/mm] rechnen.
Als Endergebnis bekommst du dann:
[mm] x_3 [/mm] = [mm] y_3 [/mm] = - 3i
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 27.12.2006 | | Autor: | katinki |
| Aufgabe | neue Aufgabe, die probleme bereitet:
[mm] x^3 [/mm] -15x-4 |
So, da du mir das vorher erklaeet hast, und ich es auch verstanden habe, war der anfang kein problem. D=-121, daher casus irreducibilis!
Jetzt folgt das problem:
x1= 3.wurzel aus 2+11i + 3.Wurzel aus 2-11i
Dann habe ich mit arctan gerechnet, um das i zu entfernen, und habe in der endform cos und sin verwendet. Leider hob sich das ergebnis dann auf! 59,.... - 59,... und i-i, sodass 0 rauskommt. Ich glaube da ist ein denkfehler..., vielleicht kann st du mich ja auch noch einmal hier helfen ;)
Dankeschoen
Gruss kati
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> neue Aufgabe, die probleme bereitet:
> [mm]x^3[/mm] -15x-4
> So, da du mir das vorher erklaeet hast, und ich es auch
> verstanden habe, war der anfang kein problem. D=-121, daher
> casus irreducibilis!
> Jetzt folgt das problem:
> x1= 3.wurzel aus 2+11i + 3.Wurzel aus 2-11i
> Dann habe ich mit arctan gerechnet, um das i zu entfernen,
> und habe in der endform cos und sin verwendet. Leider hob
> sich das ergebnis dann auf! 59,.... - 59,... und i-i,
> sodass 0 rauskommt. Ich glaube da ist ein denkfehler...,
> vielleicht kann st du mich ja auch noch einmal hier helfen
> ;)
Da die Diskriminate D negativ ist, D < 0, so liegt der casus irreducibilis vor. In diesem Falle erhält man 3 verschiedene reelle Lösungen auf goniometrischem Wege:
[mm] y_1 [/mm] = 2*[mm]\wurzel{\bruch{|p|}{3}}*cos\bruch{\phi}{3}[/mm]
mit cos[mm]\phi = - \bruch{q}{2}*\wurzel{(\bruch{3}{|p|})^3}[/mm]
[mm] cos\phi [/mm] = [mm]-\bruch{- 4}{2}\wurzel{(\bruch{3}{15})^3} = 0,17888 = \phi 79,695°[/mm]
[mm] y_1 [/mm] = [mm] 2*\wurzel{\bruch{15}{3}}* [/mm] cos [mm] (\bruch{79,7}{3})° [/mm] =
[mm] y_1 [/mm] = 3,999
[mm] y_1 [/mm] = 4
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 27.12.2006 | | Autor: | katinki |
hallo josef,
ujujuj das sind viele formeln auf einmal, allerdings konnte ich nicht erkennnen, ob sie mit der meinen identisch ist. Ist es nur anders geschrieben? Bei mir ist noch e enthalten . Eine beispielzeile der aufgabe ist 6.Wurzel von 125 * [mm] e^i*1/3arctan(11/2) [/mm] +.....
Ich weiss nicht, diese ausdruecke finde ich bei deiner rechnung nicht wieder, aber vielleicht habe ich auch irgendwas falsch gemacht
Ich bekomme bei x1= 3.Wurzel aus 2+11i + 3.Wurzel aus 2-11i raus. WIE MACHE ICH DANN WEITER? Ich glaube wenn ich DAS begriffen habe, habe ich keine Fragen mehr ;)
Gruss kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Do 28.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
> ujujuj das sind viele formeln auf einmal, allerdings
> konnte ich nicht erkennnen, ob sie mit der meinen identisch
> ist. Ist es nur anders geschrieben? Bei mir ist noch e
> enthalten . Eine beispielzeile der aufgabe ist 6.Wurzel von
> 125 * [mm]e^i*1/3arctan(11/2)[/mm] +.....
> Ich weiss nicht, diese ausdruecke finde ich bei deiner
> rechnung nicht wieder, aber vielleicht habe ich auch
> irgendwas falsch gemacht
> Ich bekomme bei x1= 3.Wurzel aus 2+11i + 3.Wurzel aus
> 2-11i raus. WIE MACHE ICH DANN WEITER?
Wie kommst du auf [mm]\wurzel[3]{2-11i}[/mm]?
Die Lösungen lauten:
[mm] x_1 [/mm] = 4
[mm] x_2 [/mm] = - 3,732...
[mm] x_3 [/mm] = - 0,2678...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 28.12.2006 | | Autor: | katinki |
Hallo,
also ich hatte einen ausdruck, wo ich um die wurzel sauber ziehen zu koennen eine -1 rausziehen musste, was sich dann zum i umgewandelt hat.
Aber brauchen wir nicht auch 2 loedungen, die imaginaerteile besitzen?
Gruss kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 28.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
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> also ich hatte einen ausdruck, wo ich um die wurzel sauber
> ziehen zu koennen eine -1 rausziehen musste, was sich dann
> zum i umgewandelt hat.
> Aber brauchen wir nicht auch 2 loedungen, die
> imaginaerteile besitzen?
Da die Diskriminaten D negativ ist, D < 0, liegt der casus irreducibilis vor. In diesem Falle erhält man 3 verschiedene reelle Lösungen auf goniometrischem Wege.
Bei kubische Gleichungen kann man eine Nullstelle durch Probieren finden. Wir haben bereits eine Nullstelle mit 4 ermittelt. Das Polynom ist deshalb durch (x-4) zu dividieren. Wir erhalten dann:
[mm] x^2 [/mm] + 4x + 1
Die Nullstellen hierbei sind:
[mm] x_1 [/mm] = - 0,26795
[mm] x_2 [/mm] = - 3,73205
Wir erhalten somit das gleiche Ergebnis, wie auf goniometrischem Wege.
Die Lösungen müssen daher stimmen.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Fr 29.12.2006 | | Autor: | katinki |
hallo
ok, nur nochmal zur wiederholung:
Wenn der casus irreducibilis vorliegt: 3 reelle Loesungen
Wenn kein casus irreducibilis vorliegt: 1 reelle und 2 konjugiert komplexe Loesungen
Ist das so richtig?
Liebe gruesse
kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Nicht ganz ...
Das Lösungsverhalten hängt nun entscheidend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:
D > 0: Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen (B).
D = 0: Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung (C) oder eine dreifache reelle Lösung (A).
D < 0: Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen (D). = casus irreducibilis
Quelle
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Fr 29.12.2006 | | Autor: | katinki |
OK, ich bins nochmal
Habe mir meine unterlagen gerade nochmal angeguckt, und zwar war die ausgangsaufgabe ja [mm] x^3-15x-4
[/mm]
Du hast nun aber mit [mm] x^2-4+1 [/mm] weitergerechnet weil du die eine nullstelle geraten hast und dann mit polynomdivision weitergerechnet hast!Kann man das so machen? Weil ich habe die gleichung mit [mm] x^3 [/mm] so gelassen, und dann war meine erste zeile:
x1= [mm] \wurzel[3]({2}+ \wurzel{-121}) [/mm] + [mm] \wurzel[3]({2}-\wurzel{-121})
[/mm]
Jetzt ergibt sich naemlich das problem mit der negativen Wurzel, daher habe ich [mm] \wurzel{-1} [/mm] rausgezogen, was sich dann spaeter in i umwandelt, so sind meine probleme entstanden.
Die frage ist jetzt, kann ich die gleichung dritten gerades einfach umwandeln in eine quadratische gleichung, die schwierigen Umformungen umgehen, darf ich das laut aufgabe, oder muss ich mich da reinbeissen und bis zum ende rechnen! Da bin ich jetzt nicht sicher?!?!
Oder meinst du es ist das selbe nur in gruen?
Gruss kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Kati,
> Habe mir meine unterlagen gerade nochmal angeguckt, und
> zwar war die ausgangsaufgabe ja [mm]x^3-15x-4[/mm]
> Du hast nun aber mit [mm]x^2-4+1[/mm] weitergerechnet weil du die
> eine nullstelle geraten hast und dann mit polynomdivision
> weitergerechnet hast!Kann man das so machen? Weil ich habe
> die gleichung mit [mm]x^3[/mm] so gelassen, und dann war meine erste
> zeile:
> x1= [mm]\wurzel[3]({2}+ \wurzel{-121})[/mm] +
> [mm]\wurzel[3]({2}-\wurzel{-121})[/mm]
> Jetzt ergibt sich naemlich das problem mit der negativen
> Wurzel, daher habe ich [mm]\wurzel{-1}[/mm] rausgezogen, was sich
> dann spaeter in i umwandelt, so sind meine probleme
> entstanden.
> Die frage ist jetzt, kann ich die gleichung dritten
> gerades einfach umwandeln in eine quadratische gleichung,
> die schwierigen Umformungen umgehen, darf ich das laut
> aufgabe, oder muss ich mich da reinbeissen und bis zum ende
> rechnen! Da bin ich jetzt nicht sicher?!?!
> Oder meinst du es ist das selbe nur in gruen?
>
Du verwechselst hier die Formeln. Die von dir angewandte Cardanische Formel ist für die Berechnung von u und v anzuwenden.
Bei casus irreducibilis ist jedoch keine Formel für u und v anzuwenden. Hier musst du mit der Kosinusfunktion arbeiten.
Siehe auch die ausführlichen Hinweise von Loddar.
Siehe auch: Leitfaden zur Lösung kubischer Gleichungen
Wenn du nicht diese Formel unbedingt anwenden musst, empfehle ich dir die einfachere Methode. Eine Nullstelle schätzen. Das absolute Glied unserer Ausgangsgleichung [mm] x^3-15x-4, [/mm] also 4 hat die Teiler: [mm]\pm1, \pm2, \pm4[/mm]
Durch Probieren und Einsetzen dieser einzelnen Teiler in die kubische Gleichung kommt man zu einer Nullstelle. In unserem Falle ist die Nullstelle = 4.
Hilfreich zur Findung einer Nullstelle ist auch dasHORNER-Schema.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 29.12.2006 | | Autor: | katinki |
ok, also , ich fasse zusammen, du kannst ja einen haken dran machen, wenn es stimmt
1. Pruefen ob casus irreducibilis mit Formel, die habe ich
2. So, dann muessen die x werte ausgerechnet werden.
KOmmt jetzt nicht die Cardanische Formel? Egal ob casus irreducibilis oder nicht, oder?
Das heisst doch ich brauche diese Formel zur errechnung!!!
Du hast geschrieben, dass ich sie zur u unv v Berechnung brache...oder verwechsel ich jetzt was? Aber sind u und v nicht bestandteile von x1 -> x1= u+v
und daher muss ich doch die cardano formel einsetzten.
Nur bei meiner frage oben entsteht jetzt das problem einer negativen Wurzel...
So genug geschrieben...ich hoffe ich habe jetzt nicht alle verwirrt und ihr denkt ich bin komplett neben der Spur! Aber vielleicht erkennt ihr ja meine gedankengaenge oder meine fehler , die sich darin befinden!
Vielleciht kann mir ja mal einer so ne art kochrezept aufschreiben. Also ich habe die aufgabe, dann pruefe ich nach casus irreducibilis mit der formel, dann das mit der formel.... so , das waer echt super!
So, jetzt aber genug!
Danke schon mal, gruss kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo katinki,
es scheinen wohl mehrere Formeln und Rechenwege für die Berechnung von kubischen Gleichungen zu geben. Ich gebe dir mal den Rechenweg und die Formeln an, die ich benutze. Sie werden auch in meinen verschiedenen Mathematikbüchern so angegeben, wie z.B. Duden-Mathemaik:
Die allgemeine Auflösung der normierten Form [mm] x^3+ax^2+bx+c [/mm] = 0 gelingt mit Hilfe der Subtitution x = y - [mm]\bruch{a}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. Man erhält dann die reduzierte Form y^3+py+q = 0 der kubischen Gleichung.
Die Diskriminate D = $ (\bruch{q}{2})^2 + (\bruch{p}{3})^3 $ ist für den weiteren Rechenweg von Bedeutung.
Ist nämlich D > 0, so erhält man eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen mit der Cardanischen Formel.
$ y_1 $ = u + v
$ y_2 $ = $ y_2 $ = $ -\bruch{u + v}{2}+\bruch{u-v}{2}\cdot{}i\wurzel{3} $
$ y_3 $ = $ y_3 $ = $ - \bruch{u +v}{2} - \bruch{u - v}{2}\cdot{}i\wurzel{3} $
wobei u = $ \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}+\wurzel{D}} $
und v = $ \wurzel[3]{-\bruch{q}{2}-\wurzel{D}] $
ist.
Ist die Diskriminate D negativ, D < 0, so liegt der casus irreducibilis vor. In diesem Falle erhält man 3 verschiedene reelle Lösungen auf goniometrischem Wege:
$ y_1 $ = 2*$ \wurzel{\bruch{|p|}{3}}\cdot{}cos\bruch{\phi}{3} $
mit cos$ \phi = - \bruch{q}{2}\cdot{}\wurzel{(\bruch{3}{|p|})^3} $
$ y_2 $ = -2*$\wurzel{\bruch{|p|}{3}}\cdot{}cos(\bruch{\phi}{3} $ -60°)
$ y_3 $ = -2*$ \wurzel{\bruch{|p|}{3}}\cdot{}cos(\bruch{\phi}{3} $ +60°)
--
Ist D = 0, so ergeben sich 3 reelle Lösungen (darunter eine Doppellösung):
y_1 = 2u
y_2 = - u
y_3 = - u
wobei dann natürlich u = v = [mm]\wurzel[3]{-\bruch{q}{2}[/mm] ist.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Sa 30.12.2006 | | Autor: | katinki |
Hallo Josef,
also schon mal vielen Dank, auch fuer den Hinweis zum Leitfaden der kubischen Gleichung. Ich habe da noch einmal alles durchgelesen und ich glaube auch jetzt endlich verstanden
Deine Antwort von eben mit der Auflistung der Rechenwege uebereunstimmt mit meiner Vorgehensweise, weicht nur in einem PUnkt ab! und zwar wenn der casus irreducibilis vorliegt haben wir noch nicht mit der von dir genannten formel gerechnet. Wir wandeln so lange um, bis ein i da steht, dann in eulerdarstellung und dann in trigonometrische darstellung! Sehr komplex, aber fnkt. Ich werde nacher mal versuchen deine Formel anzuwenden....mal sehen ob s klapp!
Also danke nochmal
Gruss kati
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:52 Sa 30.12.2006 | | Autor: | katinki |
Waer echt lieb wenn mir nochmal einer ne antwort geben koennte, habe ausversehen eine Mitteilung anstelle einer Frage gestellt
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Ich kann allerdings keine Fragestellung entdecken ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 30.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Do 04.01.2007 | | Autor: | katinki |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
irgendwie finde ich meine Frage nicht mehr wieder ;) Hmmm, naja, daher wollte ich mich jetzt einfach noch mal bedanken!
Ich hoffe falls nochmal fragen auftauschen sollten, dass ich mich an euch wenden kann!
Danke
Gruss kati
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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