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Kritische Punkte Minima Maxima: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:54 Fr 22.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
$ [mm] f(x,y)=(x^2+y^2) e^{-x} [/mm] $

a) Untersuche f auf lokale Extrema
b) Besitzt f ein lokales Minimum, ein globales Maximum


Hallo,
ich stell kurz die wichtigen Passagen der Aufgabe ein. Eigentlich geht's mir darum einen Weg zu finden, beim Ableiten keine Fehler zu machen. Vor allem, wenn bspw. $ [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] 2ye^{-x} [/mm] $ nach $ x $ bzw. $ y $ abgeleitet wird. Hier komm ich immer wieder mit der Konstanten durcheinander.

a) $ (grad f)(x,y)= 0 $

$ [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = [mm] 2xe^{-x} [/mm] + [mm] (x^2+y^2)(-e^{-x}) [/mm] = [mm] e^{-x}(2x-x^2-y^2) [/mm] $

$ [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] 2ye^{-x} [/mm] $

$ (grad f)(x,y) = 0 [mm] \Leftrightarrow \begin{cases} 0=e^{-x}(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2ye^{-x}, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases} [/mm] $

Da $ [mm] e^z \neq [/mm] 0 $,  folgt hieraus:



$ [mm] \begin{cases} 0=(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2y, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases} [/mm] $

Kritische Punkte in f sind: (0,0) und (2,0).


b)

Zum Bestimmen der Extrema Hesse-Matrix:

$ [mm] H_f(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ -e^{-x}(2x-x^2-y^2)+e^{-x}(2-2x) & -2ye^{-x} \\ -2ye^{-x} & 2e^{-x} } [/mm]  $

Somit:

$ [mm] H_f(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{\delta^2f}{\delta x^2} & \bruch{\delta^2f}{\delta y \delta x} \\ \bruch{\delta^2f}{\delta x \delta y} & \bruch{\delta^2 f}{\delta y^2} } [/mm]  $


$ [mm] H_f(0,0)= \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]  $

D positiv, 1. Hauptminor positiv, daraus folgt lok. Minimum.

Für (2,0) zeig ich jetzt nicht, weil's nach gleichem Vorgehen läuft.

Zu meinem Problem: Ich komme öfter beim Ableiten durcheinander, bspw. hab ich zu Beginn beim Ableiten von
$  [mm] 2ye^{-x} [/mm] $ nach $ x $ mit $ u'v + uv' $ gerechnet. Dabei ist $ 2y $ beim Ableiten nach $ x $ Konstante.

Eselsbrücke are very welcome.


        
Bezug
Kritische Punkte Minima Maxima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Fr 22.11.2019
Autor: fred97


> [mm]f(x,y)=(x^2+y^2) e^{-x}[/mm]
>  
> a) Untersuche f auf lokale Extrema
>  b) Besitzt f ein lokales Minimum, ein globales Maximum
>  
> Hallo,
>  ich stell kurz die wichtigen Passagen der Aufgabe ein.
> Eigentlich geht's mir darum einen Weg zu finden, beim
> Ableiten keine Fehler zu machen. Vor allem, wenn bspw.
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y} = 2ye^{-x}[/mm] nach [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm]
> abgeleitet wird. Hier komm ich immer wieder mit der
> Konstanten durcheinander.
>  
> a) [mm](grad f)(x,y)= 0[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x} = 2xe^{-x} + (x^2+y^2)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x-x^2-y^2)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y} = 2ye^{-x}[/mm]
>  
> [mm](grad f)(x,y) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 0=e^{-x}(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2ye^{-x}, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases}[/mm]
>  
> Da [mm]e^z \neq 0 [/mm],  folgt hieraus:
>  
>
>
> [mm]\begin{cases} 0=(2x-x^2-y^2), & \mbox{} \mbox{} \\ 0=2y, & \mbox{ } \mbox{} \end{cases}[/mm]
>  
> Kritische Punkte in f sind: (0,0) und (2,0).


Bis hier ist alles bestens. Nur das [mm] \delta [/mm] stört, das ist nicht die übliche Schreibweise. Schreibe statt [mm] \delta [/mm] das: [mm] \partial. [/mm]


>  
>
> b)
>  
> Zum Bestimmen der Extrema Hesse-Matrix:
>  
> [mm]H_f(x,y) = \pmat{ -e^{-x}(2x-x^2-y^2)+e^{-x}(2-2x) & -2ye^{-x} \\ -2ye^{-x} & 2e^{-x} } [/mm]
>  
> Somit:
>  
> [mm]H_f(x,y) = \pmat{ \bruch{\delta^2f}{\delta x^2} & \bruch{\delta^2f}{\delta y \delta x} \\ \bruch{\delta^2f}{\delta x \delta y} & \bruch{\delta^2 f}{\delta y^2} } [/mm]


Auch das stimmt. (Bis auf [mm] \delta) [/mm]

>  
>
> [mm]H_f(0,0)= \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]
>  
> D positiv, 1. Hauptminor positiv, daraus folgt lok.
> Minimum.

Das hättest Du einfacher haben können: es ist $f(x,y) [mm] \ge [/mm] 0$ für all $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und $f(0,0) =0.$ Damit hat f in (0,0) sogar ein globales Minimum !


>  
> Für (2,0) zeig ich jetzt nicht, weil's nach gleichem
> Vorgehen läuft.
>  
> Zu meinem Problem: Ich komme öfter beim Ableiten
> durcheinander, bspw. hab ich zu Beginn beim Ableiten von
>  [mm]2ye^{-x}[/mm] nach [mm]x[/mm] mit [mm]u'v + uv'[/mm] gerechnet. Dabei ist [mm]2y[/mm] beim
> Ableiten nach [mm]x[/mm] Konstante.

Ja, so ist es.

>  
> Eselsbrücke are very welcome.

Oh, yeah, lets talk denglish.  In order to differentiate  [mm]2ye^{-x}[/mm] with respect to x with the product rule, is like shooting with canons auf spatzen.

A donkey bridge: $ [mm] \frac{ \partial}{\partial x} 5e^{-x}=-5e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} 9e^{-x}=-9e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} ye^{-x}=-ye^{-x}, [/mm] .......$

Kommst Du now clear ?




>  


Bezug
                
Bezug
Kritische Punkte Minima Maxima: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Fr 22.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hi fred,

> Oh, yeah, lets talk denglish.  In order to differentiate  
> [mm]2ye^{-x}[/mm] with respect to x with the product rule, is like
> shooting with canons auf spatzen.
>  
> A donkey bridge: [mm]\frac{ \partial}{\partial x} 5e^{-x}=-5e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} 9e^{-x}=-9e^{-x}, \frac{ \partial}{\partial x} ye^{-x}=-ye^{-x}, .......[/mm]
>  
> Kommst Du now clear ?

Danke für den Lacher am Morgen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Kritische Punkte Minima Maxima: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Sa 23.11.2019
Autor: bondi

Oh jess, I am clear now.

I thank you very.

Bezug
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