Kritische Punkte - Hessmatrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Kreator |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
f(x,y) = [mm] x+y^2-\bruch{x}{y} [/mm]
Bestimmen Sie den kritischen Punkt der Funktion f, sowie die Hessmatrix in diesem Punkt. Geben sie die Eigenwerte dieser Matrix an. Von welcher Art ist der kritische Punkt. |
Kritischer Punkt: gradf = [mm] (1-\bruch{1}{y}, 2y+\bruch{x}{y^2})^T [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] Kritischer Punkt = [mm] (-2,1)^T
[/mm]
Hess-Matrix: [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 6 }
[/mm]
Eigenwerte: [mm] det\pmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & 6-\lambda } \to \lambda [/mm] = [mm] 3\pm\wurzel{10}
[/mm]
Soweit bin ich gekommen. Nun hab ich aber keine Ahnung, wie man anhand der Eigenwerte den kritischen Punkt charakterisieren kann; kann mir da jemand weiterhelfen? Sonst macht man dies doch Mit der Definitheit der Hauptminore (wobei ich bei dieser Technik auch nicht ganz durchblicke).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wir betrachten die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
> f(x,y) =
> [mm]x+y^2-\bruch{x}{y}[/mm]
> Bestimmen Sie den kritischen Punkt der Funktion f, sowie
> die Hessmatrix in diesem Punkt. Geben sie die Eigenwerte
> dieser Matrix an. Von welcher Art ist der kritische Punkt.
> Kritischer Punkt: gradf = [mm](1-\bruch{1}{y}, 2y+\bruch{x}{y^2})^T[/mm]
> = 0 [mm]\to[/mm] Kritischer Punkt = [mm](-2,1)^T[/mm]
>
> Hess-Matrix: [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 6 }[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]det\pmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & 6-\lambda } \to \lambda[/mm]
> = [mm]3\pm\wurzel{10}[/mm]
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> Soweit bin ich gekommen. Nun hab ich aber keine Ahnung, wie
> man anhand der Eigenwerte den kritischen Punkt
> charakterisieren kann; kann mir da jemand weiterhelfen?
Hallo,
zuerst die Eigenwerte:
1. alle Eigenwerte positiv: Minimum
2. alle Eigenwerte negativ: Maximum
3. alle Eigenwerte [mm] \not=0, [/mm] mindestens einer pos. und einer neg.: Sattelpunkt.
Ist ein Eigenwert 0 kann man es ohne weitere Untersucheungen nicht entscheiden.
> Sonst macht man dies doch Mit der Definitheit der
> Hauptminore (wobei ich bei dieser Technik auch nicht ganz
> durchblicke).
Ich erkläre sie für 2x2-Matrizen:
1.Det. der Hessematrix positiv und linkes oberes Element positiv: Minimum
2. Det. der Hessematrix positiv und linkes oberes Element negativ: Maximum
3. Det. der Hessematrix negativ: Sattelpunkt
Gruß v. Angela
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Kreator |
Ok, vielen Dank!
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