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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fl0nk |
| Aufgabe | Für Zwei Polytope [mm] P\subset\IR^{d} [/mm] und [mm] Q\subset\IR^{e} [/mm] definieren wir das Produkt P [mm] \times [/mm] Q := {(p,q) | p [mm] \in [/mm] P, q [mm] \in [/mm] Q} [mm] \subset \IR^{d+e}.
[/mm]
Es ist ein Polytop der Dimension dim(p)+dim(Q).
Beschreiben sie alles Seiten folgender zwei Beispiele bis auf kombinatorische Äquivalenz:
a) P [mm] \times [/mm] Q für P = conv((0,0), (1,0), (0,1)) [mm] \subset \IR^{2}, [/mm] Q = conv((0,1)) [mm] \subset \IR
[/mm]
b) P [mm] \times [/mm] P für P wie in a) |
Ich bin etwas verwirrt, was das kartesische Produkt von P und Q angeht.
Stehen in der resultierenden Menge dann Elemente wie z.B. ((0,0), (0,1)) oder ((0,1), (0,1))?
In der Vorlesung wurde das noch nicht besprochen und dementsprechend auch keine Beispiele gemacht, daher bin ich da wie gesagt etwas verwirrt.
Und falls Elemente wie oben beschrieben herauskommen sollten, kann ich diese dann als Kanten zwischen den jeweiligen beiden Punkten betrachten?
Falls ja müsste doch bei P [mm] \times [/mm] Q ein "Dreieck" herauskommen, bei dem die Kante zwischen (0,0) und (0,1) fehlt.
Und bei P [mm] \times [/mm] P das Dreieck mit den Eckpunkten, die den Punkten aus P entsprechen.
Natürlich kann das auch eine vollkommene Fehlvorstellung meinerseits sein, da ich, wie gesagt, nicht sicher bin, wie ich das Kreuzprodukt der Polytope interpretieren soll.
Über Hilfe eurerseits würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
P ist die konvexe Hülle der Punkte (0,0), (1,0), (0,1) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Das ist ein abgeschlossenes Dreieck.
Q ist die konvexe Hülle des Intervalls I=(0,1). Da I konvex ist, ist Q=I.
Was ist dann [mm] P\times [/mm] Q ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fl0nk |
Also das P ein Dreieck ist, war soweit klar.
Wenn Q also ein Intervall ist, dass dann quasi [0,1] entspricht (wenn ich dich richtig verstanden habe), dann wäre P [mm] \times [/mm] Q ja wieder das Dreieck, dass durch P gegeben ist, nur dass die Kante zwischen (0,0) und (0,1) quasi "doppelt" wäre.
Oder hab ich da einen Denkfehler drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 31.10.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Also das P ein Dreieck ist, war soweit klar.
> Wenn Q also ein Intervall ist, dass dann quasi [0,1]
> entspricht (wenn ich dich richtig verstanden habe), dann
> wäre P [mm]\times[/mm] Q ja wieder das Dreieck, dass durch P
> gegeben ist, nur dass die Kante zwischen (0,0) und (0,1)
> quasi "doppelt" wäre.
Nein. Ein Element aus P [mm] $\times$ [/mm] Q ist z.B. ((0,0), 0) oder ein anderes ((0,25;0,6);0,8).
> Oder hab ich da einen Denkfehler drin?
Nach den Angaben in der Aufgabe ist P [mm] $\times$ [/mm] Q [mm] $\subset \IR^3$.
[/mm]
Als Beispiel für ein kartesische Produkt kannst du [mm] $\IR \times \IR [/mm] = [mm] \IR^2$
[/mm]
nehmen.
Gruß
meili
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