Kreuzprodukt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Fr 20.08.2004 | | Autor: | geloso |
Was bedeutet dx ^ dy?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Fr 20.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wieso benennst du deine Frage mit "Kreuzprodukt" und schreibst dann
dx ^ dy?
Meinst du vielleicht
$dx [mm] \wedge [/mm] dy$?
(Aber auch das hätte mit dem "Kreuzprodukt" nichts zu tun. Edit: Blödsinn, fällt mir gerade ein, man kann das äußere Produkt von 1-Formen ja als verallgemeinertes Kreuzprodukt auffassen, entschuldige bitte. Damit ist klar, dass du das äußere Produkt meinst. Mal sehen, ob ich es noch schaffe dir zu helfen. Ansonsten wird das jemand anderes tun. )
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mo 23.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi geloso
das ist eine frage, bei der man sehr weit aushohlen müsste, wenn man sie vollständig beantworten will.
ich probiere mich mal so kurz wie möglich zu fassen:
sei $V$ ein $n$-dimensionaler [mm] $\mathbb{R}$-vektorraum [/mm] und [mm] $\mathcal{L}_k(V, \mathbb{R})$ [/mm] der raum der $k$-linearen abbildungen von $V$ in seinen grundkörper, also [m]\mathcal{L}_k(V, \mathbb{R}) := \{F: V^k \longrightarrow \mathbb{R}: F \text{ ist linear in jedem eintrag} \} [/m]. ein besipiel einer solchen abbildung: $V = [mm] \mathbb{R}^n$, [/mm] dann ist das kannonische skalarprodukt $F: [mm] \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}; \; F(\xi, \eta) [/mm] := [mm] \left< \xi , \eta \right> \;, \xi, \eta \in \mathbb{R}^n$ [/mm] eine $2$-lineare abbildung, also $F [mm] \in \mathcal{L}_2(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$. [/mm] die menge der $1$-linearen abbildungen ist genau der dualraum des vektorraums $V$, also projektionen auf koodrinaten und linearkombinationen davon, also z.b. für $V = [mm] \mathbb{R}^2, \; \xi [/mm] = [mm] (\xi_1, \xi_2)^T \in [/mm] V$, ist [m] G(\xi) = \xi_1 + 2 \xi_2 [/m] eine $1$-lineare abbildung.
nun lässt sich als teilraum von [mm] $\mathcal{L}_k(V, \mathbb{R})$ [/mm] der raum der alternierenden $k$-linearen abbildungen [m] \Omega_k(V, \mathbb{R}) := \{\omega \in \mathcal{L}_k(V, \mathbb{R}): \omega(x_1, \hdots, x_i, \hdots, x_j, \hdots, x_k) = - \omega(x_1, \hdots, x_j, \hdots, x_i, \hdots, x_k) \} [/m] auf $V$ definieren. also sind in [m] \Omega_k(V, \mathbb{R}) [/m] die linearen abbildungen enthalten, die beim vertauschen zweier verschiedener argumente genau ihr vorzeichen ändern. für $k = 1$ enspricht dieser raum wieder dem dualraum, da die bedingung "alternierend" leer ist, da es nur ein argument gibt. für $k = n$ ist bis auf multiplikation mit elementen aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] die einzige abbildung die in [m] \Omega_k(V, \mathbb{R}) [/m] enthalten ist, die determinanten abbildung. für $k > n$ enthält [m] \Omega_k(V, \mathbb{R}) [/m] nur die nullabbildung.
nun lässt sich als verknüpfung das von stefan angesprochen äußere produkt (oder auch wedge-produkt, dach-produkt) [m] \wedge: \Omega_k(V, \mathbb{R}) \times \Omega_l(V, \mathbb{R}) \longrightarrow \Omega_{k+l} (V, \mathbb{R}) [/m] definieren, indem man für [m] F \in \Omega_k(V, \mathbb{R}), G \in \Omega_l(V, \mathbb{R}) [/m] [m] (F \wedge G)(x_1, \hdots, x_k, x_{k+1}, \hdots x_{k+l} ) := \dfrac{1}{k!l!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} \text{sign}(\sigma) F(x_{\sigma(1)}, \hdots x_{\sigma(k)}) \cdot G(x_{\sigma(k+1)}, \hdots x_{\sigma(k+l)}) [/m] setzt, wobei [mm] $x_j \in [/mm] V$ und [mm] $S_{k+l}$ [/mm] die menge aller permutationen über $k+l$ elemente ist.
betrachtet man nun ganz konkret deine frage, so sind [mm] $\text{d}x$ [/mm] und [mm] $\text{d}y$ [/mm] wohl $1$-formen auf dem vekorraum [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] die auf die $x$- bzw. die $y$-koordinate projezieren. ich nehme einfach man an, dass $n [mm] \leq [/mm] 3$ und $x, [mm] \, [/mm] y, [mm] \, [/mm] z$ die kartesischen koordinaten sind, dann gilt für [mm] $\xi [/mm] = [mm] (\xi_x, \xi_y, \xi_z)^T \in \mathbb{R}^3$:
[/mm]
[m] \text{d}x(\xi) = \xi_x [/m]
[m] \text{d}y(\xi) = \xi_y [/m]
wenn man nun die oben angegbene regel für die verknüpfung [mm] $\wedge$ [/mm] anwendet gilt - da es nur die identische abbildung und die vertauschung in [mm] $S_{1+1} [/mm] = [mm] S_2$ [/mm] gibt:
[m] \begin{array}{rcl} (\text{d}x \wedge \text{d}y) (\xi^1, \xi^2) & = & \dfrac{1}{1!1!} \sum\limits_{\sigma \in S_2} \text{sign}(\sigma) \cdot \text{d}x(\xi^{\sigma(1)}) \cdot \text{d}y (\xi^{\sigma(2)}) \\ & = & 1 \left( 1 \cdot \text{d}x(\xi^1) \cdot \text{d}y(\xi^2) + (-1) \cdot \text{d}x(\xi^2) \cdot \text{d}y(\xi^1) \right) \\ &= & \xi^1_x \xi^2_y - \xi^2_x \xi^1_y \end{array} [/m]
wobei [m] \xi^1 = (\xi^1_x, \xi^1_y, \xi^1_z)^T, \xi^2 = (\xi^2_x, \xi^2_y, \xi^2_z)^T \in V = \mathbb{R}^3 [/m].
wäre [m] n = 2[/m], dann wäre für [m] \xi^1 = (\xi^1_x, \xi^1_y)^T, \xi^2 = (\xi^2_x, \xi^2_y)^T \in \mathbb{R}^2 [/m]
[m] (\text{d}x \wedge \text{d}y) (\xi^1, \xi^2) = \xi^1_x \xi^2_y - \xi^2_x \xi^1_y = \det( \xi^1, \xi^2) = \det \left( \begin{array}{cc} \xi^1_x & \xi^2_x \\ \xi^1_y & \xi^2_y \end{array} \right) [/m] wie oben angesprochen genau die determinanten abbildung, da [m] n = k = 2[/m].
das ist jetzt leider doch wieder eine index schlacht geworden - ich hoffe es ist nicht ganz so verwirrend und es hilft dir trotzdem etwas weiter, da ich leider nicht weiß, was für grundlagen du hast. wenn dir irgendetwas unklar sein sollte melde dich bitte einfach nochmal.
grüße andreas
|
|
|
|
