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Kreiszahl Pi: Wiederholungen in Pi
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Mo 13.09.2021
Autor: Spica

Aufgabe
Da die Zahlenreihe insgesamt unendlich ist, muss es unendlich viele mögliche Abfolgen geben, die sich auch unendliche Male wiederholen.



Aber wie lange darf so eine Abfolge sein, damit wieder eine neue oder sogar die gleiche beginnen kann? Eigentlich könnte eine einzelne Teilabfolge unendlich lange sein, aber dann ist schwer vorstellbar, dass überhaupt wieder eine neue beginnen kann. Schon alleine z.B. die 1 könnte unendliche Male plötzlich vorkommen. Wie soll dann jemals wieder eine andere Zahl auftauchen?
Kann man dieses Paradoxon (zumindest für mich) auch mit den unterschiedlichen Mächtigkeiten unendlicher Mengen erklären?
VG Spica

        
Bezug
Kreiszahl Pi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mo 13.09.2021
Autor: HJKweseleit

Wann wiederholt sich diese Abfolge:

0,101001000100001000001000000100000001000000001000000000100000000001...?

(Immer eine 0 mehr zwischen den 1-en)

Es Wiederholen sich zwar die 0-en und 1-en, aber das ganze wird nicht periodisch!



Bezug
                
Bezug
Kreiszahl Pi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Mo 13.09.2021
Autor: Spica

Den Hinweis auf die Periodizität verstehe ich, danke. Aber damit sehe ich meine Frage nocht nicht beantwortet. Anders gefragt: Gibt es in Pi unendlich lange, aber verschiedene Abfolgen von Zahlenkombinationen, die sich alternierend, ohne eine bestimmte Reihenfolge einzuhalten, wiederholen? Wenn dem nicht so ist, dann müsste es für die Größe einer Abfolge von Zahlenkombinationen eine maximale Obergrenze geben, an der sie endet, damit wieder eine andere Abfolge starten kann, damit sich alle möglichen Abfolgen wiederholen können. Im Grunde sind beide Fälle nicht vorstellbar.

Bezug
                        
Bezug
Kreiszahl Pi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mo 13.09.2021
Autor: HJKweseleit


> Den Hinweis auf die Periodizität verstehe ich, danke. Aber
> damit sehe ich meine Frage nocht nicht beantwortet. Anders
> gefragt: Gibt es in Pi unendlich lange, aber verschiedene
> Abfolgen von Zahlenkombinationen, die sich alternierend,
> ohne eine bestimmte Reihenfolge einzuhalten, wiederholen?
> Wenn dem nicht so ist, dann müsste es für die Größe
> einer Abfolge von Zahlenkombinationen eine maximale
> Obergrenze geben, an der sie endet, damit wieder eine
> andere Abfolge starten kann, damit sich alle möglichen
> Abfolgen wiederholen können. Im Grunde sind beide Fälle
> nicht vorstellbar.  


Ich weiß nicht, ob ich deine Frage richtig verstanden habe und ob meine nächste Antwort passt.

Wie pi genau aussieht, weiß ich nicht, es sind ja unendlich viele Stellen.
Ich gehe daher auf deine Passage

> Wenn dem nicht so ist, dann müsste es für die Größe
> einer Abfolge von Zahlenkombinationen eine maximale
> Obergrenze geben, an der sie endet, damit wieder eine
> andere Abfolge starten kann, damit sich alle möglichen
> Abfolgen wiederholen können. Im Grunde sind beide Fälle
> nicht vorstellbar.  

ein.

Bleiben wir bei einem einfachen Beispiel mit zwei Abfolgen, die wir dann miteinander mischen:

1. Abfolge wieder 1, 10, 100, 1000, 10000,...   keine maximale Obergrenze
2. Abfolge jetzt  2, 20, 200, 2000, 20000,...   keine maximale Obergrenze

Jetzt mischt du beliebig beide Abfolgen zur Zahl

0,1 2 20 200 10 2000 100 1000 10000 20000 ...



Nun zur Zahl pi:

Nein, es muss nicht jede Zahlenkombination in pi (unendlich oft) vorkommen. Entscheidend ist nur, dass pi nicht periodisch wird und - da pi transzendent ist - noch weitere Eigenschaften hat. Die Zahl [mm] \wurzel{2} [/mm] wird auch nicht periodisch, hat aber nicht die zusätzliche Eigenschaft der Transzendenz.

Beispiel: Wir betrachten immer 3 Ziffernblöcke in der Zahl pi. Sie stellen eine dreistellige natürliche Zahl von 000 bis 999 dar. Das sind 1000 verschiedene Möglichkeiten. Spätestens beim Betrachten von 1001 solcher Blöcke muss mindestens einer mindestens doppelt vorkommen, er wiederholt sich also. Es ist aber nicht gesagt, dass alle möglichen Dreierblöcke überhaupt mal vorkommen müssen. Theoretisch wäre es also möglich, dass der Block 123 nie in der Zahl pi vorkommt.

So ist z.B. die Zahl 0,110001000000000000000001000000000...
mit lauter Nullen bis auf die Positionen
1 =1
1*2=2
1*2*3=6
1*2*3*4=24
1*2*3*4*5=120
1*2*3*4*5*6=720
... usw.

mit einer 1 ebenfalls eine transzendente Zahl (die erste, die man entdeckt hat), also von gleichem Kaliber wie pi, enthält aber nirgendwo die Kombination 123.

Theoretisch könnte die Zahl pi damit auch so aussehen, dass sie nur aus zwei Dreierblöcken zusammengesetzt wird:

333 und 666:

0, 333 333 666 666 666 333 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 333 ...usw., überall Block 666 außer beim 1., 2., 6., 24., 120., ...usw. (Positionen wie oben)... Block, da dann Block 333.

Auch das wäre eine transzendente Zahl.

Schau mal, ob die Beispiele und Erklärungen deine Frage beantworten.

Bezug
                                
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Kreiszahl Pi: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Mo 13.09.2021
Autor: Spica

Vielen Dank wieder für deine ausführlichen Erklärungen. Es ist für mich nun schon klarer geworden.
Ich nehme also mit:
Man kann ganz unabhängig von PI allgemein sagen, dass sich Abfolgen von Zahlen, die auch unendlich groß sein können, wieder zu einer neuen Zahl kombinieren lassen. Das ist erst mal nicht so recht vorstellbar, aber mathematisch korrekt.
Dass in PI, obwohl sie unendlich ist, nicht alle denkbaren Abfolgen vorkommen müssen, ist mir nun auch klar geworden. Da hatte ich eine falsche Vorstellung, die du dankeswerterweise korrigiert hast. Wenn man nun manchmal liest, dass sicher an irgend einer Stelle von PI z.B. ein ganzes dickes Buch kodiert sein müsse, dann ist das zwar möglich und denkbar, aber nicht zwingend wirklich so. Habe ich das so richtig verstanden?
Noch mal danke und beste Grüße  

Bezug
                                        
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Kreiszahl Pi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Di 14.09.2021
Autor: HJKweseleit

Genau so ist es. Deshalb hat man auch die Zahl pi auf Beonderheiten hin untersucht, z.B. darauf, ob bestimmte Ziffernfolgen sehr oft oder gar nicht (wie in meinen Beispielen) vorkommen, aber nur festgestellt, dass man da (bisher) auf keine ungewöhnlichen Erscheinungen gestoßen ist. Pi ist "dezimal" ein buntgewürfeltes Zahlenmonster.

Aber: Im Roman "Enigma" kommt eine Passage vor, die mich sehr beeindruckt hat. Dort fragt sich der Mathematiker, was ihn an der Mathematik so fasziniert, und gibt sich sinngemäß folgende Antwort:

Die Zahl Pi wird durch eine völlig unregelmäßige Ziffernfolge beschrieben. Gottfried Wilhelm Leibniz hat uns aber gezeigt: [mm] \pi [/mm] = 4/1 - 4/3  + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 ...

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Kreiszahl Pi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Di 14.09.2021
Autor: Spica

Ja, da kann man darüber philosophieren.
Mich hat am meisten ein Spruch meines ehemaligen Mathelehrers fasziniert: Mathematik ist organisierte Faulheit.

Mein kleines Dilemma besteht darin, dass mein Mathetalent meiner Neugier für das Fach hinterherhinkt.:-))



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