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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Geraden L [mm]\subset[/mm] [mm]\IR^2[/mm] die den Kreis K=[mm] \left\{ (x,y) \in\IR^2,x^2+y^2=1 \right\}[/mm] in genau einem Punkt schneiden. |
Ich soll also alle möglichen Tangenten bestimmen. Habe bis jetzt die Gleichung für meine Gerade y=mx+b und der Geraden y=-[mm]\bruch{1} {m}[/mm]*x ,denn diese Gerade steht senkrecht auf der ersten und geht durch den Nullpunkt, gleichgesetzt und nach x aufgelöst.
x= m+b+ [mm]\bruch{1} {m}[/mm]
Dann habe ich den Abstand dieses Schnittpunktes zum Ursprung berechnet.
Abst.=[mm]\wurzel m^2+b^2+ \bruch {1} {m} ^2 [/mm] (Wurzel soll über alle Variablen gehen)
diesen Abstand setze ich gleich eins und muss nun nach m oder b auflösen. Und da liegt mein Problem. Kann mir jemand dabei helfen?
Bzw habe ich das bis dahin überhaupt richtig gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Fr 17.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das soll vermutlich viel allgemeiner geschehen.
Geraden sind ja allgemein der Form y=mx+n.
Und dieses schneide mal (in der Form) mit dem Kreis.
Also setze sie mal für y in den Kreis ein.
[mm] x^{2}+y^{2}=1
[/mm]
Jetzt einsetzen:
[mm] x²+(mx+n)^{2}=1
[/mm]
[mm] \gdw x²+m²x²+mnx+n^{2}=1
[/mm]
[mm] \gdw (1+m²)x^{2}+(mn)x+(n²-1)=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{mn}{1+m²}x+\bruch{n²-1}{1+m²}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=-\bruch{mn}{2+2m²}\pm\wurzel{\bruch{m²n²}{(2+2m²)²}-\bruch{n²-1}{1+m²}}
[/mm]
Und jetzt soll es nur einen Schnittpunkt geben, also [mm] x_{1}=x_{2}, [/mm] und das geht nur, wenn der Wurzelterm =0 ist, also
[mm] \bruch{m²n²}{(2+2m²)²}-\bruch{n²-1}{1+m²}=0
[/mm]
Löse diesen Term mal nach einer Variablen auf, dann hast du eine Bedingung, die für m und n der Geraden gelten muss.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Fr 17.04.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hallo.
>
> Das soll vermutlich viel allgemeiner geschehen.
>
> Geraden sind ja allgemein der Form y=mx+n.
>
> Und dieses schneide mal (in der Form) mit dem Kreis.
>
> Also setze sie mal für y in den Kreis ein.
>
> [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm]
> Jetzt einsetzen:
> [mm]x²+(mx+n)^{2}=1[/mm]
> [mm]\gdw x²+m²x²+mnx+n^{2}=1[/mm]
> [mm]\gdw (1+m²)x^{2}+(mn)x+(n²-1)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw x²+\bruch{mn}{1+m²}x+\bruch{n²-1}{1+m²}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_{1;2}=-\bruch{mn}{2+2m²}\pm\wurzel{\bruch{m²n²}{(2+2m²)²}-\bruch{n²-1}{1+m²}}[/mm]
>
> Und jetzt soll es nur einen Schnittpunkt geben, also
> [mm]x_{1}=x_{2},[/mm] und das geht nur, wenn der Wurzelterm =0 ist,
> also
>
> [mm]\bruch{m²n²}{(2+2m²)²}-\bruch{n²-1}{1+m²}=0[/mm]
>
> Löse diesen Term mal nach einer Variablen auf, dann hast du
> eine Bedingung, die für m und n der Geraden gelten muss.
>
> Marius
da hast du beim ausquadrieren die 2 vergessen, drum schaut´s auch so häßlich aus 
das ergebnis ist viel hübscher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Ich habe die Gleichung [mm]\bruch{m^2n^2} {(2+2m^2)^2} -\bruch{n^2-1} {1+m^2} [/mm] nach n auf gelöst und bekomme folgendes raus:
n=[mm]\wurzel \bruch{4+8m^2+4m^4} {7m^2+3m^4+4}[/mm]
ist das richtig?
und wenn ja was tu ich jetzt damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sieht sehr falsch aus.
Aber du solltest immer selber nachrechnen, auch bei uns macht jeder mal Rechenfehler.
die formel, die du einfach uebernommen hast war falsch.
richtig ware:
$ [mm] \bruch{m^2n^2} {(1+m^2)^2} -\bruch{n^2-1} {1+m^2} [/mm] $
bring das erst auf den Hauptnenner. dann nur den Zahler 0 setzen. (ein Bruch ist 0 wenn der Zaehler 0 ist.)
Das Ergebnis ist einfach. wenn du dann n hast, setz es in die Gleichung y=mx+n ein und due bist fertig. m bleibt stehen, wenn m alle Werte einnimmt kriegst du alle Tangenten.
(ich halte mein Verfahren siehe anderer post fuer einfacher, aber das ist Geschmacksache)
Auch dein Vorgehen war genauso allgemein und richtig, du hattest nur Rechenfehler.
Bitte pruef die verbesserte Rechnung nach! und schreib nicht einfach ab.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:22 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe weduwes Mitteilung
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo wurzel
> Bestimmen Sie alle Geraden L [mm]\subset[/mm] [mm]\IR^2[/mm] die den Kreis K=[mm] \left\{ (x,y) \in\IR^2,x^2+y^2=1 \right\}[/mm]
> in genau einem Punkt schneiden.
> Ich soll also alle möglichen Tangenten bestimmen. Habe bis
> jetzt die Gleichung für meine Gerade y=mx+b und der Geraden
> y=-[mm]\bruch{1} {m}[/mm]*x ,denn diese Gerade steht senkrecht auf
> der ersten und geht durch den Nullpunkt, gleichgesetzt und
> nach x aufgelöst.
>
> x= m+b+ [mm]\bruch{1} {m}[/mm]
das Ergebnis hab ich nicht!
rechne nach, oder sag, wie du da drauf kommst.
>
> Dann habe ich den Abstand dieses Schnittpunktes zum
> Ursprung berechnet.
Was ist dein zugehoeriges y?
> Abst.=[mm]\wurzel{ m^2+b^2+ \bruch {1} {m} ^2}[/mm] (Wurzel soll über
> alle Variablen gehen)
dazu geschweifte Klammer um den ausdruck hinter der wurzel!
Aber auch das kann ich nicht nachvollziehen? es sieht aus als haettest du x falsch quadriert?
> diesen Abstand setze ich gleich eins und muss nun nach m
> oder b auflösen. Und da liegt mein Problem. Kann mir jemand
> dabei helfen?
Falls du auf so ne gleichung stoesst einfach beide seiten quadrieren.
Du kannst wohl so rangehen. wenn du richtig rechnest.
Vielleicht ist es einfacher mit einem Punkt (x1,y1) auf dem Kreis anzufangen. daraus Steigung des Radius, daraus Steigung der Tangente, und dann hast du Punkt und Steigung.
Dein Ergebnis haengt dann noch von x1 und y1 ab, aber du kannst ja [mm] x1^2=1-y1^2 [/mm] einsetzen,
dann hast du alle Tangenten, wenn y1 von -1 bis +1 laeuft.
Aber versuch ruhig deinen weg. man sollte Ideen zu ende fuehren.
Rechne sorgfaeltiger.
gruss leduart
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