Kreise im Koordinatensystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f mit dem
Funktionsterm
f(x)= [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 8x und dem nebenstehenden Graphen.
a) Berechnen Sie die Nullstellen
und die Extremstellen.
b) Berechnen Sie den Wendepunkt
und die Gleichung der Wendetangente.
c) Zeigen Sie, dass die Normale durch den Wendepunkt die Gleichung
y=1/4 x - 1/2
hat und skizzieren Sie Tangente und Normale in die obige Darstellung.
d) Berechnen Sie die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt und
der die Wendetangente als Tangente hat. |
Brauch nochmal eure Hilfe. Die Aufgaben a) - c) sind eigentlich kein Problem nur d) bekomme ich nicht heraus. Da die Abbildung auch keine Einheiten hat, könnte ich sie höchstens selbst zeichnerisch lösen.
Die Lösung zu der Aufgabe befindet sich hier http://www.bezreg-arnsberg.nrw.de/dieBezirksregierung/aufbau/abteilungen/abteilung4/dezernat43/download/mathe_2002_pdf.pdf
EIgentlich versteh ich nur eins nicht:Warum ist der Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse der Mittelpunkt des Kreises?
Vielen Dank schonmal 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 28.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Gibt es nicht unendlich viele Kreise für d)? Wenn man den Mittelpunkt einfach höher setzt auf der y-Achse muss man doch nur den Radius größer machen und schon hat man einen anderen Kreis, der die Vorraussetzung erfüllt... oder liege ich da falsch?
EDIT: Das mit der Normalen ist einfach zu erklären: Wenn du eine Tangente an deinen Kreis zeichnest und von der Tangente die Normale zeichnest (an der Berüherstelle mit dem Kreisbogen), dann geht die Normale immer durch den Mittelpunkt des Kreises.
Aber wenn man sich den Mittelpunkt bei M(0|20) setzt würde der Kreis mit einem Radius von ca. r=8,4LE die Aufgabe auch erfüllen... Schlecht gestellt :D ich würde mich beschweren!
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Hallo Laura,
ich schließe mich Teufel an: so ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar.
In der beigefügten Lösung heißt es aber:
> Der Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse P1(0/-0,5) ist der
> Mittelpunkt des Kreises.
> Der Wendepunkt P2(0/2) ist ein Punkt des Kreises.
Das heißt, in der Musterlösung wird plötzlich vorausgesetzt, dass der Kreis die Tangente genau im Wendepunkt der Funktion berühren soll.
(Man kann nur hoffen, dass die Klausur nicht wirklich so gestellt worden ist...)
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo zerbi :)
Aber mich würde mal interessieren, was passieren würde, wenn man wirklich so eine Aufgabe gestellt bekommen würde in einer Klausur. Wenn da wirklich steht der Kreis und nicht ein Kreis. Könnte man damit argumentieren, dass es unendlich viele Lösungen gibt? Oder müsste man sich dann einen Fall herauspicken (der mit dem Schnittpunkt von Normalen und y-Achse war ja in dem Fall der einfachste)?
Würde man, wenn man sagt, dass es nicht den Kreis gibt volle Punkte bekommen? Oder garkeine oder etwas dazwischen? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 29.05.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Teuflische Frage...
> Aber mich würde mal interessieren, was passieren würde,
> wenn man wirklich so eine Aufgabe gestellt bekommen würde
> in einer Klausur. Wenn da wirklich steht der Kreis und
> nicht ein Kreis. Könnte man damit argumentieren, dass es
> unendlich viele Lösungen gibt?
Das wäre ja eigentlich richtig...
> Oder müsste man sich dann
> einen Fall herauspicken (der mit dem Schnittpunkt von
> Normalen und y-Achse war ja in dem Fall der einfachste)?
Zumindest wäre es nicht verkehrt, zumindest diesen Fall explizit anzugeben, da er ja irgendwie naheliegend ist.
> Würde man, wenn man sagt, dass es nicht den Kreis gibt
> volle Punkte bekommen? Oder garkeine oder etwas dazwischen?
> :)
Tja, das ist nun mal das Problem von zentral gestellten Klausuren - schließlich werden sie ja nicht wirklich zentral korrigiert. Jedenfalls ist es denkbar, dass unterschiedliche Korrektoren unterschiedlich entscheiden, obwohl das in diesem Fall (meiner Meinung nach) recht eindeutig ist. Andererseits kann man keinem Schüler einen Strick daraus drehen, der wirklich nur einen Kreis angibt. Denn schließlich war die Aufgabenstellung entsprechend formuliert...
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, ich danke dir :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Di 30.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Teufel,
> Hallo zerbi :)
>
> Aber mich würde mal interessieren, was passieren würde,
> wenn man wirklich so eine Aufgabe gestellt bekommen würde
> in einer Klausur. Wenn da wirklich steht der Kreis und
> nicht ein Kreis. Könnte man damit argumentieren, dass es
> unendlich viele Lösungen gibt? Oder müsste man sich dann
> einen Fall herauspicken (der mit dem Schnittpunkt von
> Normalen und y-Achse war ja in dem Fall der einfachste)?
> Würde man, wenn man sagt, dass es nicht den Kreis gibt
> volle Punkte bekommen? Oder garkeine oder etwas dazwischen?
Das Eleganteste wäre aus meiner Sicht, wenn du eine allgemeine Lösung angibst. Das heißt du nimmst einen beliebigen Punkt der Wendetangente, bestimmst die Normale und deren Schnittpunkt mit der y-Achse. Dann hast du den Mittelpunkt des Kreises in Abhängigkeit von der x-Koordinate des gewählten Punktes. Der Radius wird dann mit dem Satz des Pythagoras bestimmt.
Ansonsten gebe ich aber Zerbietta recht. Außerdem gibt es eine Regel: Fehler des Aufgabenstellers dürfen Schülern nicht angelastet werden.
Gruß
Sigrid
> :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Di 30.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, danke :) Man muss ja seine Rechte kennen, damit man dann später nicht veräppelt wird...
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