Kostenfunktion < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Sven92 |
| Aufgabe | Eine Firma für Gartengeräte stellt Rasenmäher her. Die Gesamtkosten der Rasenmäherproduktion errechnen sich durch die Funktion:
[mm] K(x)=x^3-9x^2+40x+25
[/mm]
wobei die Gesamtkosten in Geldeinheiten (1GE=1000€) angegeben werden und x die Menge der produzierten Rasenmäher in Mengeneinheiten (1ME=100Stück)angibt.
Ein Rasenmäher wird für 160€ verkauft.
1.)Berechnen Sie die Produktionsmenge in Stück, bei der die geringsten Stückkosten anfallen.
2.)Berechnen sie den maximalen Gewinn
3.)Berechnen sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze. |
Das ist eine Aufgabe aus unserer Abschlussprüfung der Fachoberschule gewesen. Nachdem ich mich jetzt mit meinen Klassenkameraden kurzgeschlossen hab, bin ich anscheinend der einzige, von den wenigen die die Aufgabe überhaupt gelöst haben, der beim Gewinn nicht auf einen "grünen Zweig" gekommen ist. Meines Erachtens nach ist es für diesen Betrieb unmöglich einen Gewinn zu erzielen.
Hat vielleicht jemand eine Lösung mit der man einen Gewinn rausbekommt, der im positiven Bereich liegt?
Für den ersten Teil hab ich 500Stk ausgerechnet.
Für den "maximalen Gewinn"(geringster Verlust) hab ich -41GE raus.
Und bevor Fragen bezüglich der Einheiten kommen:
Ja, eine GE sind wirklich 1000€
und Ja, eine ME sind wirklich 100 Stk.
und Ja, ein Rasenmäher kostet wirklich 160€
Somit müsste für die Erlösfunktion E(x)=16x rauskommen.(Oder irre ich mich da?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Fr 19.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine Firma für Gartengeräte stellt Rasenmäher her. Die
> Gesamtkosten der Rasenmäherproduktion errechnen sich durch
> die Funktion:
> [mm]K(x)=x^3-9x^2+40x+25[/mm]
> wobei die Gesamtkosten in Geldeinheiten (1GE=1000€)
> angegeben werden und x die Menge der produzierten
> Rasenmäher in Mengeneinheiten (1ME=100Stück)angibt.
> Ein Rasenmäher wird für 160€ verkauft.
>
> 1.)Berechnen Sie die Produktionsmenge in Stück, bei der
> die geringsten Stückkosten anfallen.
>
> 2.)Berechnen sie den maximalen Gewinn
> 3.)Berechnen sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze.
> Das ist eine Aufgabe aus unserer Abschlussprüfung der
> Fachoberschule gewesen. Nachdem ich mich jetzt mit meinen
> Klassenkameraden kurzgeschlossen hab, bin ich anscheinend
> der einzige, von den wenigen die die Aufgabe überhaupt
> gelöst haben, der beim Gewinn nicht auf einen "grünen
> Zweig" gekommen ist. Meines Erachtens nach ist es für
> diesen Betrieb unmöglich einen Gewinn zu erzielen.
Was mich stutzig macht, ist das -25 am Ende der Kostenfunktion. Wenn x=0 Stücke produziert werden, bekommt die Firma also 25GE.
> Hat vielleicht jemand eine Lösung mit der man einen
> Gewinn rausbekommt, der im positiven Bereich liegt?
>
> Für den ersten Teil hab ich 500Stk ausgerechnet.
Die Kostenfunktion, die du oben angegeben hast, hat die einzige Nullstelle bei [mm] x\approx0,737, [/mm] also musst du ca 73 Rasennäher verkaufen
Mit +25 am Ende, also der Gleichung [mm] 0=x^3-9x^2+40x+25 [/mm] kommst du auf [mm] x\approx-0,552
[/mm]
> Für den "maximalen Gewinn"(geringster Verlust) hab ich
> -41GE raus.
>
> Und bevor Fragen bezüglich der Einheiten kommen:
> Ja, eine GE sind wirklich 1000€
> und Ja, eine ME sind wirklich 100 Stk.
> und Ja, ein Rasenmäher kostet wirklich 160€
>
> Somit müsste für die Erlösfunktion E(x)=16x
> rauskommen.(Oder irre ich mich da?)
Wenn 1 Rasenmäher 160€ Erlös liefert, verkauft die Firma eine Mengenheit, also 100 Stück für 1600€, also in der Tat für 16 Geldeinheiten á 1000€
Damit bekommst du für die Gewinnfunktion:
[mm] G(x)=E(x)=K(x)=16x-(x^3-9x^2+40x-25)=-x^3+25x^2-40x+25
[/mm]
G(x) hat die einzige Nullstelle bei [mm] x_0\approx23,332 [/mm] und Extremstellen bei [mm] x_{e_{1}}=\frac{25+\sqrt{505}}{3}\approx15,824 [/mm] und [mm] x_{e_{2}}=\frac{25-\sqrt{505}}{3}\approx0,843
[/mm]
Mit [mm] G(x)=16x-(x^3-9x^2+40x+25)=-x^3+25x^2-40x-25 [/mm] ändert sich die Lage der Extremstellen aber nicht
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Onkel-Di |
Hallo Marius,
ich sehe hier zumindest einen Fehler in deiner Annahme. zum zweiten Aufgabenteil
Gewinn = Erlös - Kosten
Du hast geschrieben Gewinnfunktion= Erlösfunktion =Kostenfunktion ... Ist sicherlich nur ein Schreibfehler gewesen, den du nachher auf korrigiert hast.
Hab an Deiner Stelle dann dort angesetzt und habe aber als Nullstellen [mm] x_{1}=55 [/mm] und [mm] x_{2}=53 [/mm] raus....
Also wären das diejenigen Mengen, bei denen der Gewinn maximal wird.
55 Mengeneinheiten * 100Stück pro ME * 160€ pro Rasenmäher = 880.000€
53 ME * 100 Stück* 160€ = 848.000€
MfG
Onkel-Di
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Fr 19.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
>
> ich sehe hier zumindest einen Fehler in deiner Annahme. zum
> zweiten Aufgabenteil
>
> Gewinn = Erlös - Kosten
>
> Du hast geschrieben Gewinnfunktion= Erlösfunktion
> =Kostenfunktion ... Ist sicherlich nur ein Schreibfehler
> gewesen, den du nachher auf korrigiert hast.
Stimmt, sorry
>
> Hab an Deiner Stelle dann dort angesetzt und habe aber als
> Nullstellen [mm]x_{1}=55[/mm] und [mm]x_{2}=53[/mm] raus....
>
> Also wären das diejenigen Mengen, bei denen der Gewinn
> maximal wird.
Nein, bei einer der beiden Stellen hast du minimalen Gewinn, eine Funktion dritten Grades hat - sofern sie überhaupt Extrempunkte hat - genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Prüfe also mit der hinreichenden Bedingung für Extrempunkte, welcher der beiden x-Koordinaten zu einem Hochpunkt und welcher zum Tiefpunkt führt.
>
> 55 Mengeneinheiten * 100Stück pro ME * 160€ pro
> Rasenmäher = 880.000€
>
> 53 ME * 100 Stück* 160€ = 848.000€
Die Rechung sieht dann soweit gut aus.
>
>
> MfG
>
> Onkel-Di
>
>
Marius
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Sven92 |
-Am Ende der Kostenfunktion steht auch nicht "-25" sonder "+25" also macht der Betrieb bei einer Produktionsmenge von x=0 25GE Verlust.
und deine Gewinnfunktion ist meiner Ansicht nach falsch... Du subtrahierst [mm] -9x^2 [/mm] von 16x müsstest aber eigentlich 40x von 16x subtrahieren also müsste die Gewinnfunktion doch wie folgt Aussehen?:
[mm] G(x)=E(x)-K(x)=16x-(x^3-9x+40x+25)=-x^3+9x-26x-25
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Fr 19.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> -Am Ende der Kostenfunktion steht auch nicht "-25" sonder
> "+25" also macht der Betrieb bei einer Produktionsmenge von
> x=0 25GE Verlust.
>
> und deine Gewinnfunktion ist meiner Ansicht nach falsch...
> Du subtrahierst [mm]-9x^2[/mm] von 16x müsstest aber eigentlich 40x
> von 16x subtrahieren also müsste die Gewinnfunktion doch
> wie folgt Aussehen?:
> [mm]G(x)=E(x)-K(x)=16x-(x^3-9x+40x+25)=-x^3+9x-26x-25[/mm]
Ja, sorry, da habe ich bei den Potenzen in der Tat nicht aufgepasst.
Marius
|
|
|
| |
|
Die GewinnFunktion von dir muss lauten: 16x - [mm] (-3x^{2}+9x^{2}-24x-25)
[/mm]
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Sven92 |
| Aufgabe | [mm] K(x)=x^3-9x^2+40x+25
[/mm]
E(x)=16x
[mm] G(x)=E(x)-K(x)=16x-(x^3-9x^2+40x+25)
[/mm]
[mm] G(x)=-x^3+9x^2-26x-25
[/mm]
Dann muss man G'(x) Nullsetzen um die Extremwerte von G(x) herauszubekommen.
[mm] G'(x)=-3x^2+18x-24
[/mm]
[mm] 0=-3x^2+18x-24
[/mm]
[mm] x_1=4
[/mm]
[mm] x_2=2
[/mm]
G''(x)=-6x+18
G''(4)=-6 ->HP
G''(2)=6 ->TP
Jetzt setzt man den x-Wert des Hochpunktes in die Gewinnfunktion ein und erhält den maximalen Gewinn
[mm] G(4)=-(4^3)+9*4^2-24*4-25
[/mm]
G(4)=-41 |
Ich habe ehrlich gesagt keinen schimmer, wie du auf die Gewinnfunktion kommst aber ich habe oben mal meinen kompletten Lösungsweg aufgeschreiben.
|
|
|
| |
|
Hallo,
na, dann will ich mal auch noch eine Gewinnfunktion auf den Markt werfen:
wie wär's mit
[mm] G(x)=16x-(x^3-9x^2+40x+25 )=-x^3+9x^2-24x-25 [/mm] ?
@sven92
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich stimme mit Dir überein:
ein lokales Maximum hat diese Funktion an der Stelle (4|-41).
Da ist es ja besser, überhaupt nichts zu produzieren, man hat in diesem Falle nur 25GE Verlust.
Ich denke, daß dem Lehrer ein Tippfehler unterlaufen ist: es sollte eine ME bestimmt 1000Stück sein, die Erlösfunktion also E(x)=160x.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Sven92 |
Danke Angela,
Das war auch mein Verdacht, entweder die ME sollten 1000Stk sein oder die GE nur 100€
Allerdings war das ganze eine Prüfungsklausur, bin mal gespannt wie das gewertet wird :P
|
|
|
| |
|
> Danke Angela,
>
> Das war auch mein Verdacht, entweder die ME sollten 1000Stk
> sein oder die GE nur 100€
>
> Allerdings war das ganze eine Prüfungsklausur, bin mal
> gespannt wie das gewertet wird :P
Hallo,
da darf man wirklich gespannt sein.
Deine Ergebnisse jedenfalls sind richtig, auch die 500Stück.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Sven92 |
Also mal zur Auflösung des Problems:
Ich habe mich gerade mit meiner Parallelklasse unterhalten, die von ihrer Lehrerin netterweise darauf hingewiesen wurden, dass in der Aufgabenstellung ein Fehler ist, denn 1ME hätte 1000 Stk. sein sollen und nicht 100 Stk.
|
|
|
|
