Kosten, Erlös, Gewinnfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Do 24.08.2006 | | Autor: | Michi77 |
| Aufgabe | Aufgabe 2:
In der Abteilung Kosten- und Leistungsrechnung eines Betriebes werden folgende Gesamtkosten ermittelt: 16.000 bei einer Produktionsmenge von 2.000 Stück, 24.000 bei 4.000 Stück, 56.000 bei 6.000 Stück. Die fixen Kosten betragen 8.000 der Stückerlös 8 Der Gesamtkostenverlauf ist durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmt.
a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Gesamtkosten K und der Umsatzerlöse E!
(1 ME = 1.000 Stück, 1 GE = 1.000 )
ME 0 2 4 6
GE 8 16 24 56
b) Zeichnen Sie in ein gemeinsames Achsenkreuz den Graphen von x = K(x) und von x = E(x)! (1 ME = 1 cm; 10 GE = 1 cm)
c) Bestimmen Sie rechnerisch die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze!
d) Wie lautet die Funktionsgleichung für die variablen Stückkosten? Bringen Sie die quadratische Funktionsgleichung auf ihre Scheitelpunktform und bestimmen Sie das Minimum der variablen Stückkosten!
e) Berechnen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion!
f) Zeichnen Sie in das Achsenkreuz von b) den Graphen der Gewinnfunktion und den Graphen der Funktion der variablen Stückkosten! Lesen Sie aus dem Schaubild das Nutzenmaximum ab!
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.study-board.de
Hallo alle zusammen,
ich hätt mal eine Frage, ich bin gerade am Rechnen einer Aufgabe und bekomm andere Lösungen, als in der Musterlösung raus, könnt ihr mir evtl weiterhelfen, das hier wären die Lösungen laut Lehrerin:
a) K(x) = [mm] 0,5x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 8x + 8
E(x) = 8x
c) NS (2 / 16) NG (5,5 / 43,7)
d) kv(x) = [mm] 0,5x^2 [/mm] - 3x + 8
y = 0,5 (x - [mm] 3)^2 [/mm] + 3,5
S (3 / 3,5)
e) G(x) = [mm] -0,5x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] 8
f) Gmax = (4 / 8 )
Also auf a) und e) bin ich noch ohne Probleme gekommen, bei c) krieg ich nur bei NS das gleiche raus und bei f) bin ich ausgestiegen.
Ich hänge meine Lösungen, so wie ich es gerechnet mal in den Anhang, vielleicht könnt ihr es euch durchschauen und mir sagen, was ich falsch rechne. Wär euch sehr, sehr dankbar dafür.
Hier meine Lösungen zu den Aufgaben:
a)
K(x) = y = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
K(2) 16 = 8a + 4b + 2c + 8
8 = 8a + 4b + 2c
K(4) 24 = 64a + 16b + 4c + 8
16 = 64a + 16b + 4c
K(6) 56 = 216a + 36b + 6c + 8
48 = 216a + 36b + 6c
Gaußsche System:
a b c
I 8 4 2 8 : 4
II 64 16 4 16 : 8
III 216 36 6 48 : 12
IV 2 1 0,5 2 V - IV
V 8 2 0,5 2 VI - V
VI 18 3 0,5 4
VII 6 1 0 0 VIII - VII
VIII 10 1 0 2
IX 4 0 0 2
einsetzen:
IX 4a = 2
a = 0,5
VII 6a + b = 0
3*1 + b = 0
b = -3
IV 2a + b + 0,5 c = 2
1 3 + 0,5c = 2
0,5c = 4
c = 8
K(x) = [mm] 0,5x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 8x + 8 E(x) = 8x
b)
das Bild kann ich leider nicht einfügen!
c)
G(x) = E(x) K(x)
G(x) = 8x [mm] (0,5x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 8x + 8)
G(x) = [mm] -0,5x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] 8
0 = [mm] -0,5x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] 8
x = 2 x 2
Polynomdivision:
[mm] (-0,5x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] 8) : (x 2) = [mm] -0,5x^2 [/mm] + 2x 4
- [mm] (-0,5x^3 [/mm] + [mm] 1x^2)
[/mm]
[mm] 2x^2
[/mm]
- [mm] (2x^2 [/mm] 4x)
- 4x 8
-(- 4x 8)
0 = [mm] -0,5x^2 [/mm] + 2x 4 / : (-0,5)
0 = [mm] x^2 [/mm] - 4x + 8
x2/3 = 4/2 ± [mm] \wurzel{(4/2) 2 8}
[/mm]
x2/3 = 2 ± [mm] \wurzel{- 4} [/mm]
x2/3 = 2 ± [mm] \wurzel{4} [/mm]
x1 = 2
x2 = 4
x3 = Ø
x-Werte in K(x) einsetzen:
NS (2 / 16) NG (4 / 24)
d)
Gesamtkosten:
K(x) = [mm] 0,5x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 8x + 8
Variable Kosten Fixkosten
variable Gesamtkosten: KV(x) = [mm] 0,5x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 8x
das ganze : x
variable Stückkosten: kv(x) = 0,5x2 - 3x + 8
kv´(x) = x 3
x = 3
kv(x) = 0,5x2 - 3x + 8
kv(3) = 3,5
somit ist S (3 / 3,5)
e)
G(x) = E(x) K(x)
G(x) = 8x [mm] (0,5x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 8x + 8)
G(x) = [mm] -0,5x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] 8
f)
?? hier komm ich nicht drauf.
Ich hoff ihr könnt mit meinen Rechnungen etwas anfangen.
Vielen herzlichen Dank schonmal, fürs durchlesen!
Schöne Grüße Michi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Do 24.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
> a)
> K(x) = y = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
Korrekt
>
> K(2) 16 = 8a + 4b + 2c + 8
> 8 = 8a + 4b + 2c
>
> K(4) 24 = 64a + 16b + 4c + 8
> 16 = 64a + 16b + 4c
>
> K(6) 56 = 216a + 36b + 6c + 8
> 48 = 216a + 36b + 6c
Korrekt
> Gaußsche System:
> a b c
> I 8 4 2 8 : 4
> II 64 16 4 16 : 8
> III 216 36 6 48 : 12
>
> IV 2 1 0,5 2 V - IV
> V 8 2 0,5 2 VI - V
> VI 18 3 0,5 4
>
> VII 6 1 0 0 VIII - VII
> VIII 10 1 0 2
>
> IX 4 0 0 2
>
> einsetzen:
> IX 4a = 2
> a = 0,5
>
> VII 6a + b = 0
> 3*1 + b = 0
> b = -3
>
> IV 2a + b + 0,5 c = 2
> 1 3 + 0,5c = 2
> 0,5c = 4
> c = 8
>
> K(x) = [mm]0,5x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 8x + 8 E(x) = 8x
Perfekt.
>
>
> b)
> das Bild kann ich leider nicht einfügen!
>
> c)
> G(x) = E(x) K(x)
> G(x) = 8x [mm](0,5x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 8x + 8)
> G(x) = [mm]-0,5x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] 8
Passt
>
> 0 = [mm]-0,5x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] 8
> x = 2 x 2
>
> Polynomdivision:
>
> [mm](-0,5x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] 8) : (x 2) = [mm]-0,5x^2[/mm] + 2x 4
> - [mm](-0,5x^3[/mm] + [mm]1x^2)[/mm]
> [mm]2x^2[/mm]
> - [mm](2x^2[/mm] 4x)
> - 4x 8
> -(- 4x 8)
>
Ist okay
> 0 = [mm]-0,5x^2[/mm] + 2x 4 / : (-0,5)
> 0 = [mm]x^2[/mm] - 4x + 8
>
> x2/3 = 4/2 ± [mm]\wurzel{(4/2) 2 8}[/mm]
> x2/3 = 2 ± [mm]\wurzel{- 4}[/mm]
> x2/3 = 2 ± [mm]\wurzel{4}[/mm]
>
Also entweder, ich blicke durch deine Notation nicht durch, oder du hast dich verrechnet. Nutz den Formeleditor, dann wirds einfacher
[mm] x_{0_{2,3}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{2} \pm \wurzel{(\bruch{4}{2})² - 8}
[/mm]
= 2 [mm] \pm \underbrace{\wurzel{-4}}_{nicht def.}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] x_{0_{1}} [/mm] = 2 (siehe oben)
[mm] x_{0_{2}} [/mm] und [mm] x_{0_{3}} [/mm] existieren nicht
> x1 = 2
> x2 = 4
> x3 = Ø
Siehe oben
> x-Werte in K(x) einsetzen:
>
> NS (2 / 16) NG (4 / 24)
>
> d)
> Gesamtkosten:
>
> K(x) = [mm]0,5x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 8x + 8
>
> Variable Kosten Fixkosten
>
> variable Gesamtkosten: KV(x) = [mm]0,5x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 8x
>
> das ganze : x
>
> variable Stückkosten: kv(x) = 0,5x2 - 3x + 8
>
> kv´(x) = x 3
>
> x = 3
>
> kv(x) = 0,5x2 - 3x + 8
> kv(3) = 3,5
>
> somit ist S (3 / 3,5)
>
Passt
>
> e)
> G(x) = E(x) K(x)
> G(x) = 8x [mm](0,5x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 8x + 8)
> G(x) = [mm]-0,5x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] 8
Ist auch okay
>
>
> f)
> ?? hier komm ich nicht drauf.
>
Ich würde sagen, dass Nutzenmaximum ist das Gewinnmaximum.
Also der hochpunkt der Gewinnfunktion. Wie du den bestimmst, weisst du ja
> Ich hoff ihr könnt mit meinen Rechnungen etwas anfangen.
>
Ja, aber der Formeleditor machts übersichtlicher.
> Vielen herzlichen Dank schonmal, fürs durchlesen!
>
> Schöne Grüße Michi
>
Gruss
Marius
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