Kosinus und Geometrische Reihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition des Cosinus und mit Hilfe der geometrischen
Reihe
[mm] 1+2\summe_{k=1}^{\infty}r^{k}cos(k\Theta) =\bruch{1-r^2}{1-2rcos\Theta+r^2} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] r < 1, [mm] \Theta \in \IR
[/mm]
b) Skizzieren Sie die hierdurch definierte Funktion [mm] P(r;\Theta ) [/mm] für die Werte r = 0,2; 0,4; 0,6
als Funktion von [mm] \Theta \in [-\pi;\pi].
[/mm]
Edit: ich hoffe das Symbol [mm] \emptyset [/mm] ist korrekt. In der Aufgabe ist es ein runder Kreis mit einem schrägen Strich durch " |
Edit (schachuzipus): Das ist ein Theta [mm] ($\Theta)$, [/mm] geschrieben \Theta
Hallo,
da ich in diesem Forum neu bin, möchte ich mich bevor ich euch mit meinen Fragen belaste kurz vorstellen. Ich bin 22 Jahre alt und habe zum Wintersemester mein Physikstudium begonnen. Davor habe ich 2 Jahre BWL im Ausland studiert habe mich aber dann auf das wesentlich konkretere Physikstudium umentschieden. Momentan fällt mir das erste Semester sehr schwer. Mathe ist schwerer als ich mir vorgestellt habe und viel Zeit geht dafür verloren bestimmte Grundkenntnisse nachzuholen. Ich bin mir nicht sicher wie viele Prüfungen ich im ersten Semester schaffe. Ich möchte aber auf jeden Fall weiterstudieren da mich bis jetzt nichts so begeistert hat wie Physik. Vielleicht sind ja hier auch ein paar Studenten die mir aus Erfahrung sagen können ob es schlimm ist im ersten Semester nicht gleich alles zu bestehen. Ich hoffe das ich mit eurer Hilfe mich in Mathe verbessern kann und vielleicht in ein paar Jahren auch anderen in meiner Situation helfen kann.
Nun zu meiner Aufgabe. Ich möchte bitte nicht das Ihr die komplette Aufgabe für mich löst sondern mir eher Tipps gebt wie ich die Aufgabe lösen kann. Danke!
Ich habe angefangen mir die beiden Definitionen herauszusuchen.
Die Definition des Kosinus:
[mm] cos(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1^{k})\bruch{x^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
Die geometrische Reihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^k
[/mm]
Ich muss diese beiden definitionen benutzen um das statement in der Aufgabe zu zeigen. Ich weiß aber nicht wie ich anfangen soll.
Vielen Dank!
Gruß
Sebah
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
Ich habe die Aufgabenstellung korrigiert. Irgendwie hat was mit der Formatierung nicht funktioniert. Ich hoffe jetzt ist es verständlicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
setze [mm] q:=r*e^{i \Theta}
[/mm]
Dann ist [mm] q^k=r^k*e^{i k \Theta}=r^k(cos(k \Theta)+i*sin(k \Theta))
[/mm]
FRED
Edit Marcel: Habe Thata zu Theta geändert. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Tipp:
>
> setze [mm]q:=r*e^{i \Theta}[/mm]
>
> Dann ist [mm]q^k=r^k*e^{i k \Theta}=r^k(cos(k \Theta)+i*sin(k \Theta))[/mm]
>
> FRED
>
> Edit Marcel: Habe Thata zu Theta geändert.
Hallo Marcel,
tatarata, ich bedanke mich
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
Danke für die Antwort. Ich werde es gleich mal probieren.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:21 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
So ich habe jetzt mal versucht die Aufgabe wie Marcel vorgeschlagen hat anzugehen und [mm] \left(1+2\sum_{k=1}^\infty r^k \cos(k\Theta)\right)\cdot{}(1-2r\cos(\Theta)+r^2)= 1-r^2 [/mm] $ auszurechnen und dann deinen Tipp anzuwenden
Hier bin ich angekommen
$ [mm] rcos(\theta)-\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)+4r cos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)=r^2 [/mm] $
Jetzt weiß ich aber nicht mehr wirklich weiter. Wie hilft mir jetz
"Dann ist $ [mm] q^k=r^k\cdot{}e^{i k \Theta}=r^k(cos(k \Theta)+i\cdot{}sin(k \Theta)) [/mm] $" weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So ich habe jetzt mal versucht die Aufgabe wie Marcel
> vorgeschlagen hat anzugehen und [mm]\left(1+2\sum_{k=1}^\infty r^k \cos(k\Theta)\right)\cdot{}(1-2r\cos(\Theta)+r^2)= 1-r^2[/mm]
> auszurechnen
die Gleichheit musst Du NACHWEISEN! Ich habe gesagt:
Fange an, die linke Seite davon auszurechnen und hoffe, dass Du
irgendwann dann erkennst, dass da [mm] $=1-r^2$ [/mm] rauskommt.
Das ist so, wie, wenn ich sage: Beweise [mm] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,.$
[/mm]
Dann rechnest Du etwa
[mm] $(a+b)^2=(a+b)*(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=a^2+ab+ba+b^2\,.$
[/mm]
Jetzt stockst Du und guckst:
"Ahja, klar: [mm] $a^2+ab+ba+b^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$"
[/mm]
und bist zufrieden!
(Deine Methode ist auch nicht falsch, aber Du machst es dann so:
[mm] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(a+b)*(a+b)=a^2+2ab+b^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $a^2+ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $ba=ab\,.$
[/mm]
So könntest Du nun sagen: Wegen der Kommutativität der Multiplikation gilt
[mm] $ba=ab\,,$ [/mm] und durch Lesen der obigen Umformungen und Verfolgen der
Pfeile [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] in den [mm] $\iff$'s [/mm] folgt dann [mm] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,.$)
[/mm]
> und dann deinen Tipp anzuwenden
>
> Hier bin ich angekommen
>
> [mm]rcos(\theta)-\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)+4r cos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)=r^2[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber nicht mehr wirklich weiter.
Ich habe die Aufgabe nicht in Erinnerung und rechne es vielleicht später
nochmal nach. Aber hier würde ich mir mal
$4r [mm] cos(\Theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \Theta)$
[/mm]
angucken, das ist noch weiterverarbeitungswürdig:
$4r [mm] cos(\Theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \Theta)=4\sum_{k=1}^\infty r^{k+1}\cos(k \Theta)\cos(\Theta)$
[/mm]
Denn irgendwie kann man doch sicher
[mm] $\cos(k \Theta)\cos(\Theta)$
[/mm]
mit den Additionstheormen weiter verschmelzen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:55 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
Super! Die Erklärung hat mir sehr geholfen. Ich habe nochmal nachgerechnet und mir ist irgendwo ein Rechenfehler passiert. Also habe ich nochmal neu angefangen.
[mm] (1+2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta))\times(1-2rcos(\theta)+r^2)=1-r^2 [/mm] = [mm] 1-2rcos(\theta)+r^2+2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)-4rcos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)+2r^2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta) [/mm] = [mm] 1-2rcos(\theta)+r^2+[2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)]\times(1-2rcos(\theta)+r^2)
[/mm]
Gibt es irgendeinen Weg das Summenzeichen "aufzulösen"? Ich möchte ja das was ich jetzt hier geschrieben habe irgendwann die form [mm] 1-r^2 [/mm] annimmt, aber mich stört das Summenzeichen bzw. ich kann damit nicht umgehen.
Danke und Grüße
Sebah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebah,
> Super! Die Erklärung hat mir sehr geholfen. Ich habe
> nochmal nachgerechnet und mir ist irgendwo ein Rechenfehler
> passiert. Also habe ich nochmal neu angefangen.
>
> [mm](1+2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta))\times(1-2rcos(\theta)+r^2)=1-r^2[/mm]
> =
> [mm]1-2rcos(\theta)+r^2+2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)-4rcos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)+2r^2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)[/mm]
> =
> [mm]1-2rcos(\theta)+r^2+[2\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)]\times(1-2rcos(\theta)+r^2)[/mm]
>
> Gibt es irgendeinen Weg das Summenzeichen "aufzulösen"?
> Ich möchte ja das was ich jetzt hier geschrieben habe
> irgendwann die form [mm]1-r^2[/mm] annimmt, aber mich stört das
> Summenzeichen bzw. ich kann damit nicht umgehen.
zu dem Term
[mm] $4rcos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k\theta)$
[/mm]
habe ich doch schonmal was gesagt:
> Aber hier würde ich mir mal
> $ 4r [mm] cos(\Theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \Theta) [/mm] $
> angucken, das ist noch weiterverarbeitungswürdig:
> $ 4r [mm] cos(\Theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \Theta)=4\sum_{k=1}^\infty r^{k+1}\cos(k \Theta)\cos(\Theta) [/mm] $
> Denn irgendwie kann man doch sicher
> $ [mm] \cos(k \Theta)\cos(\Theta) [/mm] $
> mit den Additionstheormen weiter verschmelzen...
Wenn das nicht geklappt hat, dann würde ich wenigstens gerne sehen,
was da versucht wurde (auch, um zu sehen, ob das ein zielführender
Hinweis war oder nicht - momentan sind das ja nur Ideen, die EVTL. helfen
könnten...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebah,
> a) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition des Cosinus
> und mit Hilfe der geometrischen
> Reihe
>
> [mm]1+2\summe_{k=1}^{\infty}r^{k}cos(k\Theta) =\bruch{1-r^2}{1-2rcos\Theta+r^2}[/mm]
> für 0 [mm]\le[/mm] r < 1, [mm]\Theta \in \IN[/mm]
da steht sicher nicht [mm] $\Theta \in \red{\,\IN\,}$!
[/mm]
>
> b) Skizzieren Sie die hierdurch definierte Funktion
> [mm]P(r;\Theta )[/mm] für die Werte r = 0,2; 0,4; 0,6
> als Funktion von [mm]\Theta \in [-\pi;\pi].[/mm]
>
> Edit: ich hoffe das Symbol [mm]\emptyset[/mm] ist korrekt. In der
> Aufgabe ist es ein runder Kreis mit einem schrägen Strich
> durch "
>
>
>
>
> Edit (schachuzipus): Das ist ein Theta ([mm]\Theta)[/mm],
> geschrieben [mm][code]\Theta[/code][/mm]
>
>
>
> Hallo,
>
> da ich in diesem Forum neu bin, möchte ich mich bevor ich
> euch mit meinen Fragen belaste kurz vorstellen. Ich bin 22
> Jahre alt und habe zum Wintersemester mein Physikstudium
> begonnen. Davor habe ich 2 Jahre BWL im Ausland studiert
> habe mich aber dann auf das wesentlich konkretere
> Physikstudium umentschieden. Momentan fällt mir das erste
> Semester sehr schwer. Mathe ist schwerer als ich mir
> vorgestellt habe und viel Zeit geht dafür verloren
> bestimmte Grundkenntnisse nachzuholen. Ich bin mir nicht
> sicher wie viele Prüfungen ich im ersten Semester schaffe.
> Ich möchte aber auf jeden Fall weiterstudieren da mich bis
> jetzt nichts so begeistert hat wie Physik. Vielleicht sind
> ja hier auch ein paar Studenten die mir aus Erfahrung sagen
> können ob es schlimm ist im ersten Semester nicht gleich
> alles zu bestehen. Ich hoffe das ich mit eurer Hilfe mich
> in Mathe verbessern kann und vielleicht in ein paar Jahren
> auch anderen in meiner Situation helfen kann.
>
> Nun zu meiner Aufgabe. Ich möchte bitte nicht das Ihr die
> komplette Aufgabe für mich löst sondern mir eher Tipps
> gebt wie ich die Aufgabe lösen kann. Danke!
>
> Ich habe angefangen mir die beiden Definitionen
> herauszusuchen.
>
> Die Definition des Kosinus:
>
> [mm]cos(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1^{k})\bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
> Die geometrische Reihe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^k[/mm]
Da gehört noch [mm] $=\frac{1}{1-x}$ [/mm] für [mm] $|x|\;<\;1$ [/mm] hin (das ist aber nicht Definitionsgemäß,
sondern das kann man nachrechnen!)
> Ich muss diese beiden definitionen benutzen um das
> statement in der Aufgabe zu zeigen. Ich weiß aber nicht
> wie ich anfangen soll.
Wenn man sich rein an die Aufgabenstellung hält:
[mm] $1+2\sum_{k=1}^\infty r^k \cos(k\Theta)=1+2\sum_{k=1}^\infty \left(r^k \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(k \Theta)^{2n}}{(2n)!}\right)=1+2\sum_{k=1}^\infty \left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{ \Theta^{2n}}{(2n)!}\cdot r^kk^{2n}\right)=...$
[/mm]
Wie weit man so kommt, vermag ich gerade nicht zu sagen. Aber man kann
ja auch mal die Idee haben:
[mm] $\left(1+2\sum_{k=1}^\infty r^k \cos(k\Theta)\right)*(1-2r\cos(\Theta)+r^2)=...$
[/mm]
auszurechnen, möglichst weit zusammenzufassen und dann erst später
den Tipp einzusetzen. Am Ende sollte man dann irgendwie
[mm] $1-r^2$
[/mm]
erkennen können.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
Danke für die Antwort. Ich werde mich gleich hinsetzen und es probieren. Du hattest übrigens recht. Es sollte heißen [mm] \theta \in \IR [/mm] und NICHT [mm] \theta \in \IN. [/mm] Habe ich falsch abgeschrieben.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:20 Di 03.12.2013 | | Autor: | Sebah |
So ich habe jetzt mal versucht $ [mm] \left(1+2\sum_{k=1}^\infty r^k \cos(k\Theta)\right)\cdot{}(1-2r\cos(\Theta)+r^2)= 1-r^2 [/mm] auszurechnen
Hier bin ich angekommen
[mm] rcos(\theta)-\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)+4r cos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)=r^2
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht mehr wirklich weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebah,
> So ich habe jetzt mal versucht $ [mm]\left(1+2\sum_{k=1}^\infty r^k \cos(k\Theta)\right)\cdot{}(1-2r\cos(\Theta)+r^2)= 1-r^2[/mm]
> auszurechnen
>
> Hier bin ich angekommen
>
> [mm]rcos(\theta)-\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)+4r cos(\theta)\summe_{k=1}^{\infty}r^kcos(k \theta)=r^2[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber nicht mehr wirklich weiter.
wo müssen wir denn jetzt weitergucken: Bei der Frage hier, oder bei der
hier: https://matheraum.de/read?i=995648?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 05.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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