Korrelationskoeffizient von ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei Z eine auf [mm] [0,2\pi] [/mm] gleichverteilte Zufallsvariable, X:=sin(Z) und Y:=sin(Z-a) für [mm] a\in \IR.
[/mm]
Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von X und Y.
[mm] \varrho(X,Y):=\bruch{Cov(X,Y)}{\wurzel {Var(X)*Var(Y)}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tag Leute,
also was ich mir bisher überlegt hab ist, dass man zur Bestimmung von [mm] \varrho(X,Y) [/mm] letztendlich ja nur Erwartungswerte berchnen muss, d.h. E(X), E(Y), E(X²), E(Y²) und E(XY). Dann bin ich im Prinzip schon fertig und da X und Y von der ZV Z abhängen sind es lediglich Erwartungswerte von irgendeinem Z. So dann wissen wir noch, dass Z diskret ist weil ja gleichverteilt. Also kanns losgehn:
[mm] E(X)=E(sin(Z))=\sum_{j} sin(z_j)*p_j=\sum_{j} sin(z_j)*\bruch{1}{2\pi}
[/mm]
So und da häng ich jetz. Wie mach ich da jetzt weiter ich mein kann ich das überhaupt berchnen? Wär klasse wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Do 18.06.2009 | | Autor: | vivo |
> Sei Z eine auf [mm][0,2\pi][/mm] gleichverteilte Zufallsvariable,
> X:=sin(Z) und Y:=sin(Z-a) für [mm]a\in \IR.[/mm]
> Bestimmen Sie den
> Korrelationskoeffizienten von X und Y.
>
> [mm]\varrho(X,Y):=\bruch{Cov(X,Y)}{\wurzel {Var(X)*Var(Y)}}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Tag Leute,
> also was ich mir bisher überlegt hab ist, dass man zur
> Bestimmung von [mm]\varrho(X,Y)[/mm] letztendlich ja nur
> Erwartungswerte berchnen muss, d.h. E(X), E(Y), E(X²),
> E(Y²) und E(XY). Dann bin ich im Prinzip schon fertig und
> da X und Y von der ZV Z abhängen sind es lediglich
> Erwartungswerte von irgendeinem Z. So dann wissen wir noch,
> dass Z diskret ist weil ja gleichverteilt. Also kanns
> losgehn:
>
> [mm]E(X)=E(sin(Z))=\sum_{j} sin(z_j)*p_j=\sum_{j} sin(z_j)*\bruch{1}{2\pi}[/mm]
>
> So und da häng ich jetz. Wie mach ich da jetzt weiter ich
> mein kann ich das überhaupt berchnen? Wär klasse wenn mir
> da jemand weiterhelfen könnte.
ich würde nicht sagen dass Z hier diskret ist !!!!
stetige gleichverteilung:
mit dichte [mm] \bruch{1}{b-a} [/mm] für [mm] a\le [/mm] x [mm] \le [/mm] b sonst 0
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay mit dem neuen Wissen, dass Z stetig ist hab ich jetz mal alles berechnet. Wär echt super, wenn mir das jemand bestätigen könnte ob das alles so stimmt oder gegebenenfalls was ich da falsch gemacht hab. Also es gilt:
E(X)=E(Y)=0, [mm] Var(X)=Var(Y)=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] Cov(X,Y)=Var(X)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit ergibt sich: [mm] \varrho(X,Y):=\bruch{Cov(X,Y)}{\wurzel {Var(X)\cdot{}Var(Y)}}=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 18.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin kegel53,
anbei einige Streudiagramme sumulierter Werte von [mm] $(x,y))=(\sin(z),\sin(z+a)$. [/mm]
Willst du deine Behauptung [mm] $\rho(X,Y)$ [/mm] aufrecht erhalten?
vg Luis
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann muss da doch irgendwo an Fehler sein. Also am besten ich schreib mal auf wie ich E(Y) berechnet hab und wär klasse wenn dann jemand erläutern könnte was falsch is und wie man eigentlich vorgeht. Es gilt also:
[mm] E(Y)=E(sin(Z-a))=\int_{0}^{2\pi} sin(z-a)*\bruch{1}{2\pi} dz=\bruch{1}{2\pi}*[-cos(z-a)]_{0}^{2\pi}=\bruch{1}{2\pi}*(-cos(2\pi-a)+cos(-a))=\bruch{1}{2\pi}*0=0
[/mm]
Wo ist der Fehler? Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Do 18.06.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Wo ist der Fehler? Vielen Dank schon mal.
Das sieht richtig aus. Aber der Kick liegt in der Berechnung von [mm] $\operatorname{E}[XY]$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 18.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay ich hatte einen Fehler im Skript, allerdings wird das ganz nach neuer Berechnung auch nicht bessser. Hier mal meine neue Rechnung:
[mm] E(XY)=E(sin(Z)sin(Z-a))=\int_{0}^{2\pi} sin(z)*sin(z-a)*\bruch{1}{2\pi} dz=\bruch{1}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{2}*(cos(a)-cos(2z-a))dz=\bruch{1}{4\pi}*[sin(a)-\bruch{1}{2}sin(2z-a)]_{0}^{2\pi}=\bruch{1}{4\pi}*0=0
[/mm]
Hier muss ja dann irgendwo der Fehler liegen, aber ich komm einfach nich drauf wo der sein könnte. Kann jemand helfen? Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:00 Fr 19.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hier muss ja dann irgendwo der Fehler liegen, aber ich komm
> einfach nich drauf wo der sein könnte. Kann jemand helfen?
Vielleicht ein neuer Ansporn: Mathematica zeigt an:
[mm] $\bruch{1}{2\pi}\int\sin(z)\sin(z-a)\,dz=\bruch{2z\cos(a)+\sin(a-2z)}{8\pi}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Fr 19.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Tut mir leid aber meines Wissens gilt doch [mm] sin(x)*sin(y)=\bruch{1}{2}*[cos(x-y)-cos(x+y)] [/mm] und wenn ich damit weiterrechne komme ich beim besten Willen nicht auf das Mathematica-Ergebnis. Könntest du mir sagen wo mein Denkfehler liegt? Besten Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 19.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Könntest du mir sagen wo mein
> Denkfehler liegt?
Moin,
*ich* rechne so:
[mm] $\bruch{1}{2\pi}\cdot{}\int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{2}\cdot{}(\cos(a)-\cos(2z-a))\,dz=\bruch{\cos(a)}{2}-\int_{0}^{2\pi}\cos(2z-a)\,dz=\bruch{\cos(a)}{2}$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Fr 19.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Au man manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen einfach nicht  . ich dank dir vielmals.
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