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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 09.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Transformation der Kugelkoordinaten :
[mm] \psi:\IR^3\to \IR^3, \vektor{\nu \\ \theta \\ \phi}to \vektor{\nu sin\theta cos\phi \\ \nu sin\theta sin\phi \\ \nu sin \theta}
[/mm]
a) bestimme die Menge aller Punkte a=(rho, [mm] \theta, \phi) [/mm] in denen der Satz über lokale Umkehrung anwendbar ist. |
Könnt ihr mir erklärn, was bei dieser Aufgabe zu tun ist?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Sa 09.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Als Anfang: was sagt denn der Satz über lokale Umkehrung?
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Hallöchen,
Habe dieselbe Aufgabe vor mir.
Wollte fragen, wie man am leichtesten die Menge der Punkte bestimmt? (Habe angefangen einzelne Punkte zu suchen, die es erfüllen, konnte aber keinen zusammenhang feststellen, um diese als schöne Menge darzustellen)
Die Jacobi-Matrix, die dazu nötig ist habe ich bereits bestimmt.
Noch eine allgemeine Frage zum Satz der lokalen Umkehrung:
Wenn dieser Satz für eine funktion gilt, gilt doch automatisch, dass eben diese bijektiv ist, oder?
LG
Lissschen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 So 10.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich habe schon meinen Grund, warum zuerst der Satz mal hingeschrieben werden soll. Allein schon den Titel des Satzes kenne ich so nicht, aber das hat nichts zu bedeuten. Wenn ich dann, um meine Erinnerung aufzufrischen, mir den Satz von der impliziten Funktion bei Wikipedia ansehe, dann finde ich da auch ein Korollar. Nun kommt es darauf an, wie bei Euch der Satz formuliert wurde. Ist vielleicht das Korollar bei Euch in der Formulierung des Satzes enthalten? Ich kann doch nicht diverse Antwortoptionen anbieten, je nachdem, was bei Euch in der Vorlesung passiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 So 10.06.2012 | | Autor: | Lissschen |
bei mir besagt der Satz exakt dasselbe wie der in Wikipedia.
daher habe ich die jacobi-matrix der partiellen ableitungen gebildet und geschaut wo diese invertierbar ist.
Habe die aufgabe mittlerweile gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 So 10.06.2012 | | Autor: | Lissschen |
Bin noch neu hier, kenne mich noch nicht mit den bedienungen aus, deswegen tut mir leid wegen dem doppeleintrag von mir.
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Satz_von_der_Umkehrabbildung
dort wird der Satz dargestellt und um genau diesen wird es sich hier handeln.
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Okay, die Jakobimatrix habe ich auch aber ich verstehe nicht ganz wie es nun weiter geht...
Kannst du mir das nochmal erklären?
MfG
Mathegirl
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Hallo,
wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, sollen wir doch nun die Punkte finden, in denen die Jakobische invertierbar ist. Dabei kann die Determinante helfen.
Wenn ich mich richtig erinnere, kann diese mit "trigonometrischem Pytagoras" stark vereinfacht werden.
Gruß korbinian
Nachtrag: Sehe soeben: Deine Kugelkoordinaten sind vermutlich falsch: letzte Zeile cos statt sin ?
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Ich habe die Jacobimatrix erstellt und die Determinante berechnet. Allerdings hatte ich mit dem Auflösen arge Probleme und habe dann herausbekommen:
[mm] detJ{\psi}/\rho,\theta,\phi)=r^2cos\theta
[/mm]
Stimmt das so?
jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich die Menge aller Punkte bestimmen kann, in denen der Satz übe rlokale Umkehrung anwendbar ist. Könnt ihr mir da Tipps geben?
Mfg
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Jacobimatrix erstellt und die Determinante
> berechnet. Allerdings hatte ich mit dem Auflösen arge
> Probleme und habe dann herausbekommen:
>
> [mm]detJ{\psi}/\rho,\theta,\phi)=r^2cos\theta[/mm]
>
> Stimmt das so?
Wenn r= [mm] \rho [/mm] ist, ja
>
> jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich die Menge aller
> Punkte bestimmen kann, in denen der Satz übe rlokale
> Umkehrung anwendbar ist. Könnt ihr mir da Tipps geben?
Mein Gott, schau doch nach, was der Satz an Voraussetzungen fordert !
Er fordert von einem solchen Punkt (r, [mm] \theta, \phi), [/mm] dass [mm] r^2cos\theta \ne [/mm] 0 ist.
FRED
>
> Mfg
> Mathegirl
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Ja, das war mir ja klar, dass [mm] r\not=0 [/mm] und [mm] cos\theta\not= \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Nur wie bestimme ich dann [mm] \phi? [/mm] Und wie gebe ich die Punkte an, weil für r und [mm] cos\theta [/mm] ist das ja nur eine Einschränkung und keine Bestimmung.
Mfg
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mi 13.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ja, das war mir ja klar, dass [mm]r\not=0[/mm] und [mm]cos\theta\not= \bruch{\pi}{2}[/mm]
Das passt nicht zu dem, was Fred geschrieben hat.
Schau Dir einen Plot von cos(x) für $-8 [mm] \pi [/mm] < x < [mm] 8\pi$ [/mm] an. Wo wird cos(x) Null?
>
> Nur wie bestimme ich dann [mm]\phi?[/mm] Und wie gebe ich die Punkte
> an, weil für r und [mm]cos\theta[/mm] ist das ja nur eine
> Einschränkung und keine Bestimmung.
????
Die Matrix ist invertierbar auf der Menge I:
$I = [mm] \{r,\theta \in \IR^2 | .....\}$
[/mm]
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Ich habe schon das Richtige gemeint, nur falsch aufgeschrieben.
Die Nullstellen von cos sind bei [mm] \bruch{\pi}{2}+(2k+1)*\pi
[/mm]
Richtig?
Also ist die Matrix invertierbar auf der Menge [mm] I={r,\theta\in \IR^2|cos\theta\not= \bruch{\pi}{2}+(2k+1)*\pi \vee r\not=0}
[/mm]
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Do 14.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe schon das Richtige gemeint, nur falsch
> aufgeschrieben.
Diese Aussage wird Dir aber bei keiner Prüfung helfen. Daher solltest Du vorher üben, präzise zu sein.
> Die Nullstellen von cos sind bei [mm]\bruch{\pi}{2}+(2k+1)*\pi[/mm]
> Richtig?
Nö. Warum willst Du jede zweite überspringen? Naja, ganz klar ist das nicht, weil Du ja nicht angegeben hast, aus welcher Menge k kommt. Mit ein paar Klimmzügen ließe sich das ja noch korrigieren. Das wird aber unangemessen kompliziert.
>
> Also ist die Matrix invertierbar auf der Menge
> [mm]I={r,\theta\in \IR^2|cos\theta\not= \bruch{\pi}{2}+(2k+1)*\pi \vee r\not=0}[/mm]
Nein. Lies es selbst durch, um den (Schreib-)Fehler zu finden. Dieser Fehler kommt noch zu den oben monierten dazu.
\{ und \} erzeugen Dir die fehlenden Klammern. Darum geht es mir aber nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
Es muss = und nicht [mm] \not= [/mm] heißen oder? und k muss [mm] \in \IR [/mm] liegen.
Allerdings hänge ich auch noch an der Menge I für die Punkte und bin noch nicht recht sicher.
LG
heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
cos(x)=0 für [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k\pi, [/mm] wobei [mm] k\in \IZ.
[/mm]
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Do 14.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> cos(x)=0 für [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi,[/mm] wobei [mm]k\in \IZ.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun kannst Du doch hinschreiben: Die Matrix ist invertierbar auf der Menge I:
$ I = [mm] \{r,\theta \in \IR^2 | .....\} [/mm] $
Da musst Du doch nur noch anstelle der ... alle die Punkte herausschmeißen, für die es nicht geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
Das wäre doch :
I= { [mm] r,\theta\in\IR^2|r\not= [/mm] 0 [mm] \vee \theta\not=\bruch{\pi}{2}+k\pi, k\in \IZ [/mm] }
Wie kann ich denn nun noch zeigen dass [mm] I_{\psi} [/mm] injektiv ist?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
immer mit der Def. von injektiv.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 14.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Die Bedingungen für r und [mm] $\theta$ [/mm] müssen beide immer erfüllt sein.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
