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| Aufgabe | Wir betrachten zwei (hier: dreidimensionale) kartesische Koordinatensysteme S und S' mit einer gemeinsamen z-Achse und gemeinsamem Ursprung. S' sei gegenüber S um den Winkel [mm] \varphi [/mm] um die z-Achse gedreht. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten [mm] \vec [/mm] p=(x, y, z) hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten:
* [mm] x'=x\cos\varphi [/mm] + [mm] y\sin\varphi,
[/mm]
* y'=- [mm] x\sin\varphi [/mm] + [mm] y\cos\varphi, [/mm] |
Ich kann mir die ganze Sache nicht wirklich bildlich vorstellen.
Zur ersten Gleichung:
Man kann sich einen Punkt auf der x-Achse vorstellen, und senkrecht dazu wird dann eine Strecke gezogen, die zur x'-Achse geht. Das bildet ja ein Dreieck. Die x'-Achse kann man ja durch [math] cos(\phi) [/math] bezüglich zur x-Achse beschreiben. Doch weiß ich nicht, warum das mit x multipliziert wird. Und warum wird dann noch addiert?
Ich steh' auf dem Schlauch.
Ich bitte um Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei
[mm] $A:=\pmat{ cos\varphi &sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi }$
[/mm]
Dann wird durch die Abb. $f(x,y):= [mm] A*\vektor{x \\ y}$ [/mm] eine Drehung um den Winkel [mm] \varphi [/mm] gegeben.
Es ist
$ [mm] A*\vektor{x \\ y}= \vektor{x\cos\varphi + y\sin\varphi, \\- x\sin\varphi + y\cos\varphi, }$
[/mm]
FRED
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Mir geht es eher darum, warum da Cosinus, bzw. Sinus verwendet wird. Mit den trigonometrischen Beziehungen kommt die Gleichung ja zustande. Aber warum gerade da Cosinus/Sinus usw.
Du hast lediglich das wiedergegeben, was in anderer Form schon im Aufgabenfeld meines Posts stand.
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 17.11.2010 | | Autor: | chrisno |
Du hast eigentlich schon richtig angefangen, doch musst Du konsequent weiter gehen.
Du hast das erste Koordinatensystem. Markiere einen Punkt auf der x-Achse, z.B. 3.
Nun versuche in einem um 40° gedrehten Koordintansystem diesen Punkt einzuordnen. Er liegt nicht auf der neuen x-Achse und nicht auf der neuen y-Achse. Also muss er für beide Koordinaten einen Wert ungleich null bekommen.
Also fällst Du von dem Punkt die beiden Lot auf die neuen Achsen. Das Stück auf der alten x-Achse ist jeweils die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wie lang ist jeweils die Kathete auf den neuen Achsen?
Bei weiteren Fragen wäre es nützlich, wenn Du eine Zeichnung eintstellst.
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Rotation
Soweit ich verstehe, muss deine Beschreibung in einer Zeichnung umgesetzt so sein (sry für die schlechte Zeichnung).
Aber ich wundere mich, warum die x'-Koordinate nicht nur die Strecke zwischen dem Koordinatenursprung und bis zum "Lot-Anfang" auf der x'-Achse ist, denn sonst würde die Gleichung für
[math] x'= x*cos \phi [/math]
sein. Aber warum kommt der zweite Summand noch hinzu?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich leg mal eine Skizze bei, vielleicht hilft die
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Skizze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich lese die x'-Koordinate ja ganz normal wie bei dem Ausgangskoordinatensystem ab. Deswegen müsste ich, um die x'-Koordinate zu wissen, die Strecke zwischen dem Koordinatenusprung und dem letzten Schnittpunkt der x'-Achse berechnen. Richtig, oder? (alles bezogen auf ullim's Skizze)
Das
x cos(phi)
ist mir klar, deswegen brauche ich nur noch die letzte Strecke zwischen dem kleinen senkrechten Strich auf der x'-Achse und dem letzten Schnittpunkt.
Das y sin(phi) unten rechts bezieht sich doch aber lediglich auf die Strecke zwischen der markierten x-Stelle und der letzten Schnittstelle der x-Achse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Ich lese die x'-Koordinate ja ganz normal wie bei dem
> Ausgangskoordinatensystem ab. Deswegen müsste ich, um die
> x'-Koordinate zu wissen, die Strecke zwischen dem
> Koordinatenusprung und dem letzten Schnittpunkt der
> x'-Achse berechnen. Richtig, oder? (alles bezogen auf
> ullim's Skizze)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das
>
> x cos(phi)
>
> ist mir klar, deswegen brauche ich nur noch die letzte
> Strecke zwischen dem kleinen senkrechten Strich auf der
> x'-Achse und dem letzten Schnittpunkt.
> Das y sin(phi) unten rechts bezieht sich doch aber
> lediglich auf die Strecke zwischen der markierten x-Stelle
> und der letzten Schnittstelle der x-Achse.
Ich hab mal ne bessere Zechnungbeigelegt.
Drehung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Durch die Ergänzungen verstehe ich jetzt alles.
Vielen Dank für die Mühe!
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![[a]](uploads/forum/00736698/forum-i00736698-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Skizze![[a]](uploads/forum/00736830/forum-i00736830-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Drehung