Koordinatensystem gesucht < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Fr 23.04.2010 | | Autor: | vogster |
Hallo Forum,
vielleicht kann mir jemand zu folgender Problematik einen Tipp geben:
Ich habe drei Punkte im Raum, welche mir jeweils mit x1,y1,z1 im Koordinatensystem 1 bekannt sind.
Weiterhin kenne ich von jedem der drei Punkte seinen Koordinaten x2,y2,z2 in Koordinatensystem 2.
Nun möchte ich wissen, wie das Koordinatensystem 2 im Koordinatensystem 1 liegt, konkret den Urprung von KS2 im KS1, einen Punkt auf der X-Achse des KS2 im KS1 sowie einen Punkt in der XY-Ebene auf der Y-Achse des KS2 im KS1
Leider habe ich keinen Ansatz woanders gefunden. Gibt es zu diesem Problem überhaupt eine eindeutige Lösung, oder brauche ich mehr Informationen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für die Mühe
Vogster
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Fr 23.04.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn [mm] \overline{x}=T(x) [/mm] alte in neue Koordinaten umrechnet dann kann i.A. aus [mm] \overline{x_1}=T(x_1) [/mm] nicht auf den Wert T(0) geschlossen werden. Schon für linerare T wie eine Translation plus Streckung reicht dazu aus, dass es nicht geht, da man mehr Parameter als Bestimmungsgleichungen hat.
Fixiere doch einmal in Gedanken in einem ebenen System einen Punkt. Nun denkt Dir ein Zweites und dreh es um diesen Punkt. Der Punkt hat dann in beiden System konstante Koordinaten.
Aber nur eine Translation sollte klappen.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Fr 23.04.2010 | | Autor: | vogster |
Hallo gfm,
vielen Dank für Deine Antwort, aber leider werde ich nicht ganz schlau daraus.
Zu Deinem Beispiel mit dem ebenen System: In der Ebene müssten doch zwei Punkte ausreichen, um die Lages des zweiten KS im ersten KS zu bestimmen, oder?
Ich habe nun 3 Punkte im Raum, von denen ich jeweils die Koordinaten im ersten und zweiten KS habe.
Die Lage des zweiten KS ist gesucht.
Grüße,
Vogster
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Sa 24.04.2010 | | Autor: | gfm |
Sorry, sollte wohl ins Bett gehen. :)
Habe es so verstanden, dass Du nur einen Punkt mit seinen Koordinaten in KS1 und KS2 gegeben hast.
Welche Transformationen läßt Du zwischen den Systemen zu?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Sa 24.04.2010 | | Autor: | vogster |
Also die Art der Transformation ist mir eigentlich egal, die Operation muss nur im Rechner programmierbar sein.
Grüße, Vogster
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Sa 24.04.2010 | | Autor: | gfm |
Die Art der Tansformation entscheidet aber, ob eine gegebenen Anzahl von Punktepaaren ausreicht. Das hängt halt von der Parameteranzahl der Transformation ab.
Außerdem könnte Dir eine Nichtlinearität in der Transformation einen Strich durch die Auflösbarkeit machen.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 25.04.2010 | | Autor: | vogster |
Hallo gfm, hallo Forum,
ich habe das Problem mal auf einen Überlegung in der Ebene reduziert, in der ich nun den Ursprung des zweiten KS suche. Wenn ich dann auch noch annehme, dass die Koordinatensysteme 1 und 2 nicht verdreht, sondern nur verschoben sind, dann ist das ja mit einer einfachen Subtraktion schnell gelöst. Für diese Annahme würde ja auch ein einziger Punkt ausreichen.
Sind die beiden KS nun zueinander verdreht, dann brauche ich für die Subtraktion auch noch den Verdrehwinkel um den Ursprung des zweiten KS zu bestimmen. Wie Du ja schon geantwortet hast, reicht dann ein Punkt nicht mehr aus. Ich habe mir eine solche Verdrehung mal aufgemalt, ich habe aber keine Möglichkeit gesehen, aus den Lagen der Punkte irgendwie den Verdrehwinkel zu bestimmen.
Mein neuer Ansatz ist nun, das ganze iterativ zu lösen. Dazu baue ich ein endliches Netz aus Punkten um das erste KS (zunächst in der Ebene) und bestimme von jedem einzelnen Punkt im Netzt den Abstand zu den gegebenen Punkten im KS1 und vergleiche das Ergebnis mit dem Betrag des Vektor der gegebenen Punkte im KS2. Der Punkt im KS1, an dem die Summe aus beiden Vergleichen am kleinsten ist, ist der Ursprung des zweiten KS.
Ich habe dann gesehen, dass es bei dieser Methode zwei mögliche Lösungen gibt. Hätte ich in der Ebene jetzt noch einen dritten Punkt, (die drei Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen), dann sollte die Lösung eindeutig sein. Damit wäre der Ursprung schon mal bestimmt.
Um das KS2 am gefundenen Ursprung zu platzieren, brauche ich nun noch einen Punkt auf der X-Achse und einen Punkt auf der Y-Achse in der XY-Ebene. Die Punkte müsste ich aber dann auch wieder über ein Netz und einen Vergleich der Beträge der Vektoren finden können.
Für die Ebene habe ich mir das mal aufgezeichnet und auch durchrechnen lassen, das Ergebnis sieht gut aus.
Mir fehlt jetzt allerdings die Vorstellung, ob das auch im Raum so gehen würde, und wie viele Punkte ich für eine eindeutige Lösung brauche.
Danke für die Unterstützung!
Vogster
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Auch diese Frage hat sich mittlerweile erledigt.
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> Hallo Forum,
> vielleicht kann mir jemand zu folgender Problematik einen
> Tipp geben:
>
> Ich habe drei Punkte im Raum, welche mir jeweils mit
> x1,y1,z1 im Koordinatensystem 1 bekannt sind.
> Weiterhin kenne ich von jedem der drei Punkte seinen
> Koordinaten x2,y2,z2 in Koordinatensystem 2.
> Nun möchte ich wissen, wie das Koordinatensystem 2 im
> Koordinatensystem 1 liegt, konkret den Urprung von KS2 im
> KS1, einen Punkt auf der X-Achse des KS2 im KS1 sowie einen
> Punkt in der XY-Ebene auf der Y-Achse des KS2 im KS1
>
> Leider habe ich keinen Ansatz woanders gefunden. Gibt es zu
> diesem Problem überhaupt eine eindeutige Lösung, oder
> brauche ich mehr Informationen?
Hallo jens,
Um im Raum [mm] \IR^3 [/mm] ein (lineares) Koordinatensystem zu "installieren",
sind 4 Punkte erforderlich (nicht nur 3), beispielsweise der Nullpunkt O
sowie die Endpunkte der drei von O aus abgetragenen Basisvektoren.
Die lineare Transformation (affine Abbildung) vom einen zum anderen
Koordinatensystem wird dann in der Form
[mm] $\vec{x}_2\ [/mm] =\ [mm] A*\vec{x}_1+\vec{b}$
[/mm]
beschrieben, mit einer [mm] 3\times3 [/mm] - Matrix A und einem Vektor [mm] \vec{b}
[/mm]
In A und [mm] \vec{b} [/mm] zusammen stecken insgesamt 12 Unbekannte.
Aus den Abbildungsgleichungen für die 4 gegebenen Punktepaare
ergeben sich genau 4*3=12 Gleichungen, aus welchen man die
Parameter eindeutig berechnen kann (ausser wenn die 4 Punkte
in einer gemeinsamen Ebene liegen sollten).
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 26.04.2010 | | Autor: | vogster |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank erstmal für den Tipp. Leider habe ich bei der Umsetztung das Problem, dass mein erwarteter Y-Wert nicht passt. Woran kann das liegen?
Ich habe die Programmierung geprüft es sieht alles gut aus, daher habe ich vielleicht bei der Umsetzung etwas falsch verstanden.
Ich habe als erstes die 12 Abbildungsgleichungen aufgestellt.
1. [mm] x_{P1KS2} [/mm] = [mm] a_{11}*x_{P1KS1}+a_{12}*y_{P1KS1}+a_{13}*z_{P1KS1}+f_1
[/mm]
2. [mm] y_{P1KS2} [/mm] = [mm] a_{21}*x_{P1KS1}+a_{22}*y_{P1KS1}+a_{23}*z_{P1KS1}+f_2
[/mm]
3. [mm] z_{P1KS2} [/mm] = [mm] a_{31}*x_{P1KS1}+a_{32}*y_{P1KS1}+a_{33}*z_{P1KS1}+f_3
[/mm]
...
12. [mm] z_{P4KS2} [/mm] = [mm] a_{31}*x_{P4KS1}+a_{32}*y_{P4KS1}+a_{33}*z_{P4KS1}+f_3
[/mm]
Dann die Faktoren der unbekannten aus den Gleichungen in eine 12*12 Matrix eingetragen und mit der Determinantenmethode die unbekannten bestimmt. Die Lösungen [mm] a_{11} [/mm] bis [mm] a_{33} [/mm] habe ich in der Matrix A zusammengefasst, [mm] f_1 [/mm] bis [mm] f_3 [/mm] im Vektor f
Die Werte auf der Hauptdiagonale der Matrix waren bei einigen Beispielrechnungen stets 1 oder -1.
Zum Schluss dann die Rechnung [mm] P_{KS2} [/mm] = [mm] P_{KS1}*A+f
[/mm]
Wie gesagt, für die X und Z Koordinate sind die Werte für mich OK, aber Y passt nicht. Ich habe folgende Punktepaare getestet:
[mm] P_{1KS1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -9 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{2KS1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ -7,5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{3KS1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{4KS1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ -4,5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{1KS2}= \begin{pmatrix} 5,5 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{2KS2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{3KS2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2,5 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] P_{4KS2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 13 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Der Ausgangspunkt [mm] P_{KS1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] müsste (laut meiner Zeichnung) im zweiten KS an der Stelle [mm] \bar P_{KS2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3,5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] liegen.
Ich bekomme aber [mm] \begin{pmatrix} -3,5 \\ -0 \\ -0 \end{pmatrix} [/mm] als Ergebnis.
Hat jemand mit Erfahrung und geübtem Blick vielleicht eine Idee?
Danke für die Mühe!
Vogster
Nachtrag:
War wohl doch irgendwo ein kleiner Fehler im Programmcode,
habe noch einiges übersichtlicher gestaltet und schon passt auch
der Y-Wert. Vielen Dank für die Mithilfe!
Wie kann ich denn jetzt als Autor den Status auf beantwortet setzen?
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> Nachtrag:
> War wohl doch irgendwo ein kleiner Fehler im Programmcode,
> habe noch einiges übersichtlicher gestaltet und schon passt auch
> der Y-Wert. Vielen Dank für die Mithilfe!
>
> Wie kann ich denn jetzt als Autor den Status auf
> beantwortet setzen?
Zum Glück habe ich alles (inkl. Nachtrag) gelesen, bevor
ich zu rechnen angefangen hätte ...
In diesem Fall ist ja alles in Ordnung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Di 27.04.2010 | | Autor: | gfm |
> > Hallo Forum,
> > vielleicht kann mir jemand zu folgender Problematik
> einen
> > Tipp geben:
> >
> > Ich habe drei Punkte im Raum, welche mir jeweils mit
> > x1,y1,z1 im Koordinatensystem 1 bekannt sind.
> > Weiterhin kenne ich von jedem der drei Punkte seinen
> > Koordinaten x2,y2,z2 in Koordinatensystem 2.
> > Nun möchte ich wissen, wie das Koordinatensystem 2 im
> > Koordinatensystem 1 liegt, konkret den Urprung von KS2 im
> > KS1, einen Punkt auf der X-Achse des KS2 im KS1 sowie einen
> > Punkt in der XY-Ebene auf der Y-Achse des KS2 im KS1
> >
> > Leider habe ich keinen Ansatz woanders gefunden. Gibt es zu
> > diesem Problem überhaupt eine eindeutige Lösung, oder
> > brauche ich mehr Informationen?
>
>
> Hallo jens,
>
> Um im Raum [mm]\IR^3[/mm] ein (lineares) Koordinatensystem zu
> "installieren",
> sind 4 Punkte erforderlich (nicht nur 3), beispielsweise
> der Nullpunkt O
> sowie die Endpunkte der drei von O aus abgetragenen
> Basisvektoren.
> Die lineare Transformation (affine Abbildung) vom einen
> zum anderen
> Koordinatensystem wird dann in der Form
>
> [mm]\vec{x}_2\ =\ A*\vec{x}_1+\vec{b}[/mm]
>
> beschrieben, mit einer [mm]3\times3[/mm] - Matrix A und einem Vektor
> [mm]\vec{b}[/mm]
> In A und [mm]\vec{b}[/mm] zusammen stecken insgesamt 12
> Unbekannte.
> Aus den Abbildungsgleichungen für die 4 gegebenen
> Punktepaare
> ergeben sich genau 4*3=12 Gleichungen, aus welchen man die
> Parameter eindeutig berechnen kann (ausser wenn die 4
> Punkte
> in einer gemeinsamen Ebene liegen sollten).
>
>
> LG Al-Chwarizmi
>
Und was ist, wenn A aus O(3) ist (also wenn nur Drehungen plus Verschiebung in Frage kommen)? Deren Dim. ist n über 2. Dann hätten wir 5 Parameter zu bestimmen. Dann sollte sich der Rechenaufwand drastisch verringern, oder?
LG
gfm
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> Und was ist, wenn A aus O(3) ist (also wenn nur Drehungen
> plus Verschiebung in Frage kommen)? Deren Dim. ist n über
> 2. Dann hätten wir 5 Parameter zu bestimmen. Dann sollte
> sich der Rechenaufwand drastisch verringern, oder?
>
> LG
>
> gfm
Du meinst also nur Kongruenzabbildungen (ohne Spiegelungen),
also "eigentliche Bewegungen". Diese werden durch 6 (nicht 5)
Parameter beschrieben. Die vorgegebenen Punkt-Bildpunkt-Paare
müssten dann aber die notwendigen Einschränkungen auch schon
erfüllen (System der Punkte kongruent zum System der Bildpunkte).
Möglicherweise wäre dann eine andere Beschreibung sinnvoller
(3 Koordinaten für die Verschiebung des Nullpunkts, 3 Winkel
für die Drehungen).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Di 27.04.2010 | | Autor: | gfm |
Ja na klar 6. Als ich das geschrieben habe hatte ich eine ebenes Beispiel im Sinn und habe die bei zwei bei den Verschiebungsvektorkomponenten aufgehört zu zählen. :)
Danke und LG
gfm
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