Koordinatenform graphisch < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 So 06.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Hallo liebe Matheprofis,
ich beschäftige mich gerade mit Vektoren und habe zur Koordinatenform einige Fragen. Wie man die Koordinatenform bildet etc. habe ich verstanden, aber ich frage mich, wie man sich eine Ebene, die in Koordinatenform gegeben ist, graphisch vorstellen kann. Wenn ich nun folgende Gleichung gegeben habe:
4x + 7y + 3z = 9
-Was kann ich daraus ableiten? Also außer dem Normalenvektor?
Was gibt die "9" an und wie würde sich die Ebene verändern, wenn dort "-9" stehen würde? Mit der hesseschen Normalenform kann man ja den Abstand zum Ursprung bestimmen, aber man kann doch sicher auch noch etwas ohne die hessesche Normalenform daraus ableiten oder? Ich könnte mir vorstellen, dass dies bedeuten würde, ob die Ebene oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt oder soetwas...
-Wenn ich nun eine Ebene in dieser Form gegeben habe, wie kann ich sie dann zeichnen ohne sie in die Paramenterform umzurechnen? Ich habe ja im Grunde nur den Normalenvektor und die 9 gegeben, kann man daraus schon eine Ebene zeichnen?
-Und gibt es eine Koordinatenform auch für Geraden?
Es wäre super lieb, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde mir den ein oder anderen Tipp zu geben. Es ist natürlich auch nicht nötig alle Fragen auf einmal zu beantworten!
Bis hierhin erstmal vielen Dank!
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Finnja,
> Hallo liebe Matheprofis,
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> ich beschäftige mich gerade mit Vektoren und habe zur
> Koordinatenform einige Fragen. Wie man die Koordinatenform
> bildet etc. habe ich verstanden, aber ich frage mich, wie
> man sich eine Ebene, die in Koordinatenform gegeben ist,
> graphisch vorstellen kann. Wenn ich nun folgende Gleichung
> gegeben habe:
>
> 4x + 7y + 3z = 9
>
> -Was kann ich daraus ableiten? Also außer dem
> Normalenvektor?
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
> Was gibt die "9" an und wie würde sich die Ebene
> verändern, wenn dort "-9" stehen würde? Mit der
Damit änderen sich auch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Diese werden am Koordinatenursprung gespiegelt.
Demach auch die Ebene.
> hesseschen Normalenform kann man ja den Abstand zum
> Ursprung bestimmen, aber man kann doch sicher auch noch
> etwas ohne die hessesche Normalenform daraus ableiten oder?
> Ich könnte mir vorstellen, dass dies bedeuten würde, ob
> die Ebene oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt oder
> soetwas...
>
> -Wenn ich nun eine Ebene in dieser Form gegeben habe, wie
> kann ich sie dann zeichnen ohne sie in die Paramenterform
> umzurechnen? Ich habe ja im Grunde nur den Normalenvektor
> und die 9 gegeben, kann man daraus schon eine Ebene
> zeichnen?
>
Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
die sogenannten Spurpunkte, verbinde diese dann zu einem
Dreieck, dem Spurdreieck.
> -Und gibt es eine Koordinatenform auch für Geraden?
>
Die gibt es nur im [mm]\IR^{2}[/mm].
Im [mm]\IR^{3}[/mm] ist eine Gerade definiert
als der Schnittpunkt zweier Ebenen.
> Es wäre super lieb, wenn sich jemand die Zeit nehmen
> würde mir den ein oder anderen Tipp zu geben. Es ist
> natürlich auch nicht nötig alle Fragen auf einmal zu
> beantworten!
> Bis hierhin erstmal vielen Dank!
>
> Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Hallo MathePower,
erstmal vielen Dank für die ausführliche und so verständliche Hilfe. Jetzt ist mir einiges klarer geworden.
Das mit den Koordinatenachsen ist mir noch gar nicht aufgefallen. Danke!
>Damit ändern sich auch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
>Diese werden am Koordinatenursprung gespiegelt.
>Demnach auch die Ebene.
Ich habe mir das gerade aufgezeichnet. Das ist dann eine Punktspiegelung am Ursprung oder?
>Die gibt es nur im [mm]\IR^{2}[/mm].
Das verstehe ich leider noch nicht so ganz. Man kann doch im [mm]\IR^{3}[/mm] Geraden abbilden ohne dass man gleichzeitig Ebenen abbildet, oder nicht?
>Berechne die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
>die sogenannten Spurpunkte, verbinde diese dann zu einem
>Dreieck, dem Spurdreieck.
Und das Spurdreieck wäre dann schon meine Ebene? Das ging ja leichter als ich dachte.
Wie sähe das mit der Normalenform aus? Würde man die direkt in die Koordinatenform umwandeln oder kann man daraus auch sofort eine Ebene zeichnen? Man könnte ja einfach den Normalenvektor nehmen und eine Gerade zeichnen zum Ortsvektor und anhand der Gerade eine orthogonale Ebene zeichnen. Aber dann hätte man ja erstmal nur eine orthogonale Gerade und keine Ebene...
[mm] \vec{n}*\vec{x}-\vec{n}*\vec{a}= [/mm] 0
Eine letzte Frage noch, die mir eben erst gekommen ist. Gibt es eine anschauliche Erklärung für das Skalarprodukt? Die Herleitung mit dem Pythagoras ist mir bekannt, aber ich frage mich, wie ich mir das vorstellen soll. Wenn man Vektoren addiert, dann bewegt man sich ja von einem Vektor zum nächsten, aber wohin bewegt man sich, wenn man sie multipliziert? Ich kann das auch gern nochmal als zweiten Diskussionsstrang öffnen, aber ich dachte mir, vielleicht wissen Sie ja die Antwort.
Vielen, vielen Dank!!
LG Finnja
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Hallo,
> Eine letzte Frage noch, die mir eben erst gekommen ist.
> Gibt es eine anschauliche Erklärung für das
> Skalarprodukt? Die Herleitung mit dem Pythagoras ist mir
> bekannt, aber ich frage mich, wie ich mir das vorstellen
> soll. Wenn man Vektoren addiert, dann bewegt man sich ja
> von einem Vektor zum nächsten, aber wohin bewegt man sich,
> wenn man sie multipliziert? Ich kann das auch gern nochmal
> als zweiten Diskussionsstrang öffnen, aber ich dachte mir,
> vielleicht wissen Sie ja die Antwort.
Bedenke zunächst: das Skalarprodukt ist kein Vektor!
Die für mich anschaulichste Erklärung ist eine Tätigkeit, die früher unter dem Name ![[]](/images/popup.gif) Treideln bekannt war: das Ziehen von Schiffen flussaufwärts. Dabei wird das Schiff an einem Seil gezogen, welches naturgemäß nicht in Fahrtrichtung des Schiffes verlaufen kann, da die Zugtiere oder auch die Menschen am Ufer laufen müssen. Von der aufgebrachten Seilkraft wird also von dem Schiff nur die Komponente genutzt, die in Fahrtrichtung zeigt. Die Arbeit beim diesem Vorgang in Fahrtrichtung des Schiffes geleistet wird, lässt sich dabei mit dem Skalarprodukt berechnen:
[mm] W=\overrightarrow{F}*\overrightarrow{s}
[/mm]
wobei
[mm] \overrightarrow{F}: [/mm] Seilkraft
[mm] \overrightarrow{s}: [/mm] Fahrvektor des Schiffes
sind.
Eine Erklärung dafür, weshalb das so einfach mit dem Skalarprodukt funktioniert, findet man, wenn man sich den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und dem Kosinussatz klarmacht. Darüber kann man hier ein wenig nachlesen.
Gruß, Diophant
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> Bedenke zunächst: das Skalarprodukt ist kein Vektor!
> Die für mich anschaulichste Erklärung ist eine
> Tätigkeit, die früher unter dem Name
> Treideln bekannt war:
> das Ziehen von Schiffen flussaufwärts. Dabei wird das
> Schiff an einem Seil gezogen, welches naturgemäß nicht in
> Fahrtrichtung des Schiffes verlaufen kann, da die Zugtiere
> oder auch die Menschen am Ufer laufen müssen.
Hallo Diophant,
mit deinem Hinweis hast du natürlich meine Imagination
gereizt ... es wäre wirklich besser und effizienter,
wenn man das Zugseil in Fahrtrichtung spannen könnte.
Dazu bräuchte man Katamarane, welche auf einem
Doppelkanal fahren. Die Zugtiere laufen auf dem
Mitteldamm !
Leider habe ich wohl kaum noch die Möglichkeit, diese
Idee patentieren zu lassen, da Treideltechniken nicht
mehr so gefragt sind ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]") ...
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Vielen Dank für die anschauliche Erklärung! Vielleicht habe ich mir das wirklich zu sehr als "Vektorbewegung" vorgestellt.
Zum Kosinussatz:
Wenn man die Werte einsetzt funktioniert das natürlich, aber wie kommt man auf die Konsinussatzformel? Oder ist das für Schulmathe noch zu kompliziert? Ich verstehe nicht, wieso
[mm] \vec{c}²=\vec{a}²+\vec{b}² -2\vec{a}*\vec{b}
[/mm]
dasselbe ist wie die Formel, die noch ein [mm] cos(\gamma) [/mm] anschließt? Wenn das zu weit führt, ist auch kein Problem! Aber danke schonmal!
Gibt es noch jemanden, der die Antwort auf meine vorigen Fragen weiß?
Eine Veränderung des Vorzeichens in der Konstante der Koordinatengleichung einer Ebene bewirkt eine Punktspiegelung am Urspung oder?
Warum gibt es keine Geraden im [mm] \IR³? [/mm] Sonst könnten sich doch Geraden und Ebenen nie schneiden, weil sie nicht in einem Raum vorkommen?
Und als letztes, was kann man aus der Normalenform ablesen? Außer Ortsvektor und Normalenvektor. Kann man da direkt eine Ebene draus zeichnen oder muss die Gleichung dafür in die Koordinatenform gebracht werden?
Man könnte ja einfach den Normalenvektor nehmen und eine Gerade durch den Ortsvektor zeichnen und anhand der Gerade eine orthogonale Ebene zeichnen. Aber dann hätte man ja erstmal nur eine orthogonale Gerade und keine Ebene...
Danke für die ganze Hilfe und die tollen Erklärungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Do 10.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Gibt es noch jemanden, der die Antwort auf meine vorigen
> Fragen weiß?
>
> Eine Veränderung des Vorzeichens in der Konstante der
> Koordinatengleichung einer Ebene bewirkt eine
> Punktspiegelung am Urspung oder?
>
ja, richtig
> Warum gibt es keine Geraden im [mm]\IR³?[/mm] Sonst könnten sich
> doch Geraden und Ebenen nie schneiden, weil sie nicht in
> einem Raum vorkommen?
>
Das ist ein Missverstaendnis. natuerlich gibt es Geraden im [mm] R^3 [/mm] aber keine Koordinatendarstellung mit einer Gleichung,
dann braucht man eben 2 EbenenGleichungen der form ax+by+cz=d
aber als [mm] \vec{a}+r*\vec{b} [/mm] kann man natuerlich eine gerade in Parameterform geben.
Gruss leduart
> Und als letztes, was kann man aus der Normalenform ablesen?
> Außer Ortsvektor und Normalenvektor. Kann man da direkt
> eine Ebene draus zeichnen oder muss die Gleichung dafür in
> die Koordinatenform gebracht werden?
> Man könnte ja einfach den Normalenvektor nehmen und eine
> Gerade durch den Ortsvektor zeichnen und anhand der Gerade
> eine orthogonale Ebene zeichnen. Aber dann hätte man ja
> erstmal nur eine orthogonale Gerade und keine Ebene...
> Danke für die ganze Hilfe und die tollen Erklärungen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 So 13.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Ahh! Jetzt habe ich es verstanden. Vielen, vielen Dank!!!
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> natuerlich gibt es Geraden
> im [mm]R^3[/mm] aber keine Koordinatendarstellung mit einer
> Gleichung,
> dann braucht man eben 2 Ebenengleichungen der Form
> ax+by+cz=d
> aber als [mm]\vec{a}+r*\vec{b}[/mm] kann man natuerlich eine Gerade
> in Parameterform geben.
Hallo,
es wäre schon möglich, auch für eine Gerade im [mm] \IR^3 [/mm] eine
Koordinatengleichung aufzustellen.
Beispiel:
Die Gerade mit der Parameterdarstellung
[mm] $\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{2\\0\\0}\ [/mm] +\ [mm] t*\pmat{1\\2\\3}$
[/mm]
kann durch das Gleichungssystem (2 Ebenen):
[mm] $\begin{cases} 2\,x-y-4\,=\,0 \\ 3\,y-2\,z\,=\,0 \end{cases}
[/mm]
beschrieben werden, und diese zwei Gleichungen lassen sich
auf folgende Weise zu einer einzigen Gleichung zusammen-
fassen:
$\ ( [mm] 2\,x-y-4)^2\ [/mm] +\ [mm] (3\,y-2\,z)^2\ =\,0$
[/mm]
Ausmultipliziert:
$\ [mm] x^2+\frac{5}{2}y^2+z^2-x\,y-3\,y\,z-4\,x+2\,y+4\ [/mm] =\ 0$
LG Al-Chwarizmi
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> Zum Kosinussatz:
> Wenn man die Werte einsetzt funktioniert das natürlich,
> aber wie kommt man auf die Konsinussatzformel? Oder ist das
> für Schulmathe noch zu kompliziert? Ich verstehe nicht,
> wieso
> [mm]\vec{c}²=\vec{a}²+\vec{b}² -2\vec{a}*\vec{b}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> dasselbe
> ist wie die Formel, die noch ein [mm]cos(\gamma)[/mm] anschließt?
Die obige Formel konnte ich zuerst nicht so lesen, wie sie
gemeint war, da du die Tastaturexponenten verwendet hast,
welche hier in Latex nicht angezeigt werden. Gemeint hast du:
[mm]\vec{c}\,^2\ =\ \vec{a}\,^2+\vec{b}\,^2 -2\,\vec{a}*\vec{b}[/mm]
(Gleichung anklicken, um zu sehen, wie die Exponenten
korrekt zu schreiben sind !)
Mittels der Gleichung [mm] $\vec{a}*\vec{b}\ [/mm] =\ [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\gamma)$
[/mm]
(wobei [mm] \gamma [/mm] der von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] eingeschlossene Winkel ist)
wird daraus:
[mm]\vec{c}\,^2\ =\ \vec{a}\,^2+\vec{b}\,^2 -2\,|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\gamma)[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 So 13.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Oh, ich wusste gar nicht, dass das nicht abgebildet wird. Das tut mir natürlich leid. Ich werde in Zukunft darauf achten.
Danke auch für die Antwort! Ich habe mir jetzt noch die Herleitung vom Kosinussatz angeschaut, eigentlich gar nicht so schwer!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 06.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo,
eigentlich enthält Deine Frage die meisten Informationen,
ausser: Du solltest nicht von "dem" Normalenvektor reden.
(7, 4, 3) ist "ein" Normalenvektor der Länge [mm] \wurzel{74}.
[/mm]
Deshalb ist [mm] 9/\wurzel{74} [/mm] der Abstand der Ebene vom Nullpunkt,
und zwar in Richtung der benutzten Normale [mm] (7,4,3)/\wurzel{74}.
[/mm]
Die in der ersten Antwort erwähnten Schnittpunkte mit den Koordinaten-Achsen (Spurpunkte) sind die am einfachsten auszurechnenden Punkte der Ebene. Die Differenzvektoren zwischen zwei solchen Spurpunkten sind Vektoren senkrecht zur Normale, also parallel zu der Ebene. Diese Vektoren kann man benutzen für eine Parameterbeschreibung der Ebene.
Gruss Leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Hallo Leduart,
auch Ihnen vielen Dank für die Hilfe. Der Tipp mit den Differenzvektoren hat mir sehr weitergeholfen!
>eigentlich enthält Deine Frage die meisten Informationen,
ausser: Du solltest nicht von "dem" Normalenvektor reden.
(7, 4, 3) ist "ein" Normalenvektor der Länge > [mm]\wurzel{74}.[/mm]
Das stimmt natürlich. Aber außer (7,4,3) und die Vielfachen davon besitzt diese Ebene doch keine Normalenvektoren oder?
>Deshalb ist [mm]9/\wurzel{74}[/mm] der Abstand der Ebene vom Nullpunkt,
und zwar in Richtung der benutzten Normale [mm](7,4,3)/\wurzel{74}.[/mm]
Also ist das nur der Abstand zum Durchstoßpunkt von dieser Normale und der Ebene und dem Ursprung?
Wäre [mm](7,4,3)/\wurzel{74}.[/mm] dann der Normaleneinheitsvektor? Ich habe nämlich gelesen, dass der immer 1 sein müsste. Irgendwas hab ich da wohl missverstanden.
Vielen, vielen Dank für die Mühe!!
LG Finnja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Di 08.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, $ [mm] (7,4,3)/\wurzel{74}. [/mm] $ ist der Normaleneinheitsvektor.
zum skalarprodukt, es gebt dir die Laenge des einen vektors in Richtung des anderen, allerdings multipliziert mit dessen Laenge, das skalarprodukt mit einem einheitsvektor gibt dir also die Laenge des in der Richtung des Einheitsvektors projizierten Vektors.
Zeichnen kannst du die Ebene wirklich am besten durch das Dreieck mit den 3 Achsnpunkten, die du kriegst, wenn du in der Koordinatengleichung [mm] x=0,y_o [/mm] fuer die z Koordinate setzt usw.
Gruss leduart
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> ja, [mm](7,4,3)/\wurzel{74}.[/mm] ist der Normaleneinheitsvektor.
Wenn wir's auch hier ganz genau nehmen wollen:
einer der beiden möglichen Normaleneinheitsvektoren ...
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Finnja |
Bedeutet das, dass nur der "kleinste" Normalenvektor, also der Normalenvektor mit dem geringsten Betrag auch den geringsten Abstand vom Ursprung hat?
Wenn ich jetzt mit (21 12 9) rechnen würde, ergibt sich ja ein längerer Abstand, weil der Betrag [mm] 3*\wurzel{74} [/mm] ist. Ich dachte eigentlich, dass die Länge der Normalenvektoren egal ist, da nur ihre Richtung zählt?
Danke nochmal, die Erklärungen haben mir sehr weitergeholfen!
LG Finnja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:29 Do 10.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bedeutet das, dass nur der "kleinste" Normalenvektor, also
> der Normalenvektor mit dem geringsten Betrag auch den
> geringsten Abstand vom Ursprung hat?
> Wenn ich jetzt mit (21 12 9) rechnen würde, ergibt sich
> ja ein längerer Abstand, weil der Betrag [mm]3*\wurzel{74}[/mm]
Nein, wenn du statt der Ebenengleichung
4x+7y+3z=9
die Ebenengleichung
12x=21y+9z+27
haettest ware dein Normalenvektor zwar erstmal (12,21,9) mit Betrag [mm]3*\wurzel{74}[/mm]
dann ware aber der Abstand auch [mm] 27/3*\wurzel{74}
[/mm]
also wieder derselbe. nur wenn du deine Ebenengleichung als [mm] \vec{n}*\vec{x}=d [/mm] mit [mm] \vec{n} [/mm] einheitsvektor schreibst ist d der abstand zum Nullpunkt. denn nur das skalarprodukt mit dem Einheitsvektor projiziert alle vektoren x in die normalenrichtung und verlaengert sie nicht.
Wenn du irgendeinen Normalenvektor willst ist egal welchen du nimmst, seine Laenge hat nichts mitdem Abstand der Ebene zu 0 zu tun, erst wenn du die rechte seite durch die Laenge teilst, hast du den Abstand zu 0.
Gruss leduart
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