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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | fab42 |
| Aufgabe | Sei V:=< [mm] 2x^{3}+2x^{2}+1 [/mm] , [mm] x^{4}-x^{3}+x [/mm] , -x , [mm] 2x^{4}+2x^{2}+1 [/mm] > [mm] \subseteq \IQ[x] [/mm] ein Vektorraum.
a)
Finde einen Körper K und ein n [mm] \in [/mm] N und zeige, dass V isomorph ist zu [mm] K^{n}. [/mm] Weise die
Isomorphie explizit mithilfe einer linearen, bijektiven Abbildung nach.
b)
Zeige, dass die lineare Abbildung F : V [mm] \to \IQ^{3} [/mm] durch
F(2x³ + 2x² + 1) = (1, 0, -1)
[mm] F(x^{4} [/mm] - x³ + x) = (1, 1, 1)
F(-x) = (0, 0, 0)
[mm] F(2x^{4} [/mm] + 2x² + 1) = (3, 2, 1)
eindeutig bestimmt und wohlde niert ist. |
Hallo, ich habe hier ein paar Schwierigkeiten:
zu a)
Ich habe festgestellt das die Elemente im Span von V linear abhängig sind.
Denn -x lässt sich durch die anderen Basiselemente darstellen:
-x = [mm] \bruch{-1}{2}(2x^{3}+2x^{2}+1)+(-1)(x^{4}-x^{3}+x)+\bruch{1}{2}(2x^{4}+2x^{2}+1)
[/mm]
Demnach erhalte ich mit [mm] B=(2x^{3}+2x^{2}+1 [/mm] , [mm] x^{4}-x^{3}+x [/mm] , [mm] 2x^{4}+2x^{2}+1) [/mm] eine Basis von V und dim(V)=3
Außerdem nehme ich an das es sich hier um eine Koordinatenabbildung handelt und da V eine Teilmenge der Polynome über [mm] \IQ [/mm] ist, muss der gesuchte Körper [mm] K=\IQ [/mm] und das geuchte n=3 sein.
für alle v [mm] \in [/mm] V gibt es eindeutige [mm] q_{1}, q_{2}, q_{3}:
[/mm]
[mm] v=q_{1}(2x^{3}+2x^{2}+1)+q_{2}(x^{4}-x^{3}+x)+q_{3}(2x^{4}+2x^{2}+1)
[/mm]
Könnte dann also eine solche bijektive, lineare Abbildung wie folgt aussehen?:
F: V [mm] \to \IQ^{3}
[/mm]
v [mm] \mapsto \vektor{q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3}}
[/mm]
bei der Ausführung bin ich nicht ganz sicher, hoffe ihr könnt mich da etwas unterstützen und mir sagen wo ich falsch oder ungenau gearbeitet habe.
zu b)
Bei dieser Teilaufgabe scheint es sich auch um eine Koordinatenabbildung zu handeln die sich vielleicht auf eine andere Basis von V bezieht.
Hier fehlt mir ein Ansatz, mir ist nich klar wie ich die Wohldefiniertheit nachweise.
mit freundlichen Grüßen
fab
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> Sei V:=< [mm]2x^{3}+2x^{2}+1[/mm] , [mm]x^{4}-x^{3}+x[/mm] , -x ,
> [mm]2x^{4}+2x^{2}+1[/mm] > [mm]\subseteq \IQ[x][/mm] ein Vektorraum.
>
> a)
> Finde einen Körper K und ein n [mm]\in[/mm] N und zeige, dass V
> isomorph ist zu [mm]K^{n}.[/mm] Weise die
> Isomorphie explizit mithilfe einer linearen, bijektiven
> Abbildung nach.
>
> zu a)
> Ich habe festgestellt das die Elemente im Span von V
> linear abhängig sind.
> Denn -x lässt sich durch die anderen Basiselemente
> darstellen:
>
> -x =
> [mm]\bruch{-1}{2}(2x^{3}+2x^{2}+1)+(-1)(x^{4}-x^{3}+x)+\bruch{1}{2}(2x^{4}+2x^{2}+1)[/mm]
>
> Demnach erhalte ich mit [mm]B=(2x^{3}+2x^{2}+1[/mm] , [mm]x^{4}-x^{3}+x[/mm]
> , [mm]2x^{4}+2x^{2}+1)[/mm] eine Basis von V und dim(V)=3
>
> Außerdem nehme ich an das es sich hier um eine
> Koordinatenabbildung handelt und da V eine Teilmenge der
> Polynome über [mm]\IQ[/mm] ist, muss der gesuchte Körper [mm]K=\IQ[/mm] und
> das geuchte n=3 sein.
>
> für alle v [mm]\in[/mm] V gibt es eindeutige [mm]q_{1}, q_{2}, q_{3}:[/mm]
>
> [mm]v=q_{1}(2x^{3}+2x^{2}+1)+q_{2}(x^{4}-x^{3}+x)+q_{3}(2x^{4}+2x^{2}+1)[/mm]
> Könnte dann also eine solche bijektive, lineare Abbildung
> wie folgt aussehen?:
> F: V [mm]\to \IQ^{3}[/mm]
> v [mm]\mapsto \vektor{q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}}[/mm] für [mm] $v=q_{1}(2x^{3}+2x^{2}+1)+q_{2}(x^{4}-x^{3}+x)+q_{3}(2x^{4}+2x^{2}+1)$
[/mm]
Hallo,
in Anbetracht der Tatsache, daß Familie und Tiere auf ihr Frühstück warten, habe ich die dim von V nicht nachgrechnet.
Dein Tun jedenfalls ist sinnvoll, und die Abbildung auch.
Du mußt jetzt noch zeigen, daß sie wohldefiniert, linear und bijektiv ist.
Falls ich später Zeit habe, sag' ich auch noch etwas zu b), aber vielleicht erklärt es Dir wer anders auch vorher.
LG Angela
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> Sei V:=< [mm]2x^{3}+2x^{2}+1[/mm] , [mm]x^{4}-x^{3}+x[/mm] , -x , [mm]2x^{4}+2x^{2}+1[/mm] > [mm]\subseteq \IQ[x][/mm] ein Vektorraum.
> b)
> Zeige, dass die lineare Abbildung F : V [mm]\to \IQ^{3}[/mm] durch
> F(2x³ + 2x² + 1) = (1, 0, -1)
> [mm]F(x^{4}[/mm] - x³ + x) = (1, 1, 1)
> F(-x) = (0, 0, 0)
> [mm]F(2x^{4}[/mm] + 2x² + 1) = (3, 2, 1)
> eindeutig bestimmt und wohlde niert ist.
Hallo,
wir können erstmal feststellen, F ist eine Abbildung aus dem V in den [mm] \IQ^3, [/mm] darüber, ob das die Koordinatenabbildung bzgl. irgendeiner Basis ist, brauchen wir uns lt. Aufgabenstellung keine Gedanken zu machen.
(Wenn die Abbildung linear und bijektiv ist, ist dies der Fall).
Zunächst einmal erinnere Dich daran, daß lineare Abbildungen durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Du hattest [mm] $(2x^{3}+2x^{2}+1$ [/mm] , [mm] $x^{4}-x^{3}+x$ [/mm] , [mm] $2x^{4}+2x^{2}+1)$ [/mm] als Basis von V ermittelt, und die Funktionswerte für diese Basis liegen vor.
Zu prüfen ist nun noch, ob der Funktionswert für -x paßt.
Du hattest zuvor -x als Linearkombination der anderen drei Vektoren geschrieben, und nun mußt Du schauen, ob sich F(-x) damit verträgt. (Linearität von F nutzen!)
LG Angela
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