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Hallo folgende Aufgabe habe ich wo ich nicht weiter komme.
Seien [mm] x_{1}= \vektor{-1 \\ 7}, x_{2}= \vektor{0 \\ 4}, b_{1}= \vektor{3 \\ -2}, b_{2}= \vektor{-1 \\ -1}, A:= \pmat{ 1& 1 \\ 1 & 1 }, B:= \pmat{ 2 & 8 \\ 0 & 0 } [/mm]
a) Bestimmen sie die Matrix S der Koordinatentransformation bei Wechsel von der Basis [mm] \beta_{1} := x_{1},x_{2} des \IR^{2} nach \beta_{2} := b_{1},b_{2}[/mm]. (Soll eigentlich ein in Schreibschrift B sein- also nicht wundern)
Lösungsansatz
also soll ja ein Basiswechsel von [mm] \beta_{1} nach \beta_{2} [/mm] sein.
[mm]S= K_{\beta2} * K_{\beta1}^{-1}[/mm]
[mm]K_{\beta2}^{-1}= \pmat{ 3 & 1 \\ -2 & -1}
K_{\beta1}^{-1}= \pmat{-1 & 0 \\ 7 & 4 }[/mm]
Nun habe ich die Inverse von [mm]K_{\beta2}^{-1} [/mm] gebildet.
da habe ich folgendes raus [mm] K_{\beta2}= \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & -3 } [/mm]
nun habe ich [mm] K_{\beta2} * K_{\beta1}^{-1}[/mm] gerechnet
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & -3} * \pmat{ -1& 0 \\ 7 & 4} = \pmat{ 6 & 4 \\ -9 & -12[/mm]
daraus folgt [mm] S= \pmat{ 6 & 4 \\ -9 & -12[/mm]
Ist das soweit richtig??
Nun komme ich bei b) nicht weiter:
b) Bestimmen sie die darstellende Matrix [mm] L_{\beta2} [/mm] der linearen Abbildung [mm] L: \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit [mm] L_{\beta2} = A [/mm]. Danach entscheiden sie ob es eine Basis [mm] \beta [/mm] von [mm] \IR^{2} [/mm] gibt, so dass [mm] L_{\beta} = B [/mm] gilt. Finden sie ggf. eine solche Basis, oder zeigen sie, dass es sie nicht gibt.
Danke für jeden Tipp
Christinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christinchen!
> Hallo folgende Aufgabe habe ich wo ich nicht weiter
> komme.
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> Seien [mm]x_{1}= \vektor{-1 \\ 7}, x_{2}= \vektor{0 \\ 4}, b_{1}= \vektor{3 \\ -2}, b_{2}= \vektor{-1 \\ -1}, A:= \pmat{ 1& 1 \\ 1 & 1 }, B:= \pmat{ 2 & 8 \\ 0 & 0 }[/mm]
Ist [mm] $b_2$ [/mm] wirklich richtig? Oder muss es [mm] $b_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}$ [/mm] heißen (denn damit rechnest du später weiter).
> a) Bestimmen sie die Matrix S der Koordinatentransformation
> bei Wechsel von der Basis [mm]\beta_{1} := x_{1},x_{2} des \IR^{2} nach \beta_{2} := b_{1},b_{2}[/mm].
> (Soll eigentlich ein in Schreibschrift B sein- also nicht
> wundern)
>
> Lösungsansatz
>
> also soll ja ein Basiswechsel von [mm]\beta_{1} nach \beta_{2}[/mm]
> sein.
>
>
> [mm]S= K_{\beta2} * K_{\beta1}^{-1}[/mm]
>
> [mm]K_{\beta2}^{-1}= \pmat{ 3 & 1 \\ -2 & -1}
K_{\beta1}^{-1}= \pmat{-1 & 0 \\ 7 & 4 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Nun habe ich die Inverse von [mm]K_{\beta2}^{-1}[/mm] gebildet.
>
> da habe ich folgendes raus [mm]K_{\beta2}= \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & -3 }[/mm]
>
> nun habe ich [mm]K_{\beta2} * K_{\beta1}^{-1}[/mm] gerechnet
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -2 & -3} * \pmat{ -1& 0 \\ 7 & 4} = \pmat{ 6 & 4 \\ -9 & -12[/mm]
Hier hast du dich verrechnet. Es muss
[mm] $\pmat{6 & 4 \\ -19 & -12}$
[/mm]
heißen.
>
> daraus folgt [mm]S= \pmat{ 6 & 4 \\ -9 & -12[/mm]
>
> Ist das soweit richtig??
Fast.  (Aber gut verstanden! )
> Nun komme ich bei b) nicht weiter:
>
> b) Bestimmen sie die darstellende Matrix [mm]L_{\beta2}[/mm] der
> linearen Abbildung [mm]L: \IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] mit [mm]L_{\beta2} = A [/mm].
Hier stimmt etwas nicht. Es wird wohl kaum zweimal [mm] $L_{\beta1}$ [/mm] heißen. Einmal von beiden muss es [mm] $L_{\beta1}$ [/mm] lauten, denke ich. 
> Danach entscheiden sie ob es eine Basis [mm]\beta[/mm] von [mm]\IR^{2}[/mm]
> gibt, so dass [mm]L_{\beta} = B[/mm] gilt. Finden sie ggf. eine
> solche Basis, oder zeigen sie, dass es sie nicht gibt.
Das ist einfach. Es gibt eine solche Basis, da beide charakteristischen Polynome zerfallen und die gleichen einfachen Nullstellen haben. Du musst nun zuerst eine invertierbare Matrix $C$ suchen mit
[mm] $C^{-1}AC=B$
[/mm]
(etwa durch Lösen des schwach besetzten $4 [mm] \times [/mm] 4$-LGS $AC=CB$).
Offenbar ist $C$ die Basiswechselmatrix beim Wechsel von [mm] $\beta$ [/mm] nach [mm] $\beta_2$.
[/mm]
Daher folgt für die Basis [mm] $\beta=(v_1,v_2)$ [/mm] bezüglich der kanonischen Koordinaten:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] K_{\beta2}^{-1} \cdot [/mm] C [mm] \cdot e_1$
[/mm]
und
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] K_{\beta2}^{-1} \cdot [/mm] C [mm] \cdot e_2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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