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Guten Tag
Ich habe eine Menge [mm] $K\subset\mathbb{R}$, [/mm] die konvex ist. Ich bin an folgender Grösse interessiert:
[mm] $b_k=\sum_{i=1}^k a_i$ [/mm] wobei [mm] $a_i\in [/mm] K$.
Wenn man nun [mm] $c_k:=\frac{1}{\sum_{i=1}^k 2^{-i}}$ [/mm] wählt, sollte [mm] $c_k\cdot b_k=c_k\cdot \sum_{i=1}^k a_i$ [/mm] eine transformation zu einer Konvexkombination sein. Ich habe dies einmal ausmultiplizert, aber ich sehe nicht, wieso sich daraus eine Konvexkombination ergibt, so dass ich daraus schliessen kann, dass [mm] $c_kb_k\in [/mm] K$.
Herzlichen Dank für eure Hilfe
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mo 08.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag
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> Ich habe eine Menge [mm]K\subset\mathbb{R}[/mm], die konvex ist. Ich
> bin an folgender Grösse interessiert:
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> [mm]b_k=\sum_{i=1}^k a_i[/mm] wobei [mm]a_i\in K[/mm].
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> Wenn man nun [mm]c_k:=\frac{1}{\sum_{i=1}^k 2^{-i}}[/mm] wählt,
> sollte [mm]c_k\cdot b_k=c_k\cdot \sum_{i=1}^k a_i[/mm] eine
> transformation zu einer Konvexkombination sein. Ich habe
> dies einmal ausmultiplizert, aber ich sehe nicht, wieso
> sich daraus eine Konvexkombination ergibt, so dass ich
> daraus schliessen kann, dass [mm]c_kb_k\in K[/mm].
> Herzlichen Dank für eure Hilfe
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne88
Das liefert ja schon im Falle k=2 keine Konvexkombination der [mm] a_i [/mm] !
Es ist [mm] c_2=\bruch{4}{3}, [/mm] also ist
[mm] c_2*b_2=\bruch{4}{3}*a_1+\bruch{4}{3}*a_2
[/mm]
FRED
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Guten Morgen fred
Es hatte sich einen Fehler eingeschlichen. Richtig wäre:
[mm] $c_k\sum_{i=1}^k2^{-i}a_k$
[/mm]
Dies sollte nun eine konvex Kombination sein und stimmt auch für den Fall $k=2$. Ich sehe aber nicht so ganz, wieso dies auch für beliebige $k$'s gelten soll. Kann man das noch anderst als mittels Induktion beweisen?
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Di 09.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen fred
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> Es hatte sich einen Fehler eingeschlichen. Richtig wäre:
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> [mm]c_k\sum_{i=1}^k2^{-i}a_k[/mm]
Da soll wohl
[mm]c_k\sum_{i=1}^k2^{-i}a_i[/mm]
stehen.
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> Dies sollte nun eine konvex Kombination sein und stimmt
> auch für den Fall [mm]k=2[/mm]. Ich sehe aber nicht so ganz, wieso
> dies auch für beliebige [mm]k[/mm]'s gelten soll. Kann man das noch
> anderst als mittels Induktion beweisen?
Du brauchst doch nur die Definition von [mm] c_k [/mm] !!!!
$ [mm] c_k=\frac{1}{\sum_{i=1}^k 2^{-i}} [/mm] $
Damit ist [mm] \sum_{i=1}^k \bruch{c_k}{2^i}=c_k* \sum_{i=1}^k \bruch{1}{2^i}= \bruch{c_k}{c_k}=1
[/mm]
FRED
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> Liebe Grüsse
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> marianne88
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