www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Konvex und Abgeschlossenheit
Konvex und Abgeschlossenheit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvex und Abgeschlossenheit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 09.02.2020
Autor: kiwi_1234

Aufgabe
Sei L [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ein kompakter, nichtleerer und konvexer Unterraum, V  [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ein linearer Unterraum, L [mm] \cap [/mm] V [mm] =\emptyset [/mm]
Zeige, dass M := L-V = [mm] \{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \} [/mm] geschlossen, konvex und nichtleer ist.

Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher habe ich:

[mm] \forall \delta \in [/mm] [0,1] , x, y [mm] \in [/mm] M

[mm] x=l_{1}- v_{1} [/mm] , [mm] y=l_{2}- v_{2} [/mm]

[mm] \delta [/mm] x + [mm] (1-\delta) [/mm] y [mm] \in [/mm] M
[mm] =\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} [/mm] - [mm] \delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} [/mm]

wobei  [mm] \delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in [/mm] L, [mm] \delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in [/mm] V

Lässt sich damit etwas anfangen?

Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:42 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> habe ich:
>  
> [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  
> [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M

In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M zeigen.

Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M


>  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

Hier fehlen Klammern !

[mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
[mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])

Richtig ist

>  
> wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> V
>  
> Lässt sich damit etwas anfangen?

Ja. Du bist fast am Ziel.

Es ist [mm][mm] \delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in [/mm] L , weil L konvex ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm] \in [/mm] V, weil V ein linearer Unterraum ist.

Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.


>  
> Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

Z.B. so: sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in M und [mm] x_0 [/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm] x_0 \in [/mm] M.

Es gibt Folgen [mm] (l_n) [/mm] in L und [mm] (v_n) [/mm] in V mit

    [mm] x_n =l_n-v_n [/mm] für alle n.

L ist kompakt, also enthält [mm] (v_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (v_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert [mm] v_0 \in [/mm] L. Dann ist

   [mm] l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k} [/mm]  für alle k.

Damit ist ( [mm] l_{n_k}) [/mm] konvergent und hat den Grenzwert [mm] l_0:=x_0+v_0, [/mm] also

   [mm] x_0=l_0-v_0. [/mm]

Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm] l_0 \in [/mm] V ist, sind wir fertig.

Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes ist abgeschlossen !  Damit ist [mm] l_0 \in [/mm] V.

Fazit:  [mm] x_0 \in [/mm] M.


>  

Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm] \ne \emptyset [/mm] ist.

Das ist aber einfach: wegen 0 [mm] \in [/mm] V ist L [mm] \subseteq [/mm] M und L [mm] \ne \emptyset. [/mm]


Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung $L [mm] \cap V=\emptyset [/mm] $ haben wir nicht benötigt.


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234

Hallo Fred,

vielen Dank für Deine Antwort.

> > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  >  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  >  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> > habe ich:
>  >  
> > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
> In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> zeigen.
>
> Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
>
> >  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

>  
>  Hier fehlen Klammern !

Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.

>  
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>   [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>  
> Richtig ist
>  >  
> > wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > V
>  >  
> > Lässt sich damit etwas anfangen?
>  
> Ja. Du bist fast am Ziel.
>
> Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.

> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.

Das habe ich verstanden.


>  
>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

Soweit ist es mir klar.

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


So und hier steige ich jetzt leider aus.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] enthält, wenn L [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm]
Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen, weil V offen und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ? Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

weil [mm] x_{n} [/mm] und [mm] v_{n} [/mm] konvergent sind?

> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.


>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]


> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>  

>  



Bezug
                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> vielen Dank für Deine Antwort.
>
> > > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > > konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  >  >  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  >  >  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll,
> bisher
> > > habe ich:
>  >  >  
> > > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  >  >  
> > > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> > zeigen.
> >
> > Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> >
> > >  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

>  
> >  

> >  Hier fehlen Klammern !

>  
>  Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.
>
> >  

> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  >   [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>  
> >  

> > Richtig ist
>  >  >  
> > > wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > > V
>  >  >  
> > > Lässt sich damit etwas anfangen?
>  >  
> > Ja. Du bist fast am Ziel.
> >
> > Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.

  

> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.

  

>  Das habe ich verstanden.


>  
>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

  

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

> Soweit ist es mir klar.

  

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

  

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


> So und hier steige ich jetzt leider aus.
> Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert > [mm]x_{0}[/mm] enthält,

Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm] v_0 \in [/mm] L.

Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen bedeutet.



> wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]

Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.


> Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen,

Was ist denn K ?????


>  weil V offen

V ist nur dann offen, wenn V= [mm] \IR^n [/mm] ist !

> und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ?


> Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer Unterraum des [mm] \IR^n [/mm] und daher abgeschlossen.



> Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L $ [mm] \cap [/mm] $ V $ [mm] =\emptyset [/mm] $  einfach weg.


>  >  

  

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

>  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


( [mm] v_{n_k}) [/mm] und [mm] (x_{n_k}) [/mm] sind konvergent, also ist [mm] (l_{n_k}) [/mm] konvergent.


> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

  
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
  

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

  

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

  

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

  

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]

  

> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.

  

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

  >  

>  




Bezug
                                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234

Hallo Fred,

oh, das tut mir leid, ich war scheinbar nicht ganz bei der Sache und habe Fehler eingebaut - ich korrigiere es unten noch mal. Ich habe von K statt von L gesprochen und von [mm] x_{0} [/mm] statt von [mm] v_{0}. [/mm]

> > Sei L [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein kompakter, nichtleerer und
> > konvexer Unterraum, V  [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] ein linearer
> > Unterraum, L [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]
>  >  Zeige, dass M := L-V = [mm]\{x \in \IR^{n} : \exists (l, v) \exists L xV: x= l-v \}[/mm]
> > geschlossen, konvex und nichtleer ist.
>  >  Ich weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll, bisher
> > habe ich:
>  >  
> > [mm]\forall \delta \in[/mm] [0,1] , x, y [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > [mm]x=l_{1}- v_{1}[/mm] , [mm]y=l_{2}- v_{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
> In diesem Schritt willst Du doch die Konvexität von M
> zeigen.
>
> Du willst also zeigen(!): [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>  
>
> >  [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm]

>  
>  Hier fehlen Klammern !

Richtig, die habe ich vergessen abzutippen.

>  
> [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M
>   [mm]=\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2}[/mm] - ( [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2}[/mm])
>  
> Richtig ist
>  >  
> > wobei  [mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L, [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm]
> > V
>  >  
> > Lässt sich damit etwas anfangen?
>  
> Ja. Du bist fast am Ziel.
>
> Es ist [mm][mm]\delta l_{1}+(1-\delta) l_{2} \in[/mm] L , weil L konvex >ist. Es ist  [mm]\delta v_{1}+(1-\delta) v_{2} \in[/mm] [mm]\in[/mm] V, >weil V ein linearer Unterraum ist.

> Damit ist : [mm]\delta[/mm] x + [mm](1-\delta)[/mm] y [mm]\in[/mm] M.

Das habe ich verstanden.


>  
>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

Soweit ist es mir klar.

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.


So und hier steige ich jetzt leider aus.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert [mm] v_{0} [/mm] enthält, wenn L [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset [/mm]
Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in L liegen, weil V offen und L abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ? Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

weil [mm] x_{n} [/mm] und [mm] v_{n} [/mm] konvergent sind?

> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.


>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]


> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.


>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>  

>  



Bezug
                                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> oh, das tut mir leid, ich war scheinbar nicht ganz bei der
> Sache und habe Fehler eingebaut - ich korrigiere es unten
> noch mal. Ich habe von K statt von L gesprochen und von
> [mm]x_{0}[/mm] statt von [mm]v_{0}.[/mm]

Ich hab mir schon gedacht, dass Du K statt L und [mm] x_0 [/mm] statt [mm] v_0 [/mm] geschrieben hast.

Alle weiteren Fragen habe ich Dir schon beantwortet !!

Bezug
                                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234


>  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

  

> Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit

> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

  

> Soweit ist es mir klar.

  

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist

  

> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.

  

> So und hier steige ich jetzt leider aus.
> Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert > [mm]x_{0}[/mm] enthält,

> Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.

Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen. Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich denke, ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.

Danke für deine Mühe.


> Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen bedeutet.



> wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]

Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.


> Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V. Dass der  
> Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der Grenzwert von V in K liegen,

> Was ist denn K ?????


>  weil V offen

> V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !

> und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber abgeschlossen, oder ?


> Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.



> Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium ist schon

> etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man merkt)

> Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L > [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]  einfach weg.


>  >  

> Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent

>  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

> Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für > alle k.


> ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist > [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.


> und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also

  
[mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
  

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir > fertig.

  

> Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm] V.

  

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.

  

>  

> Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.

  

> Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]

  

> Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] > haben wir nicht benötigt.

  

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

   >  

>  





Bezug
                                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> >  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

>    
> > Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> > [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
>    
> > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
>
> > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>    
> > Soweit ist es mir klar.
>    
> > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge
> > [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>    
> > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.
>    
>
> > So und hier steige ich jetzt leider aus.
> > Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert >
> [mm]x_{0}[/mm] enthält,
>
> > Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
>
> Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir
> leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen.
> Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.

Wie habt Ihr denn Kompaktheit in metrischen Räumen definiert bzw. charakterisiert ?

Sei (X;d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.

Dann gilt: A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] jede Folge in A enthält eine konvergente Teilfolg mit Grenzwert in A.

In Deiner Aufgabe ist ist X= [mm] \IR^n, [/mm] d die übliche euklidische Distanz, A=L und [mm] (a_n)=(v_n). [/mm]






>  Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die
> Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V
> leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es
> nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L
> abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
>  Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich denke,
> ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
>  
> Danke für deine Mühe.
>  
>
> > Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen
> bedeutet.
>  
>
>
> > wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
>
> Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L
> [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.
>  
>
> > Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V.
> Dass der  
> > Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass
> die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der
> Grenzwert von V in K liegen,
>  
> > Was ist denn K ?????
>  
>
> >  weil V offen

>
> > V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
>  
> > und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber
> abgeschlossen, oder ?
>
>
> > Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer
> Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
>  
>
>
> > Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium
> ist schon
>   > etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie man

> merkt)
>  
> > Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L >
> [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]  einfach weg.
>  
>
> >  >  

>
> > Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
>
> >  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

>  
> > Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für
> > alle k.
>  
>
> > ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist >
> [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
>  
>
> > und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
>    
> [mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
>    
> > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> sind wir > fertig.
>    
> > Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen
> normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm]
> V.
>    
> > Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.
>    
>
> >  

>
> > Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
>    
> > Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M
> und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
>    
>
> > Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] >
> haben wir nicht benötigt.
>    
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>     >  
> >  

>
>
>
>  


Bezug
                                                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 10.02.2020
Autor: kiwi_1234


> > >  Wie zeige ich die Abgeschlossenheit?

>  >    
> > > Z.B. so: sei [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Folge in M und
> > > [mm]x_0[/mm] ihr Grenzwert. Zu zeigen ist [mm]x_0 \in[/mm] M.
>  >    
> > > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> >
> > > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>  >    
> > > Soweit ist es mir klar.
>  >    
> > > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge
> > > [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>  >    
> > > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.
>  >    
> >
> > > So und hier steige ich jetzt leider aus.
> > > Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wieso L den Grenzwert >
> > [mm]x_{0}[/mm] enthält,
> >
> > > Das hat doch niemand gesagt ! Gesagt habe ich: [mm]v_0 \in[/mm] L.
> >
> > Es tut mir wirklich leid, aber dieser Schritt ist mir
> > leider vollkommen unklar. Den Rest kann ich nachvollziehen.
> > Ich weiß nicht, wieso [mm]v_0 \in[/mm] L gilt.
>  
> Wie habt Ihr denn Kompaktheit in metrischen Räumen
> definiert bzw. charakterisiert ?


Mein Studium liegt ein paar Jahre zurück. Ich beschäftige mich eben mit Finanzmathematik, weil es mich interessiert - da bin ich auf die Aufgabe gestoßen. Daher fehlen mir einige Grundkenntnisse.

Wie ich jetzt aus den beiden Mitteilungen entnehme:

Es ist nicht  [mm]v_0 \in[/mm] L sondern  [mm]l_0 \in[/mm] L ?
Dann hätten sich meine Fragen erübrigt.
Denn mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wieso  [mm]v_0 \in[/mm] L, wo meiner Meinung nach gelten sollte  [mm]v_0 \in[/mm] V

Ich hoffe, das ist es nun. Dann wäre mir der Lösungsweg klar.

Danke an alle Beteiligten ;)


>  
> Sei (X;d) ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von X.
>  
> Dann gilt: A ist kompakt [mm]\gdw[/mm] jede Folge in A enthält eine
> konvergente Teilfolg mit Grenzwert in A.
>  
> In Deiner Aufgabe ist ist X= [mm]\IR^n,[/mm] d die übliche
> euklidische Distanz, A=L und [mm](a_n)=(v_n).[/mm]
>  
>
>
>
>
>
> >  Ich weiß, dass du mir gesagt hast, dass wir die

> > Eigenschaft nicht benutzen, dass der Schnitt von L und V
> > leer ist. Aber genau da liegt mein Problem, wieso ich es
> > nicht verstehe, wenn der Schnitt leer ist, V und L
> > abgeschlossen sind, wieso ist dann [mm]v_0 \in[/mm] L?
>  >  Ich will nur erklären, wo mein Problem liegt - ich
> denke,
> > ich habe da irgendwas Grundlegendes nicht verstanden.
>  >  
> > Danke für deine Mühe.
>  >  
> >
> > > Schau nochmal nach, was Kompaktheit in metrischen Räumen
> > bedeutet.
>  >  
> >
> >
> > > wenn L [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]
> >
> > Ich habe Dir in meiner ersten Antwort gesagt, dass man  L
> > [mm]\cap[/mm] V = [mm]\emptyset[/mm]  nicht benötigt.
>  >  
> >
> > > Ich glaube, ich habe eine falsche Vorstellung von L und V.
> > Dass der  
> > > Schnitt leer ist, kann ich mir bildlich so vorstellen, dass
> > die "Ränder" > aneinander grenzen? Und daher muss der
> > Grenzwert von V in K liegen,
>  >  
> > > Was ist denn K ?????
>  >  
> >
> > >  weil V offen

> >
> > > V ist nur dann offen, wenn V= [mm]\IR^n[/mm] ist !
>  >  
> > > und K abgeschlossen ist (Nachtrag: V ist aber
> > abgeschlossen, oder ?
> >
> >
> > > Ja, das habe ich Dir doch schon gesagt. V ist ein linearer
> > Unterraum des [mm]\IR^n[/mm] und daher abgeschlossen.
>  >  
> >
> >
> > > Dann verstehe ich es leider noch weniger) ? (Mein Studium
> > ist schon
>  >   > etwas her, ich bin da nicht mehr ganz so fit, wie

> man
> > merkt)
>  >  
> > > Was soll das Ganze ? Lass doch den Schnickschnack mit  L >
> > [mm]\cap[/mm] V [mm]=\emptyset[/mm]  einfach weg.
>  >  
> >
> > >  >  

> >
> > > Damit ist ( [mm]l_{n_k})[/mm] konvergent
> >
> > >  weil [mm]x_{n}[/mm] und [mm]v_{n}[/mm] konvergent sind?

>  >  
> > > Das ist mühsam ! Wir haben  [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für
> > > alle k.
>  >  
> >
> > > ( [mm]v_{n_k})[/mm] und [mm](x_{n_k})[/mm] sind konvergent, also ist >
> > [mm](l_{n_k})[/mm] konvergent.
>  >  
> >
> > > und hat den Grenzwert >[mm]l_0:=x_0+v_0,[/mm] also
>  >    
> > [mm]x_0=l_0-v_0.[/mm]
>  >    
> > > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> > sind wir > fertig.
>  >    
> > > Jeder lineare Unterraum eines endlichdimensionalen
> > normierten Raumes > ist abgeschlossen !  Damit ist [mm]l_0 \in[/mm]
> > V.
>  >    
> > > Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.
>  >    
> >
> > >  

> >
> > > Jetzt ist noch zu zeigen, dass M [mm]\ne \emptyset[/mm] ist.
>  >    
> > > Das ist aber einfach: wegen 0 [mm]\in[/mm] V ist L [mm]\subseteq[/mm]  > M
> > und L [mm]\ne \emptyset.[/mm]
>  >    
> >
> > > Noch eine Bemerkung: die Voraussetzung [mm]L \cap V=\emptyset[/mm] >
> > haben wir nicht benötigt.
>  >    
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
>  >     >  
> > >  

> >
> >
> >
> >  

>  


Bezug
                                                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mo 10.02.2020
Autor: fred97

Es tut mir leid, dass ich für Verwirrung bei Dir gesorgt habe.

Dass Dir nun alles klar ist,  freut mich.

Gruß  Fred

Bezug
                
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Mo 10.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

> Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.

> L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge [mm](v_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
> [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.

Hier muss ich mal kurz zwischengrätschen.
Kann es sein, dass du hier mit der Notation etwas durcheinander kommst?

Es ist doch: [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
Damit ist insbesondere: [mm]l_n = x_n + v_n[/mm]

Nun kann man damit argumentieren, dass L kompakt ist und damit [mm] $l_n$ [/mm] (und nicht [mm] $v_n$) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] $l_{n_k}$ [/mm] besitzt für die gilt:
[mm]l_{n_k} = x_{n_k} + v_{n_k}[/mm]

Nach Vorausetzung ist [mm] x_{n_k} [/mm] sowieso konvergent und damit auch [mm] $v_{n_k}$ [/mm] mit [mm] $v_0 [/mm] = [mm] l_0 [/mm] - [mm] x_0$ [/mm]

> Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist, sind wir fertig.

[mm] l_0 [/mm] wird im allgemeinen ja nicht in V sein, sondern in L.
Aber dass [mm] v_0 [/mm] in V liegt, liegt an der Abgeschlossenheit von $V$

> Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Konvex und Abgeschlossenheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Mo 10.02.2020
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> > Es gibt Folgen [mm](l_n)[/mm] in L und [mm](v_n)[/mm] in V mit
> > [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>  
> > L ist kompakt, also enthält [mm](v_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm](v_{n_k})[/mm] mit Grenzwert [mm]v_0 \in[/mm] L. Dann ist
>  > [mm]l_{n_k}=x_{n_k}+v_{n_k}[/mm]  für alle k.

>  
> Hier muss ich mal kurz zwischengrätschen.
>  Kann es sein, dass du hier mit der Notation etwas
> durcheinander kommst?

Hallo Gono,

Du hast recht !

>
> Es ist doch: [mm]x_n =l_n-v_n[/mm] für alle n.
>  Damit ist insbesondere: [mm]l_n = x_n + v_n[/mm]
>  
> Nun kann man damit argumentieren, dass L kompakt ist und
> damit [mm]l_n[/mm] (und nicht [mm]v_n[/mm]) eine konvergente Teilfolge
> [mm]l_{n_k}[/mm] besitzt für die gilt:
>  [mm]l_{n_k} = x_{n_k} + v_{n_k}[/mm]


Ja, genau so hab ich das gemeint (und leider verdaddelt)


Danke für die Richtigstellung.

Gruß FRED

>  
> Nach Vorausetzung ist [mm]x_{n_k}[/mm] sowieso konvergent und damit
> auch [mm]v_{n_k}[/mm] mit [mm]v_0 = l_0 - x_0[/mm]
>  
> > Wenn wir jetzt noch zeigen können, dass [mm]l_0 \in[/mm] V ist,
> sind wir fertig.
>  [mm]l_0[/mm] wird im allgemeinen ja nicht in V sein, sondern in L.
>  Aber dass [mm]v_0[/mm] in V liegt, liegt an der Abgeschlossenheit
> von [mm]V[/mm]
>  
> > Fazit:  [mm]x_0 \in[/mm] M.
>  [ok]
>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]