Konvergiert die Folge ... < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 14.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Konvergiert die Folge [mm] (a_{n}), [/mm] wenn
(i) [mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n}
[/mm]
(ii) [mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2
[/mm]
(iii) [mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2}
[/mm]
(iv) [mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}
[/mm]
Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert! |
Hallo!
Ich wollte mir mal weitere Denkanstöße holen und mein bislang gerechnetes "vorstellen".
zur (i)
[mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{n(n-1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n-1}
[/mm]
somit konvergieret [mm] a_{n} [/mm] doch gegen [mm] \infty [/mm] oder??
zur (ii)
[mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2
[/mm]
Hier teile ich in 2 Teilhälften auf.
[mm] b_{2n}=(100+\bruch{1}{n})^2
[/mm]
[mm] b_{2n-1}=(100-\bruch{1}{n})^2
[/mm]
Mit der bin. Formel ausmultiplizieren
[mm] b_{2n}=10000 [/mm] + [mm] 2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2
[/mm]
[mm] b_{2n-1}=10000 [/mm] - [mm] 2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2
[/mm]
Hier konvergiert [mm] a_{n} [/mm] doch gegen 10 000 oder??
zur (iii) hab ich leider noch keine Idee
zur (iv)
[mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}=\bruch{n^3(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^3})}{n^3(3-\bruch{1}{n^2}+\bruch{800}{n^3})}
[/mm]
Da die ganzen Brüche mit n gegen 0 gehen haben wir ja nur noch [mm] \bruch{0,5}{3}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6} [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Konvergiert die Folge [mm](a_{n}),[/mm] wenn
>
> (i) [mm]a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n}[/mm]
>
> (ii) [mm]a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2[/mm]
>
> (iii) [mm]a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2}[/mm]
>
> (iv) [mm]a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}[/mm]
>
> Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert!
> Hallo!
> Ich wollte mir mal weitere Denkanstöße holen und mein
> bislang gerechnetes "vorstellen".
>
> zur (i)
> [mm]a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{n(n-1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{n-1}[/mm]
> somit konvergieret [mm]a_{n}[/mm] doch gegen [mm]\infty[/mm] oder??
Falsch. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1+1/n}{1-1/n} [/mm] strebt gegen was ?
>
>
> zur (ii)
> [mm]a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2[/mm]
> Hier teile ich in 2 Teilhälften auf.
Wozu ? [mm] \bruch{1}{n}(-1)^n [/mm] ist eine Nullfolge [mm] (|\bruch{1}{n}(-1)^n| [/mm] = 1/n)
> [mm]b_{2n}=(100+\bruch{1}{n})^2[/mm]
> [mm]b_{2n-1}=(100-\bruch{1}{n})^2[/mm]
> Mit der bin. Formel ausmultiplizieren
>
> [mm]b_{2n}=10000[/mm] + [mm]2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2[/mm]
> [mm]b_{2n-1}=10000[/mm] - [mm]2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2[/mm]
>
> Hier konvergiert [mm]a_{n}[/mm] doch gegen 10 000 oder??
Ja
>
>
> zur (iii) hab ich leider noch keine Idee
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2} [/mm] = [mm] (1/n^2)\summe_{k=1}^{n}k [/mm] = [mm] (1/n^2)\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Hilft das ?
>
>
> zur (iv)
>
> [mm]a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}=\bruch{n^3(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^3})}{n^3(3-\bruch{1}{n^2}+\bruch{800}{n^3})}[/mm]
> Da die ganzen Brüche mit n gegen 0 gehen haben wir ja nur
> noch [mm]\bruch{0,5}{3}=\bruch{1}{6}[/mm]
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6}[/mm] oder?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 14.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
ok schonmal vielen Dank.
Somit wären die Lösungen also:
(i)$ [mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n} [/mm] $
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=1
[/mm]
(ii)$ [mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2 [/mm] $
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=10000
[/mm]
(iii)$ [mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2} [/mm] $
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0
[/mm]
(iv)$ [mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800} [/mm] $
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6}
[/mm]
so sollte doch nun alles stimmen, oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 14.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> > (iii)[mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hast Du mal Fred's Tipp beachtet und den
> entsprechenden Bruch umgeformt?
Öhm ja, hab ich eigentlich gedacht :D
Das [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] hat mich dazu verleitet zu meinen, dass es gegen 0 geht ...
Hmm aber irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{1}{n^2}\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^2+n}{2n^2}
[/mm]
Gegen was strebt das ????
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 14.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Donnerwetter, herzlichen Glückwunsch
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Di 14.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
vielen Dank :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Bitte schön
FRED
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
