Konvergenzverhalten Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Freddy33 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge: [mm] a_n (\bruch{5}{4},-1,\bruch{6}{5},-1, \bruch{7}{6},-1,....)
[/mm]
a) Welches Konvergenzverhalten vermuten Sie?
b) Beweisen Sie Ihre Vermutung aus a), ist die Folge eine Cauchy- Folge? |
Hallo Community,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
Meine Überlegung bis jetzt war:
Wenn man die Glieder der Folge ansieht wechseln die Glieder immer zwischen -1 und einem Bruch nahe 1. Wenn man die Glieder nach dem Schema weiterführen würde, käme man von oben immer näher an 1.
Daraus habe ich geschlossen, dass die Folge divergent ist. Damit wäre Sie ja auch keine Cauchyfolge.
Liege ich mit der Vermutung richtig?
Zum Beweis:
Wenn die Folge konvergent wäre, dann müsste gelten:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists [/mm] N : [mm] |a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
Aber wie soll ich das beweisen, wenn ich garnicht die Formel zum Berechnen der Glieder habe?
Ich würde mich über eure Hilfe echt freuen.
MfG,
Freddy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Gegeben sei die Folge: [mm]a_n (\bruch{5}{4},-1,\bruch{6}{5},-1, \bruch{7}{6},-1,....)[/mm]
>
> a) Welches Konvergenzverhalten vermuten Sie?
> b) Beweisen Sie Ihre Vermutung aus a), ist die Folge eine
> Cauchy- Folge?
> Hallo Community,
>
> ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
Hallo Freddy,
> Meine Überlegung bis jetzt war:
> Wenn man die Glieder der Folge ansieht wechseln die
> Glieder immer zwischen -1 und einem Bruch nahe 1. Wenn man
> die Glieder nach dem Schema weiterführen würde, käme man
> von oben immer näher an 1.
> Daraus habe ich geschlossen, dass die Folge divergent ist.
> Damit wäre Sie ja auch keine Cauchyfolge.
> Liege ich mit der Vermutung richtig?
Ja, damit liegst du richtig.
> Zum Beweis:
> Wenn die Folge konvergent wäre, dann müsste gelten:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists[/mm] N : [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
> Aber wie soll ich das beweisen, wenn ich garnicht die
> Formel zum Berechnen der Glieder habe?
Wenn du unbedingt eine Fomel für die Folgenglieder haben willst, nimm z.B. [mm]a_n := 1+\sin^2\left(n\cdot\frac \pi 2\right)\cdot \frac{1}{n+3} -2\cdot\cos^2\left(n\cdot\frac\pi 2\right)[/mm], [mm]n=1,2,3\ldots[/mm].
Ich würde hier mit dem Cauchy-Kriterium arbeiten und dabei [mm]\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}-a_n\right|=2[/mm] verwenden.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Freddy33 |
Hallo Fulla,
erstmal danke für deine Antwort.
Nachdem ich die Formel sehen denke ich nicht das es gefordert war diese zu bestimmen :)
Wenn die Folge konvergent sein würde, müsste dann beim Cauchy-Kriterium 0 rauskommen?
MfG,
Freddy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Hallo Fulla,
> erstmal danke für deine Antwort.
> Nachdem ich die Formel sehen denke ich nicht das es
> gefordert war diese zu bestimmen :)
> Wenn die Folge konvergent sein würde, müsste dann beim
> Cauchy-Kriterium 0 rauskommen?
Hallo Freddy,
man kann die Folgenglieder sicher noch anders darstellen, aber wirklich nötig ist das nicht.
Das Cauchy-Kriterium sagt sinngemäß, dass die Folge konvergent ist, wenn zwei Folgenglieder (nicht unbedingt direkt aufeinanderfolgend) bei entsprechend großem Index beliebig nahe zusammenliegen.
Einen Wiederspruchsbeweis kannst du so anfangen:
Angenommen, die Folge ist konvergent. Dann gilt gemäß Cauchy-Kriterium:
[mm]\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in\mathbb N\quad \forall m,n\ge N:\quad |a_m -a_n |<\varepsilon[/mm]
Wähle dann ein konkretes Epsilon (z.B. [mm] $\varepsilon=1$) [/mm] und zeige/begründe dann, dass es kein solches N geben kann so, dass für alle m,n die Bedingung gilt.
Dabei kann dir der Grenzwert aus meiner ersten Antwort weiterhelfen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Freddy33 |
Hallo Fulla,
danke für deine Antwort.
Ich denke ich habe die Lösung der Aufgabe jetzt verstanden.
Vielen Dank für deine Hilfe!
MfG,
Freddy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Sa 10.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Annahme: [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent. Sei a ihr Limes.
Wegen [mm] a_{2n}=-1 [/mm] für alle n und [mm] a_{2n} \to [/mm] a, folgt a=-1.
Wegen [mm] a_{2n-1}>0 [/mm] für alle n und [mm] a_{2n-1} \to [/mm] a, folgt a [mm] \ge [/mm] 0.
Das ist Quark !
FRED
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