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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Fr 17.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] x_k\subset \IR [/mm] sei linear konvergent gegen [mm] \overline{x}\in \IR, [/mm] d.h. es gelte
[mm] x_{k+1}-\overline{x}=(q+\epsilon_k)(x_k-\overline{x}), [/mm] |q|<1, [mm] \epsilon_k \to [/mm] 0.
Zeigen Sie:
Gilt [mm] x_k\not= \overline{x}, [/mm] so ist für genügend großes k die Folge
[mm] z_k:=x_k-\bruch{(x_{x+1}-x_k)^2}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k} [/mm] wohldefiniert und es gilt
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{z_k-\overline{x}}{x_k-\overline{x}}=0.
[/mm]
Hinweis:
Setzen Sie [mm] e_k:=x_k-\overline{x} [/mm] und verwenden Sie auch
[mm] x_{k+1}-x_k\overbrace{=}^{?}e_{k+1}-e_k
[/mm]
[mm] x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k\overbrace{=}^{?}e_{k+2}-2e_{k+1}+e_k. [/mm] |
Hallo, ich bins schon wieder!
Wieder benötige ich Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe.
Für den zweiten Teil der Aufgabe habe ich meine Idee bereits in der untenstehenden Mitteilung aufgeschrieben.
Was aber die Wohldefiniertheit betrifft, habe ich eine Frage:
Was bedeutet denn Wohldefiniertheit im Zusammenhang mit Folgen überhaupt und was muss ich also für die obige Folge zeigen, damit gezeigt ist, dass sie wohldefiniert ist?
[Ich kenne den Begriff nur bzgl. Abbildungen.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Fr 17.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich denke, den zweiten Teil des Beweises habe ich einigermaßen hinbekommen:
zu zeigen:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{z_k-\overline{x}}{x_k-\overline{x}}=0
[/mm]
Beweis:
Setze (wie im Hinweis angegeben) [mm] e_k:=x_k-\overline{x} [/mm] sowie [mm] q_k:=\bruch{x_{k+1}-\overline{x}}{x_k-\overline{x}}.
[/mm]
Dann gilt für [mm] k\rightarrow\infty[/mm] [mm] q_k \rightarrow q [/mm] und [mm] e_{k+1}=q_ke_k [/mm] für alle k.
Somit gilt hiermit dann:
[mm] z_k-\overline{x}=e_k-\bruch{(e_k+1-e_k)^2}{e_{k+2}-2e_{k+1}+e_k}, [/mm] das heißt [mm] \bruch{z_k-\overline{x}}{e_k}=1-\bruch{e_k^2(q_k-1)^2}{e_k(q_{k+1}q_ke_k-2q_ke_k+e_k)}=1-\bruch{(q_k-1)^2}{q_{k+1}q_k-2q_k+1}\rightarrow1-\bruch{(q-1)^2}{q^2-2q+1}=0
[/mm]
[Bemerkung: Die unteren Gleichungen aus dem Hinweis in der Aufgabenstellung sind erfüllt, wenn [mm] e_k [/mm] und [mm] q_k [/mm] wie oben definiert werden.]
Bleibt noch übrig, die Wohldefiniertheit der Folge [mm] (z_k)_{k\in \IN} [/mm] zu zeigen.
Hierzu habe ich gar keine Idee, wie man das zeigen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Sa 18.12.2010 | | Autor: | max3000 |
> Die Folge [mm]x_k\subset \IR[/mm] sei linear konvergent gegen
> [mm]\overline{x}\in \IR,[/mm] d.h. es gelte
> [mm]x_{k+1}-\overline{x}=(q+\epsilon_k)(x_k-\overline{x}),[/mm]
> |q|<1, [mm]\epsilon_k \to[/mm] 0.
>
> Zeigen Sie:
> Gilt [mm]x_k\not= \overline{x},[/mm] so ist für genügend großes
> k die Folge
>
> [mm]z_k:=x_k-\bruch{(x_{x+1}-x_k)^2}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k}[/mm]
> wohldefiniert und es gilt
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{z_k-\overline{x}}{x_k-\overline{x}}=0.[/mm]
>
> Hinweis:
> Setzen Sie [mm]e_k:=x_k-\overline{x}[/mm] und verwenden Sie auch
> [mm]x_{k+1}-x_k\overbrace{=}^{?}e_{k+1}-e_k[/mm]
>
> [mm]x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k\overbrace{=}^{?}e_{k+2}-2e_{k+1}+e_k.[/mm]
>
>
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> Hallo, ich bins schon wieder!
Hallo
> Wieder benötige ich Hilfe bei der Lösung dieser
> Aufgabe.
Ohne dir jetzt zu nahe treten zu wollen, aber wann hast du das letzte mal eine Übungsaufgabe allein gemacht? Mathe-Studium ist auch viel Selbststudium und das bedeutet, dass du, wenn du mit den Vorlesungsmitschriften nicht hin kommst, auch mal in einigen Büchern lesen solltest um dich damit weiter zu bilden. Ich glaube dir bringt das selber nicht viel, wenn dir in diesem Forum immer nur alles vorgerechnet wird. Oder wie lange hast du dir über diese Aufgabe Gedanken gemacht?
> Für den zweiten Teil der Aufgabe habe ich meine Idee
> bereits in der untenstehenden Mitteilung aufgeschrieben.
>
> Was aber die Wohldefiniertheit betrifft, habe ich eine
> Frage:
>
> Was bedeutet denn Wohldefiniertheit im Zusammenhang mit
> Folgen überhaupt und was muss ich also für die obige
> Folge zeigen, damit gezeigt ist, dass sie wohldefiniert
> ist?
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Wohldefiniertheit
Da steht unter anderem:
"In einem weiteren Sinn wird Wohldefiniertheit auch auf andere Bereiche ausgedehnt. Sie bezeichnet dann eine sinnvolle und widerspruchsfreie Definition. Synonym für „nicht wohldefiniert“ in diesem Sinn werden auch „nicht definiert“ oder „nicht vollständig definiert“ gebraucht."
und im Abschnitt "Definitionsbereich einer Funktion" steht auch, dass zum Beispiel eine Funktion wohldefiniert ist, wenn die Funktion auf alle Elemente des Definitionsbereichs angewendet werden kann. Zum Beispiel ist [mm] f:[-1,1]\to\IR, [/mm] f(x)=1/x nicht wohldefiniert, weil die Funktion für x=0 nicht definiert ist.
Ich denke genau diese Tatsache musst du auch für deine Folge [mm] z_k [/mm] ausschließen.
Darum nehme einfach mal an, dass [mm] x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k=0 [/mm] gilt.
Es gilt:
[mm] x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k
[/mm]
[mm] =e_{k+2}-2e_{k+1}+e_k
[/mm]
und außerdem
[mm] e_{k+1}=(q+\epsilon_k)e_k
[/mm]
[mm] e_{k+2}=(q+\epsilon_{k+1})e_{k+1}=(q+\epsilon_{k+1})(q+\epsilon_k)e_k
[/mm]
Das ganze oben einsetzen, dann kommst du auf
0=
[mm] =x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k
[/mm]
[mm] =((q+\epsilon_{k+1})(q+\epsilon_k)-2(q+\epsilon_k)+1)e_k
[/mm]
Das ganze führst du jetzt zum Widerspruch, indem du zeigst, dass daraus nur [mm] e_k=0 [/mm] (also [mm] x_k=\bar{x}) [/mm] folgen kann. Und das steht ja im Widerspruch zur Vorraussetzung [mm] x_k\ne\bar{x}.
[/mm]
Mit anderen Worten:
Zeige, dass [mm] ((q+\epsilon_{k+1})(q+\epsilon_k)-2(q+\epsilon_k)+1) [/mm] nicht 0 sein kann.
Noch ein Hinweis: Genügend großes k bedeutet auch genügend kleines [mm] \epsilon_k.
[/mm]
> [Ich kenne den Begriff nur bzgl. Abbildungen.]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Sa 18.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Ohne dir jetzt zu nahe treten zu wollen, aber wann hast du
> das letzte mal eine Übungsaufgabe allein gemacht?
Das ist gar nicht so lange her:
Bei dieser Aufgabe habe ich z.B. den ersten Teil komplett alleine gelöst (s.o.).
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