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Konvergenzradius einer Reihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:14 Mi 14.09.2011
Autor: Sabine...

Aufgabe
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n [/mm]

Hi,

ich wollte wissen, ob folgendes richtig ist:

Zuerst einmal habe ich gesehen, dass die Reihe für x=0 auf jeden Fall konvergiert und für x=2 divergiert.

Anwendung des Quotientenkriteriums:

[mm] \left| \bruch{\bruch{(n+1)^3*x^{n+1} }{2^{n+1}}}{\bruch{n^3*x^n}{2^n}} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{(n+1)^3*x}{2*n^3^}\right| [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^3}{n^3} \frac{\left|x\right|}{2} \to \frac{\left|x\right|}{2} [/mm] < 1 für [mm] \left|x\right| [/mm] < 2

Also konvergiert die Reihe für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \left|x\right| [/mm] < 2.

Stimmt das so?

Vielen Dank!

        
Bezug
Konvergenzradius einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:55 Mi 14.09.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n[/mm]
>  Hi,
>  
> ich wollte wissen, ob folgendes richtig ist:
>  
> Zuerst einmal habe ich gesehen, dass die Reihe für x=0 auf
> jeden Fall konvergiert und für x=2 divergiert.

ja, richtig.

>  
> Anwendung des Quotientenkriteriums:
>  
> [mm]\left| \bruch{\bruch{(n+1)^3*x^{n+1} }{2^{n+1}}}{\bruch{n^3*x^n}{2^n}} \right|[/mm]
> = [mm]\left| \bruch{(n+1)^3*x}{2*n^3^}\right|[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^3}{n^3} \frac{\left|x\right|}{2} \to \frac{\left|x\right|}{2}[/mm]
> < 1 für [mm]\left|x\right|[/mm] < 2
>  
> Also konvergiert die Reihe für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit
> [mm]\left|x\right|[/mm] < 2.
>  
> Stimmt das so?

Ja, wenn mans ganz genau nimmt, konvergiert die Reihe absolut für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left|x\right|< [/mm] 2$ und divergiert für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\left|x\right|> [/mm] 2$. Was für x=2 passiert hast Du ja schon erwähnt, jetzt fehlt noch eine Aussage zu x=-2 um alle reellen Zahlen abzudecken.

>  
> Vielen Dank!

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:29 Mi 14.09.2011
Autor: Sabine...

Stimmt, für x = -2 gilt ja:

[mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}(-2)^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n^3*(-1)^n [/mm]

Da [mm] (a_n):=n^3*(-1)^n [/mm] keine Nullfolge ist, kann die Reihe für x = -2 nicht konvergieren.

Also: Konvergenz für alle |x| < 2, sonst Divergenz.

Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 14.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Sabine...,


> Stimmt, für x = -2 gilt ja:
>  
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}x^n[/mm] =  [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^3}{2^n}(-2)^n[/mm] =  [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n^3*(-1)^n[/mm] [ok]
>  
> Da [mm](a_n):=n^3*(-1)^n[/mm] keine Nullfolge ist, kann die Reihe
> für x = -2 nicht konvergieren.

Ganz genau!

>  
> Also: Konvergenz für alle |x| < 2, sonst Divergenz.
>  
> Stimmt das?

Ja, sehr schön!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:42 Mi 14.09.2011
Autor: Sabine...

Vielen Dank!

Bezug
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