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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Prot |
| Aufgabe | | Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $\summe_{i=0}^{\infty}{b_n x^n}$. [/mm] Bestimmen Sie den konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $\summe_{i=0}^{\infty}{ (-1)^n b_n x^n}$. [/mm] |
Zuerst habe ich umgeformt mit:
[mm] $\summe_{i=0}^{\infty}{(-1)^n \cdot b_n \cdot (x+0)^n}$.
[/mm]
Der Konvergenzradius R ist definiert als:
$R= [mm] \frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{|b_n|}}}$
[/mm]
Nun setze ich [mm] $b_n$ [/mm] ein, welches positiv oder negativ sein kann aufgrund von [mm] $(-1)^n$. [/mm] Das ist hier aber egal da für die Berechnung des Radius der Betrag von [mm] $b_n$ [/mm] genommen wird.
Also:
$R= [mm] \frac{1}{\wurzel[n]{|b_n|}}$
[/mm]
Ist das richtig so? Danke im Voraus.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 29.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{b_n x^n}[/mm]. Bestimmen Sie den
> konvergenzradius der Potenzreihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{ (-1)^n b_n x^n}[/mm].
>
> Zuerst habe ich umgeformt mit:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{(-1)^n \cdot b_n \cdot (x+0)^n}[/mm].
>
> Der Konvergenzradius R ist definiert als:
>
> [mm]R= \frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{|b_n|}}}[/mm]
nein sondern
[mm]R= \frac{1}{\limes \sup_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{|b_n|}}}[/mm]
>
> Nun setze ich [mm]b_n[/mm] ein, welches positiv oder negativ sein
> kann aufgrund von [mm](-1)^n[/mm]. Das ist hier aber egal da für
> die Berechnung des Radius der Betrag von [mm]b_n[/mm] genommen wird.
>
> Also:
>
> [mm]R= \frac{1}{\wurzel[n]{|b_n|}}[/mm]
???
>
>
> Ist das richtig so?
nein. Setze [mm] a_n:= (-1)^n b_n [/mm]
Dann ist [mm] |a_n|=|b_n| [/mm] für alle n.
Fertig.
FRED
> Danke im Voraus.
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{b_n x^n}[/mm]. Bestimmen Sie den
> konvergenzradius der Potenzreihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{ (-1)^n b_n x^n}[/mm].
achte bitte darauf, dass Du uns kein i für ein n vormachst (unter dem Summenzeichen
gehört etwa immer [mm] $n=...\,$ [/mm] hin!)
> Zuerst habe ich umgeformt mit:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{(-1)^n \cdot b_n \cdot (x+0)^n}[/mm].
Wozu?
> Der Konvergenzradius R ist definiert als:
>
> [mm]R= \frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{|b_n|}}}[/mm]
Siehe Freds Antwort! (Limsup gehört in den Nenner!)
> Nun setze ich [mm]b_n[/mm] ein, welches positiv oder negativ sein
> kann aufgrund von [mm](-1)^n[/mm]. Das ist hier aber egal da für
> die Berechnung des Radius der Betrag von [mm]b_n[/mm] genommen wird.
>
>
> Also:
>
> [mm]R= \frac{1}{\wurzel[n]{|b_n|}}[/mm]
Hier hast Du schonmal einen Lim(sup) verschlampt.
> Ist das richtig so? Danke im Voraus.
Nur nochmal, damit das ganze klar(er) wird:
Gegeben ist [mm] $\summe_{\red{n}=0}^{\infty}{b_n x^n}$ [/mm] mit Konvergenzradius [mm] $R=1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|b_n|}\,.$
[/mm]
Mit [mm] $a_n:=(-1)^n*b_n$ [/mm] ist per Definitionem der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{\red{n}=0}^\infty (-1)^nb_nx^n=\sum_{\red{n}=0}^\infty a_n x^n$
[/mm]
einfach gegeben durch
[mm] $$R'=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\,.$$
[/mm]
Du solltest dann $R=R'$ erkennen (etwa mithilfe von Freds Antwort). Wenn es übrigens auch
noch um die Angabe des (offenen) Konvergenzkreises geht, dann macht Deine obige Umformung
Sinn, um den Mittelpunkt dieses Kreises "offensichtlicher" zu machen. Aber auch dann wäre auch die
Umformung in der Art
[mm] $$\summe_{\red{n}=0}^{\infty}{(-1)^n \cdot b_n \cdot x^n}=\summe_{\red{n}=0}^{\infty}{(-1)^n \cdot b_n \cdot (x \;\red{\text{--}}\;0)^n}$$
[/mm]
sinnvoller!!
Gruß,
Marcel
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